２.１投影法的基本知識２.１.１投影法的概念空間物體在光線照射下,在地面或墻壁上會產(chǎn)生物體的影子,這種自然投影現(xiàn)象,經(jīng)過科學(xué)總結(jié),形成了各種投影法.投影法:投射線通過物體向選定的投影面投射,并在該面上得到圖形的方法,如圖２-１所示.投影(投影圖):根據(jù)投影法所得到的圖形.投影面:投影法中,得到投影的面.２.１.２投影法的分類１.中心投影法中心投影法:投射線匯交于一點(diǎn)的投影法,如圖２-２所示.下一頁返回２.１投影法的基本知識因中心投影法所得到投影的大小會隨投影中心S距離空間對象的遠(yuǎn)近而變化,因此中心投影不反映形體原來的大小.工程圖學(xué)中常用中心投影法繪制透視圖,這種圖形接近于視覺映像,有較強(qiáng)的立體感和真實感,在建筑工程的外形設(shè)計中廣泛使用,但是由于作圖復(fù)雜和度量性較差,機(jī)械圖樣中很少采用.２.平行投影法平行投影法可以看成是中心投影法的特殊情況,若將投影中心移至無窮遠(yuǎn)處,則所有投射線是相互平行的,如圖２-３所示.平行投影法:投射線都相互平行的投影方法.在平行投影法中,因投射線與投影面傾斜角度不同,平行投影法分為以下兩種:上一頁下一頁返回２.１投影法的基本知識(１)斜投影法.投射線傾斜于投影面的投影法,稱為斜投影法.根據(jù)斜投影法所得到的圖形稱為斜投影或斜投影圖,如圖２-３(a)所示.(２)正投影法.投射線垂直于投影面的投影法,稱為正投影法.根據(jù)正投影法所得到的圖形稱為正投影或正投影圖,如圖２-３(b)所示.正投影法所得到的投影能真實地反映物體的形狀和大小,度量性好,同時作圖簡單,是繪制機(jī)械圖樣主要采用的投影法.平行投影中的正投影,又有單面投影和多面投影之分.單面投影常用于軸測投影和標(biāo)高投影;多面投影常用于畫多面正投影.２.１.３正投影的基本性質(zhì)１.真實性上一頁下一頁返回２.１投影法的基本知識當(dāng)直線或平面與投影面平行時,則直線的投影為實長,平面的投影為實形.這種投影性質(zhì)叫真實性,如圖２-４所示.２.積聚性當(dāng)直線或平面與投影面垂直時,則直線的投影積聚為一點(diǎn),平面的投影為一條直線.這種投影性質(zhì)叫積聚性,如圖２-５所示.３.類似性當(dāng)直線或平面與投影面傾斜時,則直線的投影變?yōu)榭s短了的線段,平面的投影為小于原形的類似形.這種投影性質(zhì)稱為類似性,如圖２-６所示.上一頁下一頁返回２.１投影法的基本知識４.平行性空間兩直線平行,其投影必定平行;空間兩平面平行且垂直于投影面,其投影為具有積聚性的兩平行直線,如圖２-７所示.５.從屬性點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在該直線的同面投影上,且點(diǎn)分線段之比與其投影為相同比例(AK∶KB＝ak∶kb);點(diǎn)或直線在平面上,它們的投影必在該平面的同面投影上,如圖２-８所示.上一頁返回２.２點(diǎn)的三面投影２.２.１點(diǎn)在三面投影體系中的投影１.三投影面體系利用三個相互垂直的平面,可將空間分割為八個區(qū)域,稱為八個象限(八個分角),依次用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示,如圖２-９所示.GB/T１４６９２—２００８?技術(shù)制圖投影法?規(guī)定我國采用第一象限區(qū)域作為三面投影體系,如圖２-１０所示.三個投影面分別是:H(水平面)———水平投影面;V(正面)———正立投影面;W(側(cè)面)———側(cè)立投影面.下一頁返回２.