第十三章軸對(duì)稱培優(yōu)拔高練等腰三角形與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題等腰三角形的綜合探究題1.

[2024天津月考]如圖①，點(diǎn)

P

，

Q

分別是邊長(zhǎng)為4

cm的等

邊三角形

ABC

的邊

AB

，

BC

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

P

從頂點(diǎn)

A

出

發(fā)向頂點(diǎn)

B

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

Q

從頂點(diǎn)

B

出發(fā)向頂點(diǎn)

C

運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)

同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1

cm/s.21(1)連接

AQ

，

CP

交于點(diǎn)

M

，則在點(diǎn)

P

，

Q

運(yùn)

動(dòng)的過程中，∠

CMQ

的度數(shù)變化嗎？若變

化，則說明理由，若不變，則求出它的度

數(shù).

211.

[2024天津月考]如圖①，點(diǎn)

P

，

Q

分別是邊長(zhǎng)為4

cm的等

邊三角形

ABC

的邊

AB

，

BC

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

P

從頂點(diǎn)

A

出

發(fā)向頂點(diǎn)

B

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

Q

從頂點(diǎn)

B

出發(fā)向頂點(diǎn)

C

運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)

同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1

cm/s.(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

時(shí)，△

PBQ

是直

角三角形.

21

點(diǎn)撥：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t

s時(shí)，△

PBQ

是直角三角形，則

AP

＝

BQ

＝

t

cm，

PB

＝(4－

t

)cm.

211.

[2024天津月考]如圖①，點(diǎn)

P

，

Q

分別是邊長(zhǎng)為4

cm的等邊三角形

ABC

的邊

AB

，

BC

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

P

從頂點(diǎn)

A

出發(fā)向頂點(diǎn)

B

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

Q

從頂點(diǎn)

B

出發(fā)向頂點(diǎn)

C

運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1

cm/s.(3)如圖②，若點(diǎn)

P

，

Q

在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線

AB

，

BC

上運(yùn)動(dòng)，直線

AQ

，

CP

的交點(diǎn)為

M

，

則在此運(yùn)動(dòng)過程中，∠

CMQ

的度數(shù)變化嗎？若變化，則說明

理由；若不變，則求出它的度數(shù).21解：(3)∠

CMQ

的度數(shù)不變.∵△

ABC

是等邊三角形，∴

BC

＝

AC

，∠

ABC

＝∠

ACB

＝60°，∴∠

PBC

＝

∠

ACQ

＝120°.易知

BP

＝

CQ

，∴△

PBC

≌△

QCA

，∴∠

BPC

＝∠

MQC

.

又∵∠

PCB

＝∠

MCQ

，∴∠

CMQ

＝∠

PBC

＝120°，∴在此運(yùn)動(dòng)過程中，∠

CMQ

的度數(shù)不發(fā)生變化，∠

CMQ

＝120°.212.

[2023平頂山期末]已知在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，點(diǎn)

D

是

邊

AB

上一點(diǎn)，∠

BCD

＝∠

A

.

(1)如圖①，試說明：

CD

＝

CB

.

21解：(1)∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

.

∵∠

BDC

是△

ADC

的一個(gè)外角，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

ACD

.

∵∠

ACB

＝∠

BCD

＋∠

ACD

，∠

BCD

＝∠

A

，∴∠

BDC

＝∠

ACB

，∴∠

ABC

＝∠

BDC

.

∴

CD

＝

CB

.

212.

[2023平頂山期末]已知在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，點(diǎn)

D

是

邊

AB

上一點(diǎn)，∠

BCD

＝∠

A

.

(2)如圖②，過點(diǎn)

B

作

BE

⊥

AC

，垂足為點(diǎn)

E

，

BE

與

CD

相交于點(diǎn)

F

.

①試說明：∠

BCD

＝2∠

CBE

；②如果△

BDF

是等腰三角形，求∠

A

的度數(shù).21解：(2)①∵

BE

⊥

AC

，∴∠

BEC

＝90°，∴∠

CBE

＋∠

ACB

＝90°.設(shè)∠

CBE

＝α，則∠

ACB

＝90°－α，∴∠

ACB

＝∠

ABC

＝∠

BDC

＝90°－α，∴∠

BCD

＝180°－∠

BDC

－∠

ABC

＝180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α，∴∠

BCD

＝2∠

CBE

.

21②∵∠

BFD

是△

CBF

的一個(gè)外角，∴∠

BFD

＝∠

CBE

＋∠

BCD

＝α＋2α＝3α.分三種情況：當(dāng)

BD

＝

BF

時(shí)，∠

BDC

＝∠

BFD

＝3α.∵∠

ACB

＝∠

ABC

＝∠

BDC

＝90°－α，∴90°－α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠

A

＝∠

BCD

＝2α＝45°.21當(dāng)

DB

＝

DF

時(shí)，∠

DBE

＝∠

BFD

＝3α.∵∠

DBE

＝∠

ABC

－∠

CBE

＝90°－α－α＝

90°－2α，∴90°－2α＝3α，∴α＝18°，∴∠

A

＝∠

BCD

＝2α＝36°.當(dāng)

FB

＝

FD

時(shí)，∠