2023年廣東省河源市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考模擬考試（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

若/＜少=擊，則八/⑴山為（）

A1

A。2

R1-In2

C.2

1D.In2

,函數(shù)，y=xe，單調(diào)減少區(qū)間是小

2.X）O

A.（-00,0）

D（0，1）

C.（1，e）

D.（e，*0）

3.

過曲線產(chǎn)x+hu上M）點的切線平行直線y=2x+3,則切點M）的坐標(biāo)是

（）O

（1，1）

B.（e，e）

(1,e+1)

C.

D.(e,e+2)

設(shè)Lin少則穿等于

[]A.x/yB.l/xC.-l/xD.-y/x2

設(shè)"⑵㈤="'則")(切“。=

A.4eB.2cC.cD.1

5.

6.

4

設(shè)"(x)，r(x)在*=。處可導(dǎo).“(0)=|./(0)=|=2,r(0)=2.I;.

|而蟲受(")-2等于()’.

*7X

A--2B.0C.2D,4

F列函?數(shù)在(-8.+8)內(nèi)單調(diào)增加的是

A.Y=z

B.y=-x

C.y=x3

7.D.y=sinx

設(shè)Z=8S(x2y),則坐.=

8.打

sin(x2y)

A.A.

x2sin(x2y)

B.

2

c-sin(xy)

-x2sin(x2y)

設(shè)hm-±z2(L+2mi+3*)+。.6.JBU

9.”

I。.設(shè)隨機變量W取等負整上為值.且P住-A)?JpJIR的數(shù)學(xué)期望E(g)-()

A.A.-1B.0C.1D.2

11.設(shè)函數(shù)z=x2+3y2?4x+6y-L則駐點坐標(biāo)為()。

A.(2,-1)B.(2,l)C.(-2,-l)D.(-2,1)

12.

已知離散型隨機變量X的概率分布為

X01

P0.50.5

貝IJE(X)=

[]

A.OB.lC.0.5D.1.5

13.

的一個原函數(shù)為In3則/'(.?)等于().

；B0--LC.--D.!

Y?-TX

]4當(dāng)j：—0時,sin3X是2工的

A.低階無窮小量B.等價無窮小量C.同階但不等價無窮小量D.高階無

窮小量

15.

一、,盯)=/+/,則^11+等于().

dxoy

D.2(y+I)

：s-nB.2(x+l)c.2(y-l)

設(shè)f(x)的一個原函數(shù)是(x+l)siiu.貝IJJ：/(X-l)(k=

A.sinlB.-sinlC.0D.1

16.

17.

下列極限中，正確的是

A.lim史R=1

x-*ooX

C.limxsin-=1

當(dāng).LO時.＞是/TnU+/)的()

A.較高階的無窮小

B.等價無充小

C.同階無窮小

18D.較低階的無窮小

19.下列命題正確的是

A.A.無窮小量的倒數(shù)是無窮大量

B.無窮小量是絕對值很小很小的數(shù)

C.無窮小量是以零為極限的變量

D.無界變量一定是無窮大量

20,設(shè)函數(shù)噎）

A.OB.l/2C.ln2D.l

21.

3個男同學(xué)與2個女同學(xué)排成一列，設(shè)事件A=｛男女必須間隔排列｝,則P（H）=

22.下列函數(shù)在x=0處的切線斜率不存在的是

v=arctanx

B.

23.

設(shè)z=>[xy，則當(dāng)=

a”（1.1）

A.0B.-C.-1D.1

2

24.設(shè)函數(shù)f（X）在點4處連續(xù)，則下列結(jié)論肯定正確的是（）

lim〃x）一〃/）必存在

A.XT%X-Xn

lim/(x)=/(x)

B.D0

Clim/(JC)=()

C.XT%

lim/(x)^/(x0)

D.iq

25.圖2-5—1所示的?(x)在區(qū)間［%b］上連續(xù)，則由曲線y=?(x),直線

x=a,x=b及x軸所圍成的平面圖形的面積s等于().