２點(diǎn)的三面投影相互垂直的投影面之間的交線稱為投影軸,三個投影軸與原點(diǎn)分別是:OX軸———V面與H面的交線,代表長度方向,方位為左、右方位;OY軸———H面與W面的交線,代表寬度方向,方位為前、后方位;OZ軸———V面與W面的交線,代表高度方向,方位為上、下方位;O(原點(diǎn))———三根相互垂直投影軸的交點(diǎn).２.點(diǎn)在三面投影體系中的投影如圖２-１１(a)所示,將空間點(diǎn)S放在三面投影體系中,由點(diǎn)S分別向H、V、W面作垂線,其垂足s、s′、s″即為點(diǎn)S的三面投影圖.如圖２-１１(b)所示,V面及其投影不動,將H、W投影面及其投影,按箭頭所示方向繞相應(yīng)的投影軸旋轉(zhuǎn)展開后與V面共面,便得到點(diǎn)S的三面投影,如圖２-１１(c)所示.上一頁下一頁返回２.２點(diǎn)的三面投影通過上述點(diǎn)的三面投影的形成過程,可總結(jié)出點(diǎn)的投影規(guī)律:(１)點(diǎn)的兩面投影的連線,必定垂直于投影軸,即(２)點(diǎn)的投影到投影軸的距離,等于空間點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離.即投影軸距離等于點(diǎn)面距離:s′sX＝s″sY＝S點(diǎn)到H面的距離Ss;ssX＝s″sZ＝S點(diǎn)到V面的距離Ss′;ssY＝s′sZ＝S點(diǎn)到W面的距離Ss″.２.２.２點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)點(diǎn)的空間位置可以用直角坐標(biāo)來表示,如圖２-１３所示.即把投影面當(dāng)作坐標(biāo)面,投影軸當(dāng)作坐標(biāo)軸,O即為坐標(biāo)原點(diǎn).則:A點(diǎn)到W面的距離XA:Aa″＝a′aZ

＝aaY＝aXO＝X坐標(biāo);上一頁下一頁返回２.２點(diǎn)的三面投影A點(diǎn)到V面的距離YA:Aa′＝a″aZ＝aaX＝aYO＝Y(jié)坐標(biāo);A點(diǎn)到H面的距離ZA:Aa＝a″aY

＝a′aX

＝aZO＝Z坐標(biāo);A點(diǎn)的坐標(biāo)書寫形式為A(X,Y,Z).空間點(diǎn)的位置可由該點(diǎn)的直角坐標(biāo)(X,Y,Z)確定.A點(diǎn)三面投影的坐標(biāo)分別為a(X,Y)、a′(X,Z)、a″(Y,Z).任一投影都包含了兩個坐標(biāo),所以一點(diǎn)的兩個投影就包含了確定該點(diǎn)空間位置的３個坐標(biāo)值,即確定了點(diǎn)的空間位置.２.２.３特殊位置點(diǎn)的三面投影１.空間點(diǎn)在投影面上上一頁下一頁返回２.２點(diǎn)的三面投影由于它有一個坐標(biāo)為０,因此,它的三面投影中,必定有兩個投影在投影軸上,另一個投影和其空間點(diǎn)本身重合.２.空間點(diǎn)在投影軸上由于它有兩個坐標(biāo)為０,因此,它的三面投影中,必定有一個投影在原點(diǎn)上,另兩個投影和其空間點(diǎn)本身重合.３.空間點(diǎn)在原點(diǎn)上由于在原點(diǎn)上的空間點(diǎn)３個坐標(biāo)都為０,因此,它的３個投影必定都在原點(diǎn)上,如圖２-１５(c)所示.２.２.４兩點(diǎn)的相對位置、重影點(diǎn)１.兩點(diǎn)的相對位置上一頁下一頁返回２.２點(diǎn)的三面投影空間兩點(diǎn)的相對位置由兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來確定,如圖２-１６所示.左、右位置由X坐標(biāo)差(XA

－XB)確定.由于XA＞XB,因此點(diǎn)A在點(diǎn)B的左方.前、后位置由Y坐標(biāo)差(YA

