§1平面直角坐標(biāo)系1.1平面直角坐標(biāo)系與曲線方程1.2平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解平面直角坐標(biāo)系的作用．(重點(diǎn))2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．(重點(diǎn))3.了解平面直角坐標(biāo)系中直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等各種圖形的代數(shù)表示．(易混點(diǎn))教材整理1平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意一點(diǎn)，都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)與之對應(yīng)；反之，對于任意的一個有序?qū)崝?shù)對(x，y)，都有唯一的點(diǎn)與之對應(yīng)．即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在平面直角坐標(biāo)系中，x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是0.()(2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的．()(3)坐標(biāo)(3,0)和(0,3)表示同一個點(diǎn)．()[解析](1)√(2)√(3)×因?yàn)?3,0)在x軸上，而(0,3)在y軸上．[答案](1)√(2)√(3)×教材整理2平面直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系曲線可看作是滿足某些條件的點(diǎn)的集合或軌跡，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上．那么，方程f(x，y)＝0叫作曲線C的方程，曲線C叫作方程f(x，y)＝0的曲線．填空：(1)x軸的直線方程為________．(2)以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的方程為____________．(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲線是____________．[答案](1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3)橢圓教材整理3平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長度，將會對圖形產(chǎn)生影響．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果x軸的單位長度保持不變，y軸的單位長度縮小為原來的eq\f(1,2)，圓x2＋y2＝4的圖形變?yōu)闄E圓．()(2)平移變換既不改變形狀，也不改變位置．()(3)在伸縮變換下，直線依然是直線．()[解析](1)√因?yàn)閤2＋y2＝4的圓的形狀變?yōu)榉匠蘣q\f(x2,4)＋y2＝1表示的橢圓．(2)×平移變換只改變位置，不改變形狀．(3)√直線在平移和伸縮下依然為直線，但方程發(fā)生了變化．[答案](1)√(2)×(3)√

利用平面直角坐標(biāo)系確定位置【例1】由甲導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、乙導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、丙綜合補(bǔ)給艦組成的護(hù)航編隊(duì)奔赴某海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，對商船進(jìn)行護(hù)航．某日，甲艦在乙艦正東6千米處，丙艦在乙艦北偏西30°，相距4千米．某時刻甲艦發(fā)現(xiàn)商船的某種求救信號．由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠(yuǎn)，因此4s后乙、丙兩艦才同時發(fā)現(xiàn)這一信號，此信號的傳播速度為1km/s.若甲艦趕赴救援，行進(jìn)的方位角應(yīng)是多少？[精彩點(diǎn)撥]本題求解的關(guān)鍵在于確定商船相對于甲艦的相對位置，因此不妨用點(diǎn)A，B，C表示甲艦、乙艦、丙艦，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出商船與甲艦的坐標(biāo)，問題可解．[嘗試解答]設(shè)A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船．如圖所示，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq\r(3))．∵|PB|＝|PC|，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上．kBC＝－eq\r(3)，線段BC的中點(diǎn)D(－4，eq\r(3))，∴直線PD的方程為y－eq\r(3)＝eq\f(1,\r(3))(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)．②聯(lián)立①②，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,5eq\r(3))．∴kPA＝eq\f(5\r(3),8－3)＝eq\r(3).因此甲艦行進(jìn)的方位角為北偏東30°.1．由于A，B，C的相對位置一定，解決問題的關(guān)鍵是如何建系，將幾何位置量化，根據(jù)直線與雙曲線方程求解．2．運(yùn)用坐標(biāo)法解決實(shí)際問題的步驟：建系→設(shè)點(diǎn)→列關(guān)系式(或方程)→求解數(shù)學(xué)結(jié)果→回答實(shí)際問題．1.已知某荒漠上有兩個定點(diǎn)A，B，它們相距2km，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開墾一片以AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長為8km.(1)問農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？(2)該荒漠上有一條水溝l恰好經(jīng)過點(diǎn)A，且與AB成30°的角，現(xiàn)要對整條水溝進(jìn)行加固改造，但考慮到今后農(nóng)藝園的水溝要重新改造，所以對水溝可能被農(nóng)藝園圍進(jìn)的部分暫不加固，問：暫不加固的部分有多長？[解](1)設(shè)平行四邊形的另兩個頂點(diǎn)為C，D，由圍墻總長為8km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，由橢圓的定義知，點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長2a＝4，焦距2c＝2的橢圓(去除落在直線AB上的兩點(diǎn))．以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)．易知點(diǎn)D也在此橢圓上，要使平行四邊形ABCD的面積最大，則C，D為此橢圓短軸的端點(diǎn)，此時，面積S＝2eq\r(3)(km2)．(2)因?yàn)樾藿ㄞr(nóng)藝園的可能范圍在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)內(nèi)，故暫不需要加固水溝的長就是直線l：y＝eq\f(\r(3),3)(x＋1)被橢圓截得的弦長，如圖．因此，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))?13x2＋8x－32＝0，那么弦長＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,13)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(32,13))))＝eq\f(48,13)，故暫不加固的部分長eq\f(48,13)km.平面直角坐標(biāo)系中曲線方程的確定【例2】(1)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且G上一點(diǎn)到G的兩個焦點(diǎn)的距離之和為12，求橢圓G的方程；(2)在邊長為2的正△ABC中，若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并畫出方程所表示的曲線．[精彩點(diǎn)撥]本題是曲線方程的確定與應(yīng)用問題，考查建立平面直角坐標(biāo)系、數(shù)形結(jié)合思想、曲線方程的求法及分析推理、計(jì)算化簡技能、技巧等．解答此題中(1)需要根據(jù)已知條件用待定系數(shù)法求解；(2)需要先建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，用直接法求解，再根據(jù)方程判定曲線類型畫出其表示的曲線．