A.f/(x)dx

B一(，⑴而

26.

sin2z

1#0,

x

設(shè)函數(shù)/(支)=<在①=0處連續(xù)，則a

1=0

[]

A.-lB.lC.2D.3

設(shè)7則由=()

”K.^y/dxdyB.jV*(3dr+2i^y)C.^/drD

//?

28.

當(dāng)x-2時,下列函數(shù)中不?是?無窮小機的目

?.-8B.sin(x_-4)t_?”D?ln(3

29若/(/山=J一+*?則=.

30.設(shè)函數(shù)f(sinx)=sin2x,則f'(x)等于0。

A.2cosxB.-2sinxcosxC.%D.2x

二、填空題(30題)

設(shè)函數(shù)/(x)=["'在點x=o處連續(xù)，則常數(shù)h______

31.11+COSX,3/0

32.

已知J/(x\k=;dn(Hx)+C,則JeV(ex)dx=.

33.

當(dāng)x-0時，若si-d?/,則白=

34.

設(shè)〃幻=In1-ln2,則/'(1)=.

x

35設(shè)7?則舒

36.

(1+f)2

37.

微分方程V=10一的通解是

H10'10*.

A，IniokTo-(B?麻一而一't

C.10*+10,=cD.10'+lor=C

jjsin3xcos2xdx■,

38.

.設(shè)z=ln[2>+InR)]廁景=.

40.

「(n+l)(n+2)(n+3)

hm---------------------------=.

"T-n

41.

設(shè)，儲)存在,則lim2二也里-

ix-a

A./'(a)B.f(a)—C.-a/#(a>D.af(.a)

42.函數(shù)y=lnx,則

43.

極限1而（上二產(chǎn)的值是

“?JT-1

D.0

44.

設(shè)函數(shù)/(x)=x3lnx,W/(1)=

45.

設(shè)確故

46.

lim膽U

47.i3X"-5x+6

48設(shè)了=/3是由方程/+爐-拈s+6<>-0所11定的11函數(shù)周力；

已知［二?4：dr=1,則/=

49.

..X2+X-2

501吧;廠

51.

lim(1-不)=

52.帆”）

設(shè)^=下"二，則產(chǎn)

53.*T

54.設(shè)y=sin（加x）,則y"）=..

55.

r3

設(shè)0（x）=j]€一'市,貝！1。'（h）=.

56.若吧焉

57.二元函數(shù)z=x2+2y2?4x+8y?l的駐點是

58.

廣義積分J：eT，dx=.

59.

[sin2/dr

Jo

hvm----：---=________________.

…x

設(shè)7=§1|1'（以+如），-^7-=_____________

60.ax5

三、計算題（30題）

04工&I.

求j八力業(yè)，其中/（X）1『

61.x4-1?1<j<2.

62求微分方程Cvsinx-siru--1)<￡r+covdy=0的通解.

63設(shè)）=，（*）由方程）'=x+arcco§（#y）所確定，求今

sinx

求J

64.1+sinj-

65.求微分方噫+尸J的通解?

設(shè)x=/?，”?土）.其中/（…）為可微函數(shù)，求重，段.

66.Y加a>

計算二次積分「dyj：誓dr

68.若已知y'L"-YfiinZi?求y<4".

“N0?

mr,求定根分r，G）&r?

設(shè)曲數(shù)/Q)■.

ex<0.

69.r+r,

計算不定枳分/

70.

計算定枳分［inQ+Ddr.

72.設(shè)函數(shù)y=x3cosx,求dy

73求函數(shù)J=xarctarur-In4+，的導(dǎo)效V.

7d求不定積分1示工+，十/)業(yè).

75.求函數(shù)f(x)=(x2-l)3+3的單調(diào)區(qū)間和極值.

76求不定枳分卜FMA.

77.求微分方程2/+5,=5工，1的通解.

78.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x.

①求曲線y=f(x)與x軸所圍成的平面圖形面積S；

②求①的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積Vx.