－YB)確定.由于YA＜YB,因此點(diǎn)A在點(diǎn)B的后方.上、下位置由Z坐標(biāo)差(ZA

－ZB)確定.由于ZA

＜ZB,因此點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方,故點(diǎn)A在點(diǎn)B的左、后、下方;反之,就是點(diǎn)B在點(diǎn)A的右、前、上方.２.重影點(diǎn)上一頁下一頁返回２.２點(diǎn)的三面投影當(dāng)空間兩點(diǎn)的某兩個坐標(biāo)相同時,將處于某一投影面的同一條投影線上,則在該投影面上的投影相重合,稱為對該投影面的重影點(diǎn),如圖２-１７所示.重影點(diǎn)的可見性需根據(jù)這兩個點(diǎn)不重影的坐標(biāo)大小來判別.當(dāng)兩點(diǎn)的W面投影重合時,需判別其在V面或H面投影,則點(diǎn)在左(X坐標(biāo)值大)者可見.當(dāng)兩點(diǎn)的V面投影重合時,需判別其在H面或W面投影,則點(diǎn)在前(Y坐標(biāo)值大)者可見.當(dāng)兩點(diǎn)的H面投影重合時,需判別其在V面或W面投影,則點(diǎn)在上(Z坐標(biāo)值大)者可見.在投影圖中,對不可見的點(diǎn),需加括號表示.上一頁返回２.３直線的投影２.３.１直線的三面投影直線的三面投影,可由直線上兩點(diǎn)的同面投影連線來確定.圖２-１８(a)給出了直線的三面投影直觀圖.若已知直線AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo),作直線AB的三面投影時,只要先求出A、B兩點(diǎn)的三面投影,如圖２-１８(b)所示;然后用粗實線分別連接A、B兩點(diǎn)的同面投影ab、a′b′、a″b″,即為直線AB的三面投影,如圖２-１８(c)所示.２.３.２屬于直線的點(diǎn)１.直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn),其投影必在該直線的同面投影上,且符合點(diǎn)的投影規(guī)律.下一頁返回２.３直線的投影如圖２-19所示,點(diǎn)C在直線AB上,則點(diǎn)C的三面投影c、c′、c″必定分別在直線AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上,且符合點(diǎn)的投影規(guī)律.２.點(diǎn)分線段成定比點(diǎn)分線段之比等于其各同面投影之比.如圖２-１９所示,點(diǎn)C把直線AB分成AC和CB兩段,兩線段與其投影有下列關(guān)系:２.３.３各種位置直線的投影空間位置直線在三投影面體系中,對投影面的相對位置有３類:一般位置直線、投影面平行線、投影面垂直線.后兩類又稱特殊位置直線.上一頁下一頁返回２.３直線的投影１.一般位置直線對三個投影面都傾斜的直線,稱為一般位置直線,如圖２-１８所示.其投影特性如下:(１)一般位置直線的各面投影都與投影軸傾斜.(２)一般位置直線的各面投影長度都小于實長.(３)一般位置直線的各面投影與投影軸的夾角,不反映空間直線對相應(yīng)投影面的傾角.２.特殊位置直線１)投影面平行線上一頁下一頁返回２.３直線的投影平行于某一個投影面而傾斜于另外兩個投影面的直線,稱為該投影面的平行線.投影面平行線有三種:水平線、正平線、側(cè)平線.表２-１列出了它們的實例圖、軸測圖、正投影圖和投影特性.２)投影面垂直線垂直于某一個投影面的直線,稱為該投影面的垂直線.投影面垂直線有三種:鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線.表２-２列出了它們的實例圖、軸測圖、正投影圖和投影特性.上一頁下一頁返回２.３直線的投影２.３.４兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有平行、相交、交叉三種情況,它們的投影特性分述如下.１.平行兩直線空間相互平行的兩直線,它們的各組同面投影也一定相互平行.如圖２-２１所示,AB∥CD,則ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″.反之,如果兩直線的各組同面投影都相互平行,則可判定它們在空間也一定相互平行.２.相交兩直線上一頁下一頁返回２.３直線的投影空間兩直線AB、CD相交于點(diǎn)K,則交點(diǎn)K是兩條直線的共有點(diǎn),如圖２-２２所示.因此,點(diǎn)K的H面投影k必在ab上,又必在cd上,故點(diǎn)k必為ab和cd的交點(diǎn).同理,點(diǎn)K的V、W面投影k′、k″,必為a′b′、c′d′及a″b″、c″d″的交點(diǎn).同時,點(diǎn)K是空間的一個點(diǎn),它的三面投影k、k′、k″必然符合投影規(guī)律.３.交叉兩直線在空間既不平行也不相交的兩直線,稱為交叉兩直線,如圖２-２３所示,它們的三面投影不具有平行和相交兩直線的投影特性.上一頁下一頁返回２.３直線的投影因AB、CD不平行,它們的各組同面投影不會都平行(可能有一兩組平行);又因AB、CD不相交,各組同面投影交點(diǎn)的連線不會垂直于相應(yīng)的投影軸,即不符合點(diǎn)的投影規(guī)律.反之,如果兩直線的投影不符合平行和相交兩直線的投影規(guī)律,即可判定為空間交叉兩直線.那么,它們的交點(diǎn)又有什么意義呢?實際上是AB和CD上一對重影點(diǎn)在H面的投影.對重影應(yīng)區(qū)分其可見性,即根據(jù)重影的兩點(diǎn)對同一投影面坐標(biāo)值大小來判斷,坐標(biāo)值大者為可見,小者為不可見.上一頁返回２.４平面的投影２.４.１平面的表示法１.用幾何元素表示平面由畫法幾何學(xué)可知,不在同一直線上的三點(diǎn)可確定一個平面.從這個公理出發(fā),在投影圖上可以用下列任何一組幾何元素的投影來表示平面的投影,如圖２-２４所示.２.用跡線表示平面平面與投影面的交線,稱為平面的跡線,如圖２-２５(a)所示.平面P與H面的交線稱為水平跡線,用PH

表示;與V面的交線稱為正面跡線,用PV

表示;與W面的交線稱為側(cè)面跡線,用PW表示.既然任何兩條跡線(如PH

和PV)都屬于平面P的相交兩直線,故可以用跡線來表示該平面.下一頁返回２.４平面的投影特殊情況表示,如圖２-２５(b)、(c)所示.２.４.２平面的投影過程平面圖形的邊和頂點(diǎn)是由一些線段(直線段或曲線段)及其交點(diǎn)組成的.由此,這些線段的集合,就表示了該平面圖形的投影.作圖時先畫出各頂點(diǎn)的投影,然后將各點(diǎn)同面投影依次連接,即為平面的投影,如圖２-２６所示.２.４.３各種位置平面的投影特性平面在三投影面體系中,按其對投影面的相對位置可分為三類:一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面,后兩類又稱特殊位置平面.上一頁下一頁返回２.４平面的投影１.一般位置平面與３個投影面都傾斜的平面,稱為一般位置平面.如圖２-２６所示,由于△ABC對三個投影面都傾斜,所以各投影仍然是三角形,但都不反映實形,而是原平面的類似形.２.特殊位置平面１)投影面平行面平行于某一個投影面的平面,稱為該投影面的平行面.投影面平行面有３種:水平面、正平面、側(cè)平面.表２-３列出了它們的實例圖、軸測圖、正投影圖和投影特性.２)投影面垂直面上一頁下一頁返回２.４平面的投影垂直于一個投影面而對其他兩個投影面都傾斜的平面,稱為該投影面的垂直面.投影面垂直面有三種:鉛垂面、正垂面、側(cè)垂面.表２-４列出了它們的實例圖、軸測圖、正投影圖和投影特性.