2023年湖南省郴州市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

設(shè)m是常數(shù)，則lim也姿等于

1.L。工()o

A.0

B.1

C.m

1

2

D。

若=A=lim/(￡)，則f(x)在z()點(diǎn)

A.一定有定義B.一定有f(x0)=AC.一定連續(xù)D.極限一定存在

3.

設(shè)￡/(，)市=，/，貝ij/(幻=

A.(l+x+x2)exB.(2+2x+x2)ex

C.(2+3x+x2)e4D.(2+4x+x2)ex

由曲線y=-f,直線1=1及上軸所圍成的面積S等于()

A.T

B.一不

jc—3

.D.|

4./

已知函數(shù)/(x)=P,則lim09):/⑴二

5."Ar()。

A.-3B.OC.lD.3

(x3j-+jr)dx等于、

J-1()

A.-2

B.0

C.2

6.D?4

7,下列命題正確的是()。

A.函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是f(x)的極值點(diǎn)

B.若xO為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，則xO必為f(x)的極值點(diǎn)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處有極值，且r(xO)存在，則必有F(xO)=O

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)XO處連續(xù)，則RxO)一定存在

8.

已知a為常數(shù)JG)=2?，則lim①2一人")等于().

47n

A.24B”2?TC.2'ln2D.0

9.

設(shè)f(工)是連續(xù)函數(shù)，則J：/(z)dx—J/(a+6—x)dx等于

A.0B1

C?a+6D.//(i)dN

IO.定枳分/j,arctanx+cos3x)d-r

IL某建筑物按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過50年的概率為0.8,超過60年

的概率為0.6,該建筑物經(jīng)歷了50年后，它將在10年內(nèi)倒塌的概率

等于1】

A.0.25B.0.30C.0.35D.0.40

12設(shè)/(x)的一個(gè)原函數(shù)為xh?x,MiJ/(x)的導(dǎo)函數(shù)是()°

A(lnr*-2)Iru

—(1+Inx)

B.x

2,

—(1-Inx)

C.x

—(2+Inx)

D.x

13.

設(shè)函數(shù)〃x)=J；Q-l)dr,則/(幻有

A.極小嗎B.極小值qC.極大值;D.極大值q

14?—I

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+8

級(jí)數(shù)2a,

n-lVW(

A.絕對(duì)收斂

B.條件收斂

C.發(fā)散

15D.無法確定斂散性

Jorln(l+2r)dz

lim--------5--------=

16.一°x()o

A.3B.2C.lD.2/3

過曲線y="ku上M)點(diǎn)的切線平行直線y=2x+3,則切點(diǎn)M)的坐標(biāo)是

A.(1,1)B.(e,e)

17C.(1，e+1)D.(e,e+2)

設(shè)/(力=吧，則［J/a)dxr=

18.”()o

cosx

X

A.

sinx

B.x

c,『

—+C

D.x

19.設(shè)?(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，？’(x)=2f(x),“'(x)等于(

A.2?(x)B.4?(x)C.8?(x)D.12?(x)

20.

下列定積分等于零的是

2

A.JxcosxdxB.jxsinxdr

C.Jsinx)dxD.J(e*+x)dr

設(shè)u,v都是可導(dǎo)函數(shù)，且y，0,則(l)'=

21.v

/

u

A.A.'

uv-uv/

B.V2

uV+uv/

C.V2

u/一八

D./

22下列等式中，一定是正確的是（）

A.「/(x)dxx)djr

B.J/(j)cLr-2j./(x)dj-

C.J/(x)cLr=?—j/(—x)dx

D.1/(x)dx=0

二次枳分jSLr'/(3_y)dy等于()

A."山」，/(i.y)d/

B.

C?H，dyjW/5?)?)cb

23.D.1d”"Q")dr

24.若事件A與B為互斥事件，且P(A)=O.3,P(A+B)=O.8,則P(B)

等于().

A.A.O.3B.O.4C.O.5D.O.6

若x=_l和x=2都是函數(shù)/(x)=(a+x)e'的極值點(diǎn)，則如b分別為

25.A.b2B.2,1

函數(shù)y=2V+3/-121+1的單謝遞減區(qū)間是,

設(shè)函數(shù)==（I”尸，則老等于（）

A.產(chǎn)J

B.（ln%y）'''lnin>'

C.【ny尸lnlnj?