79求函數(shù)y的導(dǎo)臉

設(shè)函數(shù)求

on?

O\K

81.求二元函數(shù)f（x,y）=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

82?設(shè)廠＞（））由方程e'F所確定，求常

計算二“根分"%?其中D是由抬物線/-I及直線y-工-2用成.

83.￡

84.求.分方程加T（xl-4x）dy=0的通*.

^>0.

1+4/

求「/《1)&.

設(shè)/(x)-?

田

85.1Vo.

0/設(shè)￡=W（￡）+邛（*）,其中分別為可微函數(shù),求導(dǎo).導(dǎo)?

OO.y*aroy

設(shè)函數(shù)￡=一，,＞!＞）.求當(dāng).生.

87.?3y

88.設(shè)函數(shù)2=?+“（卻了）?其中/Q~）為可H函數(shù)?求dz.

求不定枳分/—與=

89.J]+

設(shè).叫孫其中小〉可導(dǎo),求喧+埼

90.

四、綜合題（10題）

求函數(shù)人力=*一。++4■的單冏區(qū)間和極值.

91.

已知曲線>與曲線y?In，？在點（工。處有公切線?試求:

（1）常數(shù)a和切點（A.W），

92.（2）兩曲線與工輸BI成的平面圖形的面積S.

證明：方程C'一］-J—也=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一的實根?

93.#1+1*

94.

設(shè)函數(shù)人工）在閉區(qū)間［0?1］上連續(xù).在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)且/（0）=/（I）=0?

/（7）=1?證明:存在sw（0.1）使/<e）=1.

證明：方程=:旨在（。，1）內(nèi)僅有一個根.

95.

96求函數(shù)y=：6*“一工’的旅調(diào)區(qū)間和極值.

97.

設(shè)拋物線y="'+歷■+<?過原點，當(dāng)04工41時~》0,又已知該拋物線與彳軸及

Z=1所圍圖形的面積為J，試確定使此圖形繞彳軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體枳最小.

證明：當(dāng)了>0時JM】卜.>葺；.

98.

在［a.，］上連續(xù),存在m?M兩個常數(shù)?且脩足V"V'證明：恒”

99.5《上為)&八川/5)<M5-4)?

100.證明方程41=2,在［0?1］上有且只有一個實根.

五、解答題(10題)

求曲線y=4與立線y=x-2,y=0所用成圖形的面枳/及該圖

101.形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

102.

設(shè)由/+/+2x-2w=c,確定z=z(x,y),求生，.

oxdy

103.

設(shè)y=arcsin/（，），求y'.

設(shè)其中/為可微函數(shù).

dz

證明:

104.

105.

當(dāng)行時，證明巖,卷

106.

求人"=「￡43市在［OJ］上的最大值和最小值.

Jot~VLt~vL

107.

工

計察avf一COS「X心..

,sinx

108.設(shè)y=f（lnx）且f（x）存在二階導(dǎo)數(shù)，求y，

109.

求函數(shù)z=2d+39在x=10,y=8,Az=0.2,Ay=0.3時的全增量與全微分.

設(shè)y=arcian(5-7^.求y\

110.“+1

六、單選題（0題）

函數(shù)，（幻的導(dǎo)函數(shù);⑶的圖像如圖所示，則在（-%2）內(nèi)

UL〃工）的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.A.(?QC,0)B.(?oo,l)C.(0,+oo)D.(l,+oo)

參考答案

l.D

2.B

21111

因為y,=xQx(——z-)+ex=(1—)ex

Xx

令y<oBPi--<oWo<x<i

X

3.A

本題將四個選項代入等式，只有選項A的坐標(biāo)使等式成立.

事實上y'=]+，=2得人=1,所以y二l

因之=32,于是乎二三.(一斗)=—

JCdxV\x/a:

4.C

［解析J因為［尸1)(幻］*=/⑸(X)

所以/陽心)=2/叫")(x)=4e〃T

5.A則/⑸(0)=4e

6.D

答應(yīng)這D.

