第六章概率§3離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.2離散型隨機(jī)變量的方差課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.有甲、乙兩種水稻,測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù),計(jì)算出樣本方差分別為DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估計(jì)()A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較答案B解析∵DX甲>DX乙,∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊.2.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=13,k=3,6,9,則DX等于(A.6 B.9 C.3 D.4答案A解析EX=3×13+6×13+9×13=6.DX=(3-6)2×13+(6-6)2×13.隨機(jī)變量X的分布列如下:X-101Pa1b若EX=13,則DX的值是(A.19 B.29答案D解析由題設(shè)可得a+b=23,b-a=13?a=16則DX=-1-132×16+0-132×13+1-1324.已知隨機(jī)變量X的取值為1,2,3,若P(X=3)=16,EX=53,則DX=(A.19 B.39答案C解析設(shè)P(X=1)=p,P(X=2)=q,所以EX=p+2q+3×16=16+p+q=1,②由①②得,p=12,q=1所以DX=12×1-532+13×2-532+16×3-535.已知隨機(jī)變量ξ,η的分布列如下表所示,則()ξ123P111η123P111A.Eξ<Eη,Dξ<Dη B.Eξ<Eη,Dξ>DηC.Eξ<Eη,Dξ=Dη D.Eξ=Eη,Dξ=Dη答案C解析由題意得Eξ=1×13+2×12Dξ=1-1162×13+2-1162×12+3-1162×16=1736;Eη=1×1Dη=1-1362×16+2-1362×12+3-1362×所以Eξ<Eη,Dξ=Dη.6.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xP11p若EX=2(1)求DX的值;(2)若Y=3X-2,求DY的值.解由12+13+p=1,又EX=0×12+1×13+16(1)DX=0-232×12+1-232×13+2-232(2)因?yàn)閅=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5.7.有甲、乙兩家單位都情愿聘用你做兼職員工,而你能獲得如下信息:甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1依據(jù)工資待遇的差異狀況,你情愿選擇哪家單位?解依據(jù)月工資的分布列,可得EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400,DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1=40000;EX2=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.1=160000.因?yàn)镋X1=EX2,DX1<DX2,所以兩家單位的工資的期望相等,但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中,乙單位不同職位的工資相對(duì)分散.這樣,我希望不同職位的工資差距小一些,可選擇甲單位;假如我希望不同職位的工資差距大一些,可選擇乙單位.(言之有理即可)8.甲、乙兩人輪番射擊,每人每次射擊一次,先射中者獲勝,射擊進(jìn)行到有人獲勝或每人都已射擊3次時(shí)結(jié)束.設(shè)甲每次射擊命中的概率為23,乙每次射擊命中的概率為25,且每次射擊互不影響,(1)求甲獲勝的概率;(2)求射擊結(jié)束時(shí)甲的射擊次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差.解(1)記甲第i次射中獲勝為Ai(i=1,2,3),則A1,A2,A3彼此互斥,甲獲勝的事務(wù)為A1+A2+A3,因?yàn)镻(A1)=23P(A2)=13P(A3)=132×352×23=所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=23即甲獲勝的概率為62(2)X全部可能的取值為1,2,3,則P(X=1)=23P(X=2)=13P(X=3)=132×352×1=125.所以X的分布列為X123P441所以X的數(shù)學(xué)期望EX=1×45+2×425X的方差DX=1-31252×45+2-31252×425+3-31252等級(jí)考提升練9.若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,又已知EX=43,DX=29,則x1+x2A.53 B.73 C答案C解析∵EX=23x1+13x2=∴x2=4-2x1,DX=43-x12×23+43-x22×∵x1<x2,∴x1=1,x2=210.已知ξ的分布列為ξ-101P111則在下列式子①Eξ=-13;②Dξ=2327;③P(ξ=0)=13,正確的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析由題意,依據(jù)隨機(jī)變量的分布列的期望與方差的計(jì)算公式可得Eξ=(-1)×12+0×13+1×16=-13,所以①正確;Dξ=-1+132×12+0+132×13+1+132×16=59,所以②不正確;11.設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ-101P11p則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)漸漸增大時(shí)()A.Dξ增大 B.Dξ減小C.Dξ先增大后減小 D.Dξ先減小后增大答案A解析因?yàn)?<p<1,所以由隨機(jī)變量ξ的分布列的性質(zhì)得Eξ=(-1)×12+0×1-p2+1×p2=p2-12,Dξ=-12-p22×12+12-p22×1-p2+312.(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿意Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的有()A.q=0.1 B.EX=2,DX=1.4C.EX=2,DX=1.8 D.EY=5,DY=7.2答案ACD解析因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正確;又EX=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,DX=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故B不正確,C正確;因?yàn)閅=2X+1,所以EY=2EX+1=5,DY=4DX=7.2,故D正確.13.(多選題)若隨機(jī)變量X聽(tīng)從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=13,EX,DX分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(A.P(X=1)=EX B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=4答案AB解析隨機(jī)變量X聽(tīng)從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=13,所以P(X=1)=23,EX=0×13+1×23=23,DX=0-232×13+1-232×23=29,在A中,P(X=1)=EX,故A正確;在B中,E(3X+2)=3EX+2=3×23+2=4,故B正確;在C中,D(3X+2)=9DX=9×214.隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=15,Eξ=1,則Dξ=.答案2解析設(shè)P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,則15+a+b=1,a+2b=1,解得a=35,b=15,15.變量ξ的分布列如下:ξ-101Pabc其中2b=a+c,若Eξ=13,則Dξ的值是.答案5解析∵2b=a+c,且a+b+c=3b=1,∴b=13,a+c=又Eξ=-a+c=13,∴a=16,c=故分布列為ξ-101P111∴Dξ=-1-132×16+0-132×13+1-13216.為了豐富學(xué)生的課余生活,促進(jìn)校內(nèi)文化建設(shè),我校高二年級(jí)通過(guò)預(yù)賽選出了6個(gè)班(含甲、乙)進(jìn)行經(jīng)典美文誦讀競(jìng)賽決賽.決賽通過(guò)隨機(jī)抽簽方式確定出場(chǎng)依次.求:(1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的概率;(2)決賽中甲、乙兩班之間的班級(jí)數(shù)記為X,求X的均值和方差.解(1)設(shè)“甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)”為事務(wù)A,則P(A)=A所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的概率為1(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.P(X=0)=A2P(X=1)=4×P(X=2)=A4P(X=3)=A4P(X=4)=A隨機(jī)變量X的分布列為X01234P14121因此,EX=0×13+1×415+2×15DX=13×0-432+415×1-432+15×2-432+215×3-432+115×4-新情境創(chuàng)新練17.依據(jù)以往的閱歷,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;(2)在降水量至少是300mm的條件下,工期延誤不超過(guò)6天的概率.解(1)由已知條件有P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,DY=(0-3)2×0.3+(2