27.D.①（Iny尸】nl”

A.A.l/2B.l/3C.l/4D.l/5

29.反常積分j：土也等于（）

A.A.lB.l/2C.-1/2D.+oo

30.下列等式不成立的是（）

二、填空題（30題）

不定積分［*=

31..

32.已知',則/=

設(shè)尸=—,則y'=_____________.

33.xT

?二元函數(shù)z=——的定義域是__.

1+-A-

34.f

設(shè)lim(l+2『=e"，則”=

35.?-I”)-------------

36.函數(shù)y=lnx,則丫⑺。

37.

Jx-Jl+x2dX?

38.

設(shè)r(a)存在.則lim2匕小G=

x-a

A?_/(a)B./(?>—a//(u)C.—u//(a)D.af(.a)

39.

從0.123.4,5共六個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)組成數(shù)字不重復(fù)的3位奇數(shù)的概率是

40?設(shè)/(I)=*]+1嚴(yán),則f/(z)dr=____.

41.

曲線y=x3-3x2-5x4-6的凸區(qū)間為.

42.

設(shè)/(x)=7誓/，則/(x)=_________.

1十COSX

心/1+4-2z,n

設(shè)函數(shù)八幻=j2i在x=0處邊續(xù)，則?=______

43.I。，L0

44.當(dāng)f(0)=時(shí)，f(x)=ln(l+kx)m/xx=0處連續(xù).

設(shè)z=/(P-八且/⑷可微,則中二______________.

45.取

46.已知/(，，，)=/-，'，則啕”——■

47.

(興=.

48.J，。T)(l+￡)必=------------.

49.函數(shù)y=x-ln(i+x)的駐點(diǎn)為%=______.

50.

函數(shù)=J；sinz&在z=f處的導(dǎo)數(shù)值為.

51.

不定積分j(sin孑-h1)dj

A.-COS[+N+CB.——cos[+1+C

ir4

C.xsinfqI+CD.xsin[?+]+C

4

52若J/(x)&=2sin：+C,則/(x)=

設(shè)/Q)=￡!坦二,則/Q)

53.

54.

Jcosv/x-FTcLr=

設(shè)/(x)=/，g(x)=e。0'Jf-(5(/-(x)))=

55.也

56.

-10123

設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為尸a3a2aa3a*則0=

ioIoToioTo

57/+8%=----------

58.

設(shè)/Go)=-1,則lim"紅二2?一/(工。―“)=

若Jirn(l+J)4r則

59?

60?設(shè)y=excosx,貝！jyn=,

三、計(jì)算題（30題）

61設(shè)z為由方程ftr+y.y+z）=0所確定的函數(shù)?求偏導(dǎo)數(shù)z,.

已知蒯紋y。工3試求?

<1>曲線在點(diǎn)（1?1）處的切蚊方程與法線方程,

62.（2）曲線上事一點(diǎn)處的切線與■線,-41一】平行？

求極限lim(J----------?—).

63.…HUX-I

64.在拋物線y="2與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)作一內(nèi)接矩形ABCD,

其一邊AB在x軸上（如圖所示）.設(shè)AB=2x,矩形面積為S（x）.

①寫出S(x)的表達(dá)式;

②求S(x)的最大值.

65.求南數(shù)/(，)=冗一在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

ln(G+l)dX?

67.求微分方程3xf4-5x-5/-0的通解.

已知=zlru?，求爐?).

69設(shè)=”)是由方程也?=。所確定的卷函數(shù)，碎

70.求定枳分€*

xarcsinr.

求不定積分_d.r.

71.yi-J-J

求不定枳分11?arctartzdr.

72.

73.求函數(shù)f(x,y)=x2+y2在條件2x+3y=l下的極值.

74設(shè)z=uv+sin/?而“=e"=c。”.求去.

小,x>0,,

求J/(x-

工V0,

75.

2

求呵m

76.，?i"+1x+lj-

求極則巳臺(tái)

77.