分手二WT，工人.「弓包(E去遇求合碌的方法以及乘積的導(dǎo)數(shù)公式.

「；,shl;=；小)/⑴=/(0)r(?！?0)/(0)

s1?2*1?2=4.

所以透0.

7.A

8.D

3=-sin(x2y)-(x2y)=-x2sin(x2y)

dyay

9.-1

10.C

ll.A

令號=0與號=0'

可得x=2.y=-1.故選A.

12.C

E(X)=0*0,5+l*0,5=0.5

13.B

答應(yīng)選B.

提示本即考查的是原函數(shù)的保念及導(dǎo)致的計算,因此有

?■》,（In/'（，）■（'■

不以選B.

14.C

15.A

答應(yīng)選A.

提示用變置代換u=x+y,&=寸求出/（以廿）的表達式，再寫出/（*，八的表達式是常用的

￡法，但計算量較大.更簡捷的方法是賽變量法?

因為八町）=/+/=（W）2-2”,所以f（x,y）=f-2y,則有"（；；"+咒，

=2x?2.故逸兒

［解析］由原函數(shù)的定義可得j7(x)dx=(x+l)sinx+C

則J：/。-D&=J：/*-l)d(x-l)=xsin(x-l)|^=0

17.C

18.C

19.C

根據(jù)無窮小量的定義可知選項C正確.

20.B此題暫無解析

21.B

［解析］5人排成一列的排列總數(shù)為5!

男女必須間隔排列只有3個男的排在1,3,5的位置，2個女的排列2,4的位置，共有

3L2!種排法

所以P(A)=—=—,選B.

5!10

22.D

因為當(dāng)X—o?時,,即v不存在.

設(shè)u=xyt則z=4

dzdzdu1I117

==yy=

因為^^dIW^^2)l7

所以g=1E^1

23.B解析：3(川2Y上鼠2

24.B

根據(jù)函數(shù)在一點處連續(xù)的定義，極限值等于函數(shù)值，選B.

25.C

【提示】注意到定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積.而面積不能為負值?因此所有的

/(%)必須為正值,則有S=fl/(x)Idx.

如果分段積分，也可以寫成：

x)dx+J/(x)dx.

26.C

?1)左1=0及連續(xù),!11/(工)在］=0處既左連續(xù)又右連續(xù)，所以扁/(工)==

J-*O"

lim/(i)==2=/(0)=。微

「7r-*0Ja=2.

27.B

28.C

答應(yīng)選C.

分析根據(jù)無窮小，的定義:若Bm/G)?0,剜當(dāng)XT%時J(G為無窮小量,因此可根據(jù)定

義計算其極限值，知選C.

29.1/2

30.D

本題的解法有兩種：

解法L先用換元法求出f(x)的表達式，再求導(dǎo)。

設(shè)sinx=u,則f(x)=U2,所以f'(ti)=2u,即f'(x)=2x,選D。

解法2：將f(sinx)作為f(x),u=sinx的復(fù)合函數(shù)直接求導(dǎo)，再用換元法

寫成f'(x)的形式。

等式兩邊對x求導(dǎo)得

f'(sinx)*cosx=2sinxcosx,f'(sinx)=2sinxo

用x換sinx,得f'(x)=2x,所以選D。

31.

函數(shù)在點*=0處連續(xù)?則/(0-0)=/(0鈍)=/(0)，其中

/(0-0)=lim/(x)=

/(0+0)=lim/(x)=lim(1+cosx)=2,

f(0)=(I+cosx)|..ft=2,

所以k=2.

32.

因為［e,/(eA)dx=j/(er)de'=(i/=ev)

=wln(l4-M)+C

=exln(l+cJ)4-C

33.6

田斗sinJx2sinx21

因為吧二-=蚓丁)3.產(chǎn)

=lim—nr=l(當(dāng)a=6時)

所以當(dāng)a=6時，有向3/?/Qio).