[嘗試解答](1)由已知設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則2a＝12，知a＝6.又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故c＝3eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)以BC所在直線為x軸，BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，則A(0，eq\r(3))．∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－eq\r(3))2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化簡得x2＋(x＋eq\r(3))2＝4.又∵P在△ABC內(nèi)，∴y>0.∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2＋(y＋eq\r(3))2＝4(y>0)．其曲線如圖所示為以(0，－eq\r(3))為圓心，半徑為2的圓在x軸上半部分圓?。髣狱c(diǎn)軌跡方程常用的方法有：(1)直接法：如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個等量關(guān)系，即可直接求曲線的方程，步驟如下：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并用(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；②寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐標(biāo)表示條件P(M)，寫出方程f(x，y)＝0；④化簡方程f(x，y)＝0；⑤檢驗(yàn)或證明④中以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，若方程的變形過程是等價的，則⑤可以省略．(2)定義法：如果動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫出軌跡方程．(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：如果動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x，y，x1，y1的方程組，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲線方程即為所求．2．如圖，四邊形MNPQ是圓C的內(nèi)接等腰梯形，向量eq\o(CM,\s\up12(→))與eq\o(PN,\s\up12(→))的夾角為120°，eq\o(QC,\s\up14(→))·eq\o(QM,\s\up14(→))＝2.(1)求圓C的方程；(2)求以M，N為焦點(diǎn)，過點(diǎn)P，Q的橢圓方程．[解](1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意得，△CQM為正三角形．∴·eq\o(QM,\s\up14(→))＝r2·cos60°＝2，∴圓C的半徑為2.又圓心為(0,0)，∴圓C的方程為：x2＋y2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，eq\r(3))，∴2a＝|QN|＋|QM|＝2eq\r(3)＋2，∴a＝eq\r(3)＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝2eq\r(3)，∴橢圓方程為：eq\f(x2,4＋2\r(3))＋eq\f(y2,2\r(3))＝1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換[探究問題]1．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，直線變?yōu)槭裁磮D形？圓、橢圓、雙曲線和拋物線呢？[提示]在平面經(jīng)過伸縮變換，直線伸縮后仍為直線；圓伸縮后可能是圓或橢圓；橢圓伸縮后可能是橢圓或圓；雙曲線伸縮后仍為雙曲線；拋物線伸縮后仍為拋物線．2．平移變換與伸縮變換的區(qū)別是什么？[提示]平移變換區(qū)別于伸縮變換的地方就是：圖形經(jīng)過平移后只改變了位置，不會改變它的形狀．3．在伸縮變換中，若x軸上的單位長度為y軸上單位長度的k倍后，變換后的坐標(biāo)(x′，y′)與原坐標(biāo)(x，y)有什么關(guān)系？[提示]一般地，在平面直角坐標(biāo)系xOy中：使x軸上的單位長度為y軸上單位長度的k倍(k>0)，則當(dāng)k＝1時，x軸與y軸具有相同的單位長度；即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝y(tǒng)))的伸縮變換，當(dāng)k>1時，相當(dāng)于x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的eq\f(1,k)，即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝\f(1,k)y))的伸縮變換，當(dāng)0<k<1時，相當(dāng)于y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的k倍，即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝kx，,y′＝y(tǒng)))的伸縮變換．【例3】在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長度；(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的2倍；(3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的eq\f(1,2)倍．[精彩點(diǎn)撥]先按要求改變x軸或y軸的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，再在新坐標(biāo)系中作出圖形．[嘗試解答](1)建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸與y軸具有相同的單位長度，則eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的圖形如圖①.(2)如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的eq\f(1,2)，則eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的圖形如圖②.(3)如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的eq\f(1,2)，則eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的圖形如圖③.在平面直角坐標(biāo)系中，改變x軸或y軸的單位長度會對圖形產(chǎn)生影響，本題2中即為的伸縮變換，本題3中即為的伸縮變換.3．本例中，eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1不變，試在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出其圖形：(1)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的eq\f(5,3)倍；(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的eq\f(3,5)倍．[解](1)如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的eq\f(3,5)，則eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的圖形如圖①.(2)如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的eq\f(3,5)，則eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的圖形如圖②.1．曲線C的方程為y＝x(1≤x≤5)，則下列四點(diǎn)中在曲線C上的是()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,5)))C．(1,5) D．(4,4)[解析]將答案代入驗(yàn)證知D正確．[答案]D2．直角坐標(biāo)系中到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是()A．|x|－|y|＝1 B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1[解析]由題知C正確．