２.４.４平面上的直線和點(diǎn)１.平面上取直線直線在平面上的幾何條件是:(１)一直線經(jīng)過屬于平面的兩點(diǎn),如圖２-２７(a)所示.(２)一直線經(jīng)過屬于平面上的一點(diǎn),且平行于屬于該平面的另一直線,如圖２-２７(b)所示.上一頁下一頁返回２.４平面的投影２.平面上取點(diǎn)點(diǎn)在平面上的幾何條件:若點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上,則此點(diǎn)一定在該平面上.因此,在取屬于平面的點(diǎn)時,首先應(yīng)取屬于平面上的直線,再取屬于該線上的點(diǎn).３.特殊位置平面上點(diǎn)的投影投影面平行面或投影面垂直面,在它們所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線,所以該投影面上點(diǎn)和直線的投影必在具有積聚性的投影上.由此可判斷圖２-２９(a)中的點(diǎn)K在矩形平面內(nèi).同理,若已知特殊位置平面上的點(diǎn)的一個投影也可以直接求得其余兩個投影.上一頁下一頁返回２.４平面的投影如圖２-２９(b)所示,已知△ABC上點(diǎn)M的正面投影,可利用有積聚性的水平投影求得m,再由m′和m求得m″.４.平面上的投影面平行線凡在平面上且平行于某一投影面的直線,稱為平面上的投影面平行線.平面上投影面平行線,不僅符合平面上直線的幾何條件,而且具有投影面平行線的投影特性.同一平面上可作無數(shù)條投影面平行線,且同面投影相互平行.如圖2-30所示。上一頁下一頁返回２.４平面的投影２.４.５直線與平面、平面與平面之間的相對位置直線與平面、平面與平面之間的相對位置可分為平行和相交兩種情況.１.直線與平面、平面與平面平行１)直線與平面平行若一條直線與平面上某一條直線平行,則可判別直線與平面平行,如圖２-３１所示.作圖方法:若直線與平面平行,則直線的各面投影必與平面上某一直線的同面投影平行.上一頁下一頁返回２.４平面的投影投影判別方法:若直線的各面投影對應(yīng)地平行于平面上某一直線的同面投影,則直線與該平面平行.當(dāng)平面垂直于某一投影面時,直線在該面上的投影平行于平面的積聚性投影,或二者投影均有積聚性,則直線也與該平面平行,如圖２-３２所示.２)平面與平面平行若一個平面上兩條相交直線與另一個平面上相交兩直線對應(yīng)平行,則兩平面一定平行,如圖２-３４所示.作圖特點(diǎn):兩平面平行,則兩平面上相交兩直線的同面投影相互平行.上一頁下一頁返回２.４平面的投影投影判別方法:若一個平面上的兩條相交直線和另一個平面上的兩條相交直線的同面投影對應(yīng)平行,則可判定空間兩平面平行.當(dāng)兩平面的積聚性投影相互平行,則也可判定兩平面平行.２.直線與平面、平面與平面相交直線與平面相交,其交點(diǎn)是直線和平面的共有點(diǎn);兩平面相交,其交線(直線)是兩平面的共有線.本節(jié)主要討論利用投影積聚性求交點(diǎn)、交線的作圖方法.１)一般位置直線與特殊位置平面相交上一頁下一頁返回２.４平面的投影如圖２-３６所示,一般位置直線EF與鉛垂面△ABC相交,交點(diǎn)K的H面投影必在△ABC的同面投影abc上,又必在直線EF的H面投影ef上,因此,交點(diǎn)K的H面投影k就是abc與ef的交點(diǎn),再由k求出e′f′上的k′.交點(diǎn)K也是直線EF在△ABC平面范圍內(nèi)可見與不可見的分界點(diǎn),直線EF在交點(diǎn)右下方的一段KF位于△ABC平面之前,因此e′f′在△a′b′c′內(nèi)k′點(diǎn)的右下方一段是可見的,應(yīng)畫成粗實線;而直線EF在交點(diǎn)K的另一側(cè)在△ABC平面之后,則e′f′在△a′b′c′內(nèi)k′點(diǎn)的左上方一段是不可見的,故應(yīng)畫成虛線.