/(x)=-lnx-ln2

廣(幻二二

x

34.-1-1解析:所以/⑴=T

35.

【答案】應(yīng)填2/…(l+2ylnx).

【解析】工對x求偏導(dǎo)時用稀函數(shù)求導(dǎo)公式,z對y求偏導(dǎo)時用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式，

因為李=2廣產(chǎn)',則

dx

復(fù)加,fk.2,

即熹=2產(chǎn)3.2小力

36.1/2

不J72"=lim$-J八必＞+1)=-1而(-/-j)

Jo(1+r)-2J0(1+*22-具1+r/

注根據(jù)本題結(jié)構(gòu)特點，容易想到湊微分，2Mr=d?=d(?+1).

37.D

38.0

39.

40.11解析

..(n+l)(n+2)(n+3)12、八3、.

lim---------------------=vlimZ(1l+-X)/(1l+-)(1+-)=1

〃T8幾J〃T8nnn

41.B

(-D"(D!(-DF-D!

42.7?

43.C

44.5

45.

46.

47.6

48,犯,

49.1/TT

50.應(yīng)填2

【解析】計算極限時一定要注意極限的不同類型，當(dāng)4—0時，本題不是“藍”型，所以直接

利用極限的四則運算法則計算即可.但當(dāng)時，本題是“當(dāng)”型，可用因式分解約去零因式等

方法求解.

51.0

廠廠

52.

-2x-2x

53(x~-1)，(x2-1)2

54.1

［解析］/=cos(Inx)(InxY=-cosInv./(!)=lcosInxl

YY1???

55.

56.應(yīng)填1/7.

【解析】本題是“臺*不定式.

..X-1..X-11

hlim：n?"=

+5x-6?-i(x-1)(x+6)7

57.(2-2)

58.1/2

59.

sin2rd/n

lim^——型)

x->0x0

..sin'x1,,.sinx.1

=lim——x-=-(lim-------)2=-

I。3x3fx3

60.

。⑺山工f。6h+J產(chǎn)

=J：(TT7Fd"+(lxt+x)l：

arctane,+f

arc<ane+|--J.

L4

QT7業(yè)+J尸+】出

J/m+(*+M

=arctane1|+-y

0K

arctane卜干----

Z4

方程可化為學(xué)十*anx=seer+tanr這是一階線性微分方程.利用通解公式

dr

(seer+ian*)J1**11山dr+C

seuttanxdi+c]

cow

++C)

62.sirtr+CcoM-+1.

方程可化為半+War=seer+tanr這是一階線性微分方程?利用通解公式

dr

(sccx+ianx)JicLr+Cl

seuttanxdi+C1

cow

『5+*+C)

sinx+Ccow+1.

63.

設(shè)^(?.y)=/-x-arccos(xx),

：

則3F.]dF.I

T-=-|+y?y-,,>—=3r+x,-7=

ar

所以?=上=乂-，2’7

dx3//T77+X

被積函數(shù)分子分母同乘（1一AM）.招

［叫S、也必=|嗎1c1r一小一L

JI-KinXJcosXJ

3r-fd$9產(chǎn)—fcsec^x-l）dx

JCOSJ,J

=———|sec*rdx?|d-r.,

co*J=l/cosx-tanx+x+C

被積函數(shù)分子分母同乘《l-siu）?得

［9叫"二.產(chǎn)dr=I邛dr-|,tanJx<Lr

J1-KinxJcosxJ

3c-fd09產(chǎn)—［（secix—1）dx

Jcos工J

=-------|scc'xd-r?Idr-,

CODJ=l/cosx-tanx+x+C

由盟意?知。（/）

???efw,=e-

???該微分方程的通解方e'+（.

65.

由明意?知P（i）=-.Q（r>=J

Aefw,=e!』”

1?

