第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(精練）一、單選題1．在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A解：依題意，所以，即，所以；故選：A2．在梯形ABCD中，且，點(diǎn)P在邊BC上，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線，于是可得，因?yàn)榍遥?，所以，故；故選：A3．如圖所示，中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，所以,故選：A4．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，解得?故選：A5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C如圖，連接AO，由O為BC的中點(diǎn)可得，∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，則即故選：C6．直角三角形中，是斜邊上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)、在過(guò)點(diǎn)的直線上，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．為常數(shù) B．的最小值為C．的最小值為 D．、的值可以為，【答案】B如下圖所示：由，可得，，若，，，則，，，、、三點(diǎn)共線，，，故A正確；所以，時(shí)，也滿足，則D選項(xiàng)正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C選項(xiàng)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B二、多選題7．如圖，在中，分別是邊上的中線，它們交于點(diǎn)G，則下列各等式中正確的是（

） B． C． D．【答案】ABD【詳解】解：由三角形重心性質(zhì)得，所以，A正確；因?yàn)椋珺正確；由重心性質(zhì)得，，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，D正確．故選：ABD．8．如圖，在四邊形中，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若為線段的中點(diǎn)，則C．的最小值為 D．的最大值比最小值大【答案】ABD【詳解】解：如圖1，補(bǔ)全圖形，則在直角中，，則，，，又，所以，A正確；故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2.所以，，所以，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，故由得，解得，故，B正確；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；，故由得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，時(shí)，取得最大值，故，D正確.故選：ABD三、填空題9．若，則與同方向的單位向量是______．【答案】由已知，，所以與同方向的單位向量是．故答案為：10．若是直線外一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，則______．【答案】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以．故答案為?11．如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，7＝5，＝4，EF交AC于點(diǎn)K，，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______.【答案】－因?yàn)?，所?又E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，所以，解得：λ＝－.故答案為：－12．已知向量，，，若，則的最小值___________．【答案】，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.四、解答題13．如圖所示，已知矩形ABCD中，，AC與MN相交于點(diǎn)E．(1)若，求和的值；(2)用向量表示．【答案】(1)，(2)(1)以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以所以，所以解得(2)設(shè)，因?yàn)?，所以．解得，即，所以，又因?yàn)镸，E，N三點(diǎn)共線，所以，所以﹒14．如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點(diǎn)M．設(shè)，．(1)試用向量，表示；(2)在線段AC上取點(diǎn)E，在線段BD上取點(diǎn)F，使EF過(guò)點(diǎn)M，設(shè)，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定值為5.(1)設(shè)，由A，M，D三點(diǎn)共線，可知存在（，且），使得，則，因?yàn)?，所以，由平面向量基本定理得，即，①同理，由B，M，C三點(diǎn)共線，可知存在（，且），使得，則，又，所以，