上一頁下一頁返回２.４平面的投影也可利用重影點(diǎn)判斷可見性,即找出直線EF與△ABC對V面重影點(diǎn)的投影１′(２′),求出其H面投影１、２,并由H面投影可知平面上Ⅰ點(diǎn)的y坐標(biāo)值大于直線上Ⅱ點(diǎn)的坐標(biāo)值,所以平面在直線之前,該直線至點(diǎn)的一段不可見,而點(diǎn)另一側(cè)的直線是可見的.２)投影面垂直線與一般位置平面相交直線MN與平面△ABC相交,如圖２-３７(a)、(b)所示,其作圖方法,如圖２-３７(c)所示.由于直線MN為正垂線,則交點(diǎn)K的V面投影k′和m′、n′重影,根據(jù)點(diǎn)、線、面的從屬關(guān)系,再求出點(diǎn)K的H面投影k,即過k′任作一直線AD的V面投影a′d′,并求出H面投影ad,其H面投影ad與mn的交點(diǎn)k,即為交點(diǎn)K的水平投影.上一頁下一頁返回２.４平面的投影在H面投影中,mn與ac的交點(diǎn)１(２),即為直線MN與平面上AC邊對H面的重影點(diǎn),求出其V面投影１′、２′,并由此可知直線MN上Ⅰ點(diǎn)的Z坐標(biāo)值大于平面上Ⅱ點(diǎn)的Z坐標(biāo)值,所以nk是可見部分,畫粗實線,km在三角形內(nèi)的部分不可見,畫虛線.３)平面與特殊位置平面相交一般位置平面與特殊位置平面相交時,特殊位置平面一定有一個為積聚性的投影,它們交線的一個投影必然重影在這個積聚性投影上(公共部分);交線的另一投影可由一般位置平面的兩個邊線與平面有積聚性投影交點(diǎn)的投影連線得出.上一頁下一頁返回２.４平面的投影求一般位置平面△ABC與鉛垂□EFGH的交線,如圖２-３８(a)、(b)所示.其作圖方法如圖２-３８(c)所示,交線MN的H面投影mn必定重影在ef和gh的投影上.M、N兩點(diǎn)是△ABC的兩邊AC、BC與□EFGH的交點(diǎn),因此可利用求直線與平面交點(diǎn)的方法求其交點(diǎn)的V面投影m′、n′,將m′、n′連線即為所求.交線MN是兩相交平面可見與不可見的分界線,由圖２-３８的兩面投影中可知,△ABC以交線MN為界,ABMN在□EFGH之前,因此在m′n′左下方的m′n′b′a′為△ABC的可見部分,畫成粗實線,而□EFGH在△ABC之后e′h′的一部分畫成虛線;交線MN另一側(cè)的△ABC部分在□EFGH之后,則△ABC的邊線與□EFGH重合的部分畫成虛線,而f′g′畫成粗實線.上一頁下一頁返回２.４平面的投影求一般位置平面△DEF與投影面平行面△ABC相交線,如圖２-３９(a)所示.其作圖方法如圖２-３９(b)所示,△DEF與△ABC交線的正面投影m′n′為△DEF兩個邊DF、EF的正面投影d′f′、e′f′與△ABC正面投影a′b′c′的交點(diǎn)連線,根據(jù)點(diǎn)、線的從屬關(guān)系,可求出點(diǎn)M、N的水平投影m、n,將其連線得交線的水平投影mn.以交線MN為界,由其正面投影可知△FMN在△ABC平面之上,所以其水平投影fmn為可見,denm為不可見.上一頁返回２.５變換投影面法２.５.１概述為了求出一般位置直線的實長或平面的實形,可以設(shè)置一個新的投影面來替換原投影面體系中的某一個投影面,組成一個新的投影面體系,使直線或平面在該投影面體系中處于特殊位置,從而達(dá)到解題簡化的目的,這種方法稱為變換投影面法,簡稱換面法.△ABC在原投影面體系中是鉛垂面,它的兩個投影均不反映實形,如圖２-４０所示.現(xiàn)設(shè)置一個新投影面V１,并使V１面與△ABC平行,此時V１面必然垂直于H面,于是組成了一個新的投影面體系V１/H,在這個投影面體系中,△ABC是V１面的平行面,所以它在V１面上的投影反映實形.