C

27

???該微分方程的通解.v

上drdu.dzdu

8xdu3xdvOJ

=/,（『"4）?''+八卜"'4）/

=1?/.（門.；）+；7「,手）.

dz?dz■■d■u-y-.dzdv

dydudydvdy

=。卜*'，/）?e1，+/.（?-'?二）?（一4）

=u-?/?（L亨一支?/?卜［5）?

66.

dz<=dz?d-ud——z?d■v—

a7du3xdvQJ

=「?，.(日子)+，.卜r.R.

dz=生?也+生.包

dudydvd>

。(尸W)?「+，(L得)?(一5)

L，?/?(小，亨一,/.(Cq)?

應(yīng)交換積分次序.

*1

原積分=jd/j=|co^rdx=sinj

67.

應(yīng)交換枳分次序.

原積分=等dy=f

cos^rdx=sinxT

由n=e，sin2”.得

V=c1sin2x-I-2eJcos2x=e'(sin2i+2cos2z)?

zJ

=e(sjn2x4-2cos2x)+e(2cos2x-4sin2x)

y

68.=e(4cos2x-3sin2x).

由y11=ezsin2x?A

V=ezsin2x4-2eJCOS2JT=er(sin2x4-2COS2T)?

y=er(sin2j,+2cos2x)+eJ(2cos2x-4sin2x)

=e'(4cos2x-3sin2?r).

69.

rfp什

I/(x)djr=/(x)dx+/(x)dj：

~lJ一］J0

0fT1

r

=ln(l+e)+2dx

-iJo1+4JT

In2-In(l-Fe*)4-4(7r.^-dCZx)

4J◎1?4-T

ln2—ln(1+e1)4-9arctan21+

In2-ln(l4-e')4-

o

1

IJ/(x)dx=/(x)dx+/(x)dj

Jo

[71,

=ln(1+e')+.om?"

In2-ln(1+e?)+Jp-d(2x)

ln2-ln(i+e1)4-5arctan2<r|

ln2-Ind4-e')4-

o

dx+Jln(1-jOd(一~j

j"

InIx1--ln(1—J*)

In|x--^ln<1-￡)-)*(1+)d/

In：JT|------ln<1—x)In|JT|4-ln(1—*)+C

(I-y)ln(1—J)-bC.

70.

I—J—+|ln(1-i)d(一｝)

?InIjrI-—ln(1—J*)-f—?7-^■"-dx

XJX1-X

InIxI_1-J)-+jj,)dur

=InIxI-----ln(1-x)In|x|-|-ln(1—jr)4-C

x

——)ln<1—1)?C.

原式=jln(x4-l)d-r=I?ln(x+】)]-J1

怙2一。1-4(小

In2-(x-ln(l4-x))

71.ln2-(lIn2)=21n2-1.

原式=In(jr4-Ddx=x?In(x4-1)|-Jx?

■r+1

In2一1(1一等出

ln2-(x-lnCl4-x))|'

In2-(1In2)=21n2-1.

72.因為y'=3x2cosx-x3sinx,所以dy=y,dx=x2(3cosx-xsinx)dx.

y'=(-r)zarctarLr-f-x?(arctanj->，—(In+x?)，

=arctartr+.j,---」——?(+7)’

1+//FT7r

!X111c

=arctan-r+————----:—二?__?2x

1+J72。八+」

=arct▲an-r+1；一；X—r——X—="=arctanx.

73.1+1'14-x

y=(J-)Arctan-r-Fx?(arctanj,)/—(In/+/」)'

=arctanr+)2---1]，?(f)’

1+//FT7r

(x111

=arctan-r+—?—7—?一/一二—?2x

[+彳2+1?，1+y

1XX

=arctan-r+——r———=?=arctanj.

14-J1+a*

74.

Jln(x4-，1+“，)dr=xln(x+，1+刀)—xd(ln(x+，1+工力)

=xln(x-f-J\+-)—fx?--------\(l+―/金:7\dx

J4+>/IT7rlAT?)

?

=xln(jr++*')—Jdj

J，1+?

=xln(jr+J\+7)-(1+]:)于d(1+N?)

=xln(x+，1+/)-+#+C.