求|,L(hdy.其中區(qū)域D由y=5,yh2,*=1及*=2所圍成.

79.求"=tan<Tjz)的全微分.

計(jì)算二重積分向立,其中0是由撤物線/-I及直線y=i-2限成.

80.￡

求極限則年;)

81.

設(shè).+J：+2I-2A=c，確定函數(shù)z=之(工,川?求生,生.

82.Hrdy

求極限!ijn(l-5).

83.

求微分方程今+?=J的通解.

Of.

85設(shè)函數(shù)之=(2：+求也

1+iLx<0.

設(shè)函數(shù)八公

86.x>0.

87?求函數(shù)f(x)=x3-3x-2的單調(diào)區(qū)間和極值.

QQ計(jì)算定積分「/^二？山

OO.J。

設(shè)八i)為可傲函數(shù)且播足方程：

ij：/(，)&=(x4-l)￡r/(t)d/(x>0).

89.求函數(shù)八力.

90.求函數(shù)f(x)=(x2-l)3+3的單調(diào)區(qū)間和極值.

四、綜合題(10題)

it/t當(dāng)">0*?有，］VInVL

91."Ii

92.

設(shè)函數(shù)/（j-）在閉區(qū)間［0?1］上連續(xù).在開區(qū)間（0.1）內(nèi)可導(dǎo)且/（0）=/（I）=0.

/（7）=1?證明:存在sw（0.1）使/<e）-i.

93.

求由曲線￥=/與直線I1門=2及y=0圉成平面圖形的面枳S以及該圖形繞

」軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

94.

過曲線y=x:（x^0）上某點(diǎn)A作切線.若過點(diǎn)A作的切線.曲線J「/及I軸圍成

的圖形面枳為之?求該圖形繞“軸旋轉(zhuǎn)一周所附加轉(zhuǎn)體體枳憶

95.

設(shè)函數(shù)y=or'-6a/+%在上的最大值為3,最小值為一29?又a>0,求a也

設(shè)平面圖形D是由曲線y=/,自線y=c及y軸所圍成的，求?

（1）平面圖形D的面枳；

96.（2）平面圖形D繞y軸旋箝一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

97證明：方程4/-1=j：苦尸在（0,1）內(nèi)僅有一個(gè)根.

98.

過曲線y-上“工>0）上一點(diǎn)作切線/?平面圖形D由曲線>，=.J?切線/及

上軸國成.

求：（1）平面圖形D的面積,

（2）平面圖形D繞上軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

證明：方程「占;山=J在（0.1）內(nèi)恰有一實(shí)根.

QQJ”1十，10

100.證明方程/-3工-1=0在1與2之間至少有一個(gè)實(shí)根.

五、解答題（10題）

101.

-1012

設(shè)隨機(jī)變濯&的分布列為20201040丁求E0和

"4）.

設(shè)“咐，

其中/為可張函數(shù).

證明:嚏+2琮=3z.

102.

50件產(chǎn)品中有4件次品,現(xiàn)從中任取5件,求：（】）恰有I件次品的取法的收率是多少?

（2）至少有3件次品的取法的概率是多少？

103.

（率?11分8分）的一個(gè)［為即皿1、.求卜.i?h.

JLUf?

105.

求二元函數(shù)/(x,y)=e2*Q+y2+2y)的極值.

lim（--

106,求極限一八'

107.設(shè)y=e'lnx,求y'。

計(jì)算四

108.xsinx

109.加工某零件需經(jīng)兩道工序，若每道工序的次品率分別為0.02與

0.03,加工的工序互不影響，求此加工的零件是次品的概率。

110.求曲線》R=2x+l,y2=?2x+l所圍成的區(qū)域的面積A,及此平面圖形

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vxo

六、單選題（0題）

111.

函數(shù)y=/Cr）在點(diǎn)工=70處取得極小值，則必有（）

A./Vo）＜OB./Uo）=O

C./Uo）=O且/Vo）＞OD/Cro）=O或/口。）不存在

參考答案

l.A

2.D

從左右極限存在，可推出lim/(^)=A.但不能推出其他幾個(gè)結(jié)論.故選D.

