解答題規(guī)范練(四)

1.設△49C的內(nèi)角4,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且6sinA-y[iacos8=0.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若a+c=3,求4c邊上中線長的最小值.

2.如圖，在四

棱柱46aMsc㈤中，底面被力是等腰梯形，AB//CD,AB=2,BgCQl,頂點〃在底

面4仇》內(nèi)的射影恰為點C.

(1)求證：ADUBC；

(2)若直線DD、與直線力6所成的角為三，求平面ABCA與平面46切所成角(銳角)的余弦

3

值.

3.已知函數(shù)f(x)=x—alnx+6,a,6為實數(shù).

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(D)處的切線方程為y=2x+3,求a,。的值；

⑵若If(x)|〈二對xd⑵3]恒成立，求a的取值范圍.

x

4?已知拋物線G/=2x,過點"(2,0)的直線/交拋物線，于爪8兩點.點戶是直線x=一

2

-上的動點，且戶0J_四于點Q.

3

⑴若直線冰的傾斜角為3匚n，求|加；

4

(2)求也的最小值及取得最小值時直線，的方程.

倒

5.已知正項數(shù)列｛&,｝滿足：4=1，aj=a〃_]a〃+a〃_i(〃22)?￡為數(shù)列｛當｝的前〃項和.

2

(1)求證：對任意正整數(shù)〃，有

n2

⑵設數(shù)歹是｝的前〃項和為北，求證：對任意"￡(0,6),總存在正整數(shù)M使得〃>N時，

T)M.

解答題規(guī)范練(四)

1.解：(1)由正弦定理得，sinBsin力一他sinA?cosB=0,因為0<A<n,所以sinA

WO,

所以tanB=*,

因為6是三角形的內(nèi)角，所以8=60°.

(2)設力。邊上的中點為反由余弦定理得：酬=2――=>+cTa,

44

=(a+c)12J=里當且僅當a=c時，取“=”，

44416

所以1c邊上中線長的最小值為班.

4

2.解：(1)證明：連接〃C，則〃。_L平面所以〃UL6C

在等腰梯形/式》中，連接4G因為48=2,BC=CD=1,AB//CD,

所以8CUC,所以6C'_L平面所以

(2)

法一：因為45〃/所以N〃比三二，

3

因為切=1,所以〃<7=他.

在底面46(力中作CMVAB,連接D、M,

則D.MA.AB,

所以/〃加C為平面/比/與平面46(力所成角的一個平面角.

在Rtz^〃CV中，CM=￡,D、C=#,

所以〃"=弋井/+c人=乎,

所以cosZDMC=—,

}5

即平面ABCA與平面力時所成角(銳角)的余弦值為3.

5

法二:

由(1)知BC、0c兩兩垂直,

因為AB〃⑶,所以三，

3

因為必=1,所以。。=4.

在等腰梯形｛時中，

因為48=2,BC=Cg\,AB//CD,

所以4北,建立如圖所示的空間直角坐標系，

則。(0,0,0),4(m,0,0),8(0,1,0),〃(0,0,3),

設平面的法向量為A=(x,y,z),

,n-AB=0,.—g=o,

由,得,

〃?成=0匕―x=0,

可得平面/因〃的一個法向量n=(l,3，1).

又近=(0,0,氈)為平面4靦的一個法向量，

—近.n'后

因此COS(CD\,A〉=—=兒，

\CD.\\n5

所以平面48c〃與平面力靦所成角(銳角)的余弦值為獨.

5

3.解:(l)f(x)=l—

X

因為曲線p=F(x)在點(1,HD)處的切線方程為y=2x+3,

所以/(1)=2,/(I)=5,

]a—2

所以，，解得a=-1,b=4.

[1+6=5

Q

⑵因為If(x)|〈N對xe[2,3]恒成立,

即11一2|<烏對［2,3］恒成立,

xx

所以|x-a|<°對x￡［2,3］恒成立，

x

33

所以x—<a<x~\■-對［2,3］恒成立，

xx

設g(x)=x—，力(x)=xd■-，x￡［2,3］,

xx

則g'U)=1+—>0,力'(x)=l--->0,

xx

所以g(x)在［2,3］上是增函數(shù)，力5)在［2,3］上是增函數(shù)，

7

所以&ax(x)=g(3)=2,力min(x)=力(2)=一.

2

7

所以a的取值范圍是［2,

2

4.解：(1)因為直線。戶的傾斜角為3匚JT，所以直線/：尸x—2,

4

由，消去y得x—6x+4=0,

y=x-2

所以IAB\X<36—16=2沂.

(2)設/：x=/〃y+2,由｛消去x得/—2R/—4=0.

［x=/ny+2

設力(為，必)，夕(均，%)，

2=(-2Z&)2—4?(-4)>0

所以外+%=2%，

必為=-4

所以I力創(chuàng)=，1+〃八/4病+16.

又直線廣。的方程為y=—mx,

r2冽2

所以/I-?可于是點尸到直線1的距離d=|PQ\=-?,

3也+而

所以羋=3'/(￡+1):

PQ\V/+4

(/—2q

令序+4=t(e24),令f(t)==什/一6,所以/?1)在［4,+8)上單調(diào)遞增,

t

所以f(t)"S=f(4)=-,此時?=0.

4

所以也=3/⑺2L=。，即?的最小值為之此時直線/：X=2.

PQ\V42\PQ\2

5.證明：⑴因為

1+為+1

所以“22時，a=（當一&+（a〃_]一%—2）H----F（劣—4）+a<n-l-\--=n—,

]22

所以￡<4+（2--）+（3--）+…+（n—-）=—9即包<4

2222n2

當〃=i時，e=L綜上，鳥<2

12n2

⑵由（1）可知IaQa〃>0,

3=上=匕恁八分二上在區(qū)間⑴，+8）上單調(diào)遞增，

色+121+x

所以〃+1—4=及:=：，

1+%+1l+c?22

從而a,=a—a,Li+a-1-/_2+…+也一當+團2-（〃-1）H--=-,

222

當〃22時，J_=^±l=l+lr

aa

n-\n當當%an-\an

111111999

所以。=F