Jln(x4-八+i)dr=xln(x+，1+3)—j*d(ln(x4-J\+/，))

=xln(x-f-+?)—fx*-------]-11-I7二一二7

Jl+/1^1/TH?

=xln(j-+5/l4-x2)-----dj

J，1+f

=xln(J++7)-J(1+尸)+d(1+)

4?

jr】n(“十+j?)—+x2+C.

75.函數(shù)的定義域為(@,+oo),且

r(x尸6x(x2.1)2

令r(x尸o,得

X|=0,X2=-l,X3=l,

列表如下：

X(-8.-1)-1(-1.0)0(0.1)1(1.??)

/'⑺-0■00?

nn、"0)=2為極小值

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(?00,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,

+8)；f(0)=2為極小值.

I卜sin/d/=卜d(-COST)

=-X*COST+|cosj-d.r:

=-a-2cosw+JZJTOSXCLT

=-cosx+2prdsirkr

=-cosx+2zsin”-2binxir

76.=—/COSJT+2*sini+2cos/+C

|卜sin/d.r=|xzd(-COST)

=-Jr2COST4-Jcosxclr2

=-x2COJU*+Jzxcos-rdj-

=-X2COJU-+2jj-dsinj

=-COSJ-+2j-sinx-2sinxckr

=-x2COST+2xsinx+2cos/+C,

77.

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

2><+5y'=0.

特征方程為

C.+C:eV

為齊次線性方程的通解.

而5/-2.1中的a-0為小一特征根?故可設(shè)

>,u](Ar,+Rr+C)

2/4-5/

的一個特解?于是有

(>*)'=3Ar,+2Rr+C?3)*=6Ar+28.

2(6Ar+2B)+5(3Ar：+2Hr+C)=5/—21-1?

】5Ar*+(】2A+10B)“+48+5CA5J-2-2x-1.

15A=5.12A+10B=-2.48+5c=-l,

2y+5，=5xJ—21—1

的一個特解?因此原方程的通解為

y=G+a?'+—+,(G?a為任意常數(shù)).

o3U

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

Zy+5y'=0?

特征方程為

2r1+5,=0?

故

于是

>=?G4-C：e

為齊次線性方程的通解.

而51,一2?一1中的人=0為革一特征根?故可設(shè)

y*u*(Ar'+Rr+C)

為

Zy+5y'=5x*—2x—1

的一個特解,于是有.

(>>>'=3Ar2+2Rr+C?(y?)*=6Ar+28?

知

2(6Ar4-2B)4-5(3Ar,4-2Hr4-C)=5/-2,—1,

即

15Ar:4-(1244-10B)i+48+5C=5/一2]一I.

故

15A=5,12A+10B=-2.4B+5Cu-l,

于是

所以

?Jtl3xT.lx

y35T25

為

2>*+by——2x—1

的一個特制.因此原方程的通解為

>=C,4C,eY+4一（+,《C?a為任意常數(shù)）.

78.

由廠-“出，得交點（0,0）與（2,0）.

|y=0,

①S=/（-『+2*）dx=（-全+』）Io=1.

②匕:|\（-x2+2x）2dx=IT（（--4x'+""

|j標(biāo)

兩邊取自然對數(shù)得

In|I=21n!x|+--rin1-x|-In|1+l|j.

J

兩邊對I求導(dǎo)得

71y，=一32+,亍1「[T工_京1>-i

/r2,11n

即MHy。；+元=5一獲kf,

■.

故

啦=尸’/!二”「2+―1__________?—1

79業(yè)V1+ILJ■丁3Cr-l)3(I+1)「

兩邊取自然對數(shù)得

In|y|=21n|x|+--ElnI1-x|-In|14-T|J,

J

兩邊對“求導(dǎo)得

71,，=32+,91「[Tu-rr1/

un/r2,117

即'=)'7+3(7^i)-3(7TT).

■.

故

1j

蟲:=三7-rl+_\__________?_i

di5/l