山東省滕州市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月單元過關(guān)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若原點(diǎn)在直線l上的射影是點(diǎn)P(－2,1)，則直線l的方程為（

）A．x＋2y＝0 B．y－1＝－2(x－2) C．y＝2x＋5 D．y＝2x＋32．如圖,在四面體中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),則等于（

）A． B．C． D．3．已知直線，若，則的值為（

）A． B．－4 C．4 D．4．已知空間向量兩兩夾角均為60°，其模均為1，則＝（

）A．5 B．6 C． D．5．對于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，且有，則，，是，，，四點(diǎn)共面的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．在一直角坐標(biāo)系中，已知，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角，則折疊后兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．27．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點(diǎn)A到直線BC的距離為（

）A． B．1 C． D．8．分別為異面直線上的點(diǎn)，若且，則稱為異面直線的公垂線段，其長定義為兩異面直線間的距離，則在邊長為1的正方體中，與的距離是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法錯誤的是（

）A．若直線與直線互相垂直，則B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過，兩點(diǎn)的所有直線的方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為10．若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動點(diǎn)（與、不重合），.給出下列三個結(jié)論：①線段長度的取值范圍是；②存在點(diǎn)使得平面；③存在點(diǎn)使得.其中，正確的是（

）

A．① B．②C．③ D．均不正確11．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，存在唯一的點(diǎn)，使得與直線的夾角為C．當(dāng)時，長度的最小值為D．當(dāng)時，與平面所成的角不可能為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，，若，，三向量共面，則．13．已知，直線與線段AB有公共點(diǎn)，則直線的斜率取值范圍為14．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線OP上的射影M點(diǎn)的坐標(biāo)為.四、解答題（本大題共5小題）15．根據(jù)下列條件，求直線的一般方程：(1)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；(2)若，的角平分線所在直線方程.16．把直線看作是動點(diǎn)的軌跡（集合），利用坐標(biāo)法描述動點(diǎn)P的特征，其中為直線的法向量，使直線有了代數(shù)表達(dá)形式，即直線的方程.(1)類比此思想與方法，在空間直角坐標(biāo)系下，若、、，求平面的方程.(2)求點(diǎn)到平面的距離.17．如圖所示，是梯形的高，OA=OB=BC=1，OD=3OA=3OF，E為AB的中點(diǎn)，將梯形沿折起得到如圖所示的四棱錐，使得．在棱CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ//平面CEF？若存在，指出點(diǎn)Q的位置，若不存在，請說明理由.

18．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面，.

(1)若點(diǎn)為EF的中點(diǎn)，求平面APB與BFC的交線與平面ABCD所成的角正弦值(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.19．請根據(jù)如下準(zhǔn)備知識，解決相應(yīng)的問題.①向量的數(shù)乘:規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：.當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，.特別地，是一個與方向相同的單位向量.②向量的內(nèi)積：，其中為兩向量的夾角.對于平面向量，若，則.特別地，，即向量的模等于它同與它同方向的單位向量的內(nèi)積.③平面內(nèi)直線的法向量為，如圖1所示.④平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的基本特征：若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，有兩點(diǎn)連線與直線垂直，且點(diǎn)到直線的距離相等，即，如圖2所示.(1)平面內(nèi)，求點(diǎn)Px0,y0關(guān)于直線對稱點(diǎn)(2)請你用上面所得的結(jié)論解決如下兩個問題:①求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo).②，直線過點(diǎn)，為直線上的動點(diǎn)，若的最小值為，求直線的方程.

參考答案1．【答案】C【詳解】∵直線的斜率為，又，∴直線的斜率為2，∴直線的點(diǎn)斜式方程為，化簡，得，故選C.2．【答案】C【詳解】在四面體中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn)故選:C.3．【答案】B【解析】由可得解得，然后再檢驗(yàn),得出答案.【詳解】因?yàn)椋?當(dāng)時，兩直線重合，所以舍去.當(dāng)時，符合題意.所以.故選：B4．【答案】C【詳解】解：由題得.故選：C5．【答案】B【詳解】解：空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，且則,,,四點(diǎn)共面等價于若x=2，，，則，所以,,,四點(diǎn)共面若,,,四點(diǎn)共面，則，不能得到x=2，，所以x=2，，是,,,四點(diǎn)共面的充分不必要條件故選B.6．【答案】D【解析】畫出圖形，作，則，可得，沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角，故兩異面直線所成的角為，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】如圖為折疊后的圖形，其中作則，沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角兩異面直線所成的角為．可得：故由得故選：D.7．【答案】A【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點(diǎn)A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選A.【方法總結(jié)】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運(yùn)算，向量的模，向量的夾角.8．【答案】C【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，如圖所示：

設(shè)為異面直線與的公垂線段，則，所以設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量為，則有，則有，取，則則異面直線與的距離.故選：C.9．【答案】ACD【解析】．根據(jù)直線垂直的等價條件進(jìn)行判斷，．根據(jù)直線斜率以及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷，．當(dāng)直線和坐標(biāo)軸平行時，不滿足條件．．過原點(diǎn)的直線也滿足條件．【詳解】解：．當(dāng)，兩直線方程分別為和，此時也滿足直線垂直，故錯誤，．直線的斜率，則，即，則，故正確，．當(dāng)，或，時直線方程為，或，此時直線方程不成立，故錯誤，．若直線過原點(diǎn)，則直線方程為，此時也滿足條件，故錯誤，故選：．10．【答案】AB【詳解】