在換面法中,新投影面的設(shè)置必須滿足以下兩個條件:下一頁返回２.５變換投影面法(１)新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個投影面,這樣才能建立一個新的直角投影面體系,以便利用正投影法作圖.(２)新投影面必須使直線或平面處于有利于解題的位置,使問題求解簡便.２.５.２換面法的基本作圖方法１.點(diǎn)的一次換面如圖２-４１所示,點(diǎn)A在原投影面體系中的投影為a、a′,現(xiàn)在設(shè)置一個新投影面V１替換V面,則點(diǎn)A在新投影面體系V１/H中的投影為a、a′１.V１面與H面垂直,并與H面相交于X１,則X１即為V１/H投影面中的投影軸.上一頁下一頁返回２.５變換投影面法根據(jù)正投影原理,新投影a′１與不變的投影面H上的投影a的連線垂直于新投影軸X１,a′１到X１的距離與a′到X軸的距離反映了點(diǎn)A到H面的距離,所以a′１ax１＝a′ax＝Aa＝ZA.由此可以得到點(diǎn)A在新、舊兩個投影面體系中的投影變換規(guī)律如下:(１)新投影與不變投影之間連線垂直于新投影軸.(２)新投影到新軸的距離等于被替換的投影到舊軸的距離.根據(jù)這兩條規(guī)律,點(diǎn)的一次換面作圖步驟如下:(１)變換V面,作新投影軸X１.(２)過a作X１的垂線.(３)在垂線上截取a′１ax１＝a′ax,即得點(diǎn)A在V１面上的新投影a′１.上一頁下一頁返回２.５變換投影面法上述情況是變換V面,也可以變換H面,建立新投影面體系V/H１,此時,作圖步驟與上述情況相似,如圖２-４２所示.但應(yīng)注意:２.點(diǎn)的二次換面在解題時,有時作一次換面還不能完成,需要進(jìn)行二次換面,如圖２-４３(a)所示.二次換面是在一次換面的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行換面,二次換面的原理和作圖方法與一次換面類似,只是新投影面的設(shè)置要交替更換.上一頁下一頁返回２.５變換投影面法在投影圖上,點(diǎn)的二次換面作圖步驟,如圖２-４３(b)所示.３.直線和平面的換面１)求一般位置直線的實長及對投影面的傾角一般位置直線只有在新投影面體系中成為投影面平行線時,才能在新投影面上反映該直線的實長及其對不變投影面的傾角.因此,只要使新投影面平行于該直線,且垂直于原投影面體系中的一個投影面即可,如圖２-４４(a)所示.新投影面V１平行于直線AB,又垂直于H面,從而建立起V１/H新的投影面體系,此時直線AB在新投影面V１上的投影a′１b′１反映直線AB的實長,a′１b′１與X１軸的夾角反映了直線AB對H面的傾角α.上一頁下一頁返回２.５變換投影面法將直線兩端點(diǎn)的投影換面,即可求出直線換面后的投影,其作圖步驟如圖２-４４(b)所示.作投影軸X１,使X１∥AB,X１與ab的距離可任意選擇,包括X１通過ab.將直線兩端點(diǎn)A、B按點(diǎn)的換面規(guī)律作圖,在V１面上求出a′１、b′１,連接即得到直線AB換面后新的投影a′１b′１

,則a′１b′１＝AB,a′１b′１與X１軸的夾角α即為直線AB對H面的傾角.２)將一般位置直線換成投影面垂直線這種換面必須經(jīng)二次換面,第一次換面使直線變換成投影面平行線,第二次換成投影面垂直線,其作圖步驟如圖２-４５所示.上一頁下一頁返回２.５變換投影面法(１)作X１軸與ab平行,以V１面替換V面;(２)分別由a、b作X１軸的垂線,取a′１ax１＝a′ax、b′１bx１＝b′bx,并將a′１、b′１連線;(３)作X２軸與a′１b′１垂直,以H２面替換H面;(４)由a′１、b′１作X２軸的垂線,取a２ax２＝aax１、b２bx２＝bbx１,則a２、b２積聚為一點(diǎn),即直線A