如圖：取的中點(diǎn)為，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，再過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，由正方體中平面，平面，所以，又因?yàn)?，，所以平面，即，所以，同理可證，則，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，對于，，由，則，則，所以，所以正確；對于，因?yàn)?，則平面的一個法向量為，又有，令，即，即存在點(diǎn)，使得平面，所以正確；對于，，令，整理得：，該方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在點(diǎn)，使得，所以錯誤.故選：AB.11．【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時，的軌跡為線段，由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段，直線直線，當(dāng)與重合時，與直線所成角最大，即與直線所成角最大，最大為，故B錯誤；C選項(xiàng)：當(dāng)時，點(diǎn)軌跡為線段，到線段的距離為，長度的最小值為．故C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時，點(diǎn)軌跡為線段，過點(diǎn)做垂直平面于點(diǎn)，則在線段上，為直線與平面所成角，若，則，又點(diǎn)到線段上點(diǎn)的最小距離為，不存在，所以與平面所成角不可能為，故D正確．故選：ACD．12．【答案】5【解析】利用共面向量基本定理列坐標(biāo)關(guān)系，求解即可.【詳解】，，三向量共面，則存在，使得，則，即，解得.故答案為：5.13．【答案】【詳解】由直線的方程可得，所以直線l過定點(diǎn)如圖所示，，過點(diǎn)P且與x軸垂直的直線PC與線段AB相交，但此時直線l的斜率不存在，當(dāng)直線l從直線PA轉(zhuǎn)到與y軸平行的直線PC位置時（轉(zhuǎn)動時以點(diǎn)P為定點(diǎn)），直線l的斜率從1開始趨向于正無窮，即；當(dāng)直線l再由直線PC轉(zhuǎn)到直線PB位置時（轉(zhuǎn)動時以點(diǎn)P為定點(diǎn)），直線l的斜率從負(fù)無窮開始趨向于，并在PB位置時達(dá)到，即，所以直線l的斜率k的取值范圍為，故答案為：14．【答案】【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為.因?yàn)樵谥本€OP上，設(shè)，所以，所以，所以，所以，，又，所以，解得：.所以.故答案為：；.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)與直線平行的直線方程為，把點(diǎn)代入，得，解得，∴所求直線方程為.（2）∵，∴，，設(shè)的角平分線所在直線的斜率為，則，解得或，由圖可知，所以.∵的角平分線所在直線過點(diǎn)，∴直線方程為，即，∴的角平分線所在直線方程為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，設(shè)為平面的法向量，則有，令，則有，，即，則平面的方程為：，即；（2）由題可得，平面的法向量為，且過點(diǎn)，則有，則點(diǎn)到平面的距離.17．【答案】存在Q，點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)【詳解】存在Q，點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，其理由如下：因?yàn)槭翘菪危郧?所以四邊形是正方形，所以,而，，所以，所以，因?yàn)槭翘菪蔚母?，所以由，，在平面?nèi)相交于點(diǎn)，所以平面，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.，B1,0,0，，，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以E1設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，由三點(diǎn)共線，設(shè)，，又PQ//平面CEF，所以，即在棱CD上是存在一點(diǎn)Q，使得PQ//平面CEF，此時Q是CD的中點(diǎn).

18．【答案】(1)(2)求的最小值為.【詳解】（1）在梯形中，∵，，∴，∴，∴，∴，又因?yàn)槠矫?，建立分別以直線為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,平面ABCD的法向量為，，將圖形放入如圖所示的直四棱柱中，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以五點(diǎn)共面，平面即為平面，所以平面APB與BFC的交線即為，，，，，設(shè)交線與平面ABCD所成的角為，.平面APB與BFC的交線與平面ABCD所成的角正弦值為.

（2）由（1）可令，則,∴,,設(shè)為平面的一個法向量，由得，取則，∵是平面的一個法向量,∴∵,∴當(dāng)時，有最大值．∴的最小值為

19．【答案】(1)(2)①；②或.【詳解】（1）由準(zhǔn)備知識③，直線的法向量為，其中.由準(zhǔn)備知識①，是一個與方向相同的單位向量.（i）當(dāng)時，直線斜率為.設(shè)點(diǎn)Px0,y0關(guān)于直線是線段的中點(diǎn)，由預(yù)備知識④，則．如圖3，當(dāng)點(diǎn)Px0,由，且與方向相同，設(shè).由點(diǎn)到直線的距離公式，得，由準(zhǔn)備知識②，可得,所以.如圖，由點(diǎn)在直線上方，設(shè)直線上與點(diǎn)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，故，由，又，所以則，將式代入可得．如圖4，當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時，取直線的一個法向量，則，且與也方向相同，設(shè).同理可得，如圖，由點(diǎn)在直線下方，設(shè)直線上與點(diǎn)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，故，由又，所以則，將式代入可得.當(dāng)在直線上時，則，則點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即點(diǎn)本身，即，也滿足.綜上，當(dāng)時，點(diǎn)Px0,y0關(guān)于直線的對稱點(diǎn).（ii）當(dāng)時，同理可證，上述公式也成立．（iii）當(dāng)時，直線方程為，直線與軸垂直，此時點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為也適合公式．（iv）當(dāng)時，則方程即方程，.則由以上分析可應(yīng)