3.D解析：

因?yàn)?(x)=(x2ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex

所以/口)=(2+2x)ex+(2x+x2)ex=(2+4x+x2)ex

4.C

5.D

=/'(況,戶也.3.

&TO

6.B

7.C

根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)X0處取極值的必要條件的定理，可知選項(xiàng)C是正確的。

8.D

答應(yīng)選D.

提示利用函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義的結(jié)構(gòu)式可知

yy.(力

注意到本題中〃力)-2-是常數(shù)函數(shù)，所以/'(*)=0,所以選D.

9.A

10.16/15

ll.A

設(shè)A=｛該建筑物使用壽命超過50年｝,B=｛該建筑物使用壽命超過60

年｝,由題意，P(A)=0.8,P(B)=0.6,所求概率為:

0.8.P?=0.6.所求統(tǒng)阜為十回A)7-P,A"一霸=-畿=|一合

y-0.25.

12.B

因?yàn)?(x)=(xln?x)*=ln:x+2lnx=lnx(24-lnx).

所以/'(x)=(2+lnx)」+11nx=2(i+inx).

xxx

13.B解析

因?yàn)榘藊)=［J；("l)d"=x-l

令/'(x)=。，解得：X=\

又/"(1)=1>0

所以X=1是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)，極小值:

/(i)=￡(x-i)dx=1a-i)2|'=-1

14.D

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，一!—一7,而當(dāng)X-1時(shí)，—1—■*+?>

x-1X-1

1I

所以當(dāng)x—J-時(shí)，e*T-0,而當(dāng)r-T?時(shí)，ex-1-*+?>

?

則lime*-1不存在且不是2,故選D.

15.C

16.D

「L”n(l+2f)山洛必達(dá)法則xln(l+2x)等階代換..2x22

hm----------7--------hm--------；-----==lim--=—

32

ioxXTO3xI。3必3

［解析］本題將四個(gè)選項(xiàng)代入等式，只有選項(xiàng)A的坐標(biāo)使等式成立.

事實(shí)上y'=l+」=2得*=1,所以y=l

17.Ax

18.B

【解析】本即是由/'(,)求函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)/?■).)(關(guān)惚是利用已知條件化簡.

因?yàn)??(?)-2/，)?“叫."(*).

19.C所以廠(x)=4/'(*)=8/(x).選c

20.C

21.B

22.A

23.A

24.C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件的概念和加法公

事件4與B互斥，則4B=0,因此P(48)=0.

由于P(/t+8)=P(4)+P(8)-P(/1B),

式.即0.8=0.3+尸(8).得。(8)=0.5.故選(：.

[解析]

因?yàn)閒\x)=ex+(a+x)ex(一?馬=ex--"0b

xx

由于x=-Lx=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。

嚴(yán)"=0

[4-2/>-ab=0

25.B解得a=2,b=1

26.(-21)

27.C

28.B

29.D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反常積分收斂和發(fā)散的概念.

直接計(jì)算：f——dx=lim[--d(lnx)=limln(Inx)|J=limln(lnb)=-￥?,

J.xlnxin*

所以反常枳分是發(fā)散的?選0.

30.C

利用重要極限n的結(jié)構(gòu)式，可知選項(xiàng)c不成立.

31.

【答案】應(yīng)填

湊微分后用積分公式計(jì)算即可.

1舟八N六""4)=*+4八C

32.

【答案】應(yīng)填4(Al)e5

求出y',化簡后再求)，”更簡捷.

y'=e'2，-2xe":,=(1-2x)e-z，,

y,r=-2eJ*-2(l-2x)e-,,=4(x-l)e:,.

-2x-2x

33(x2-l)2(x2-!)2

34.

35.-2

利用重要極限n的結(jié)構(gòu)式：

lim(1+□)°=e或lim(1+.

由已知?史1+?=「，可得2A=-4,所以k=-2.

(-DFD!HD!

36.x"/

37.

Jx\/l+x2dx=g^1+x2d(l4-x2)

n4

=-(l+x2p+C

8

38.B

39.

40.

Yr+i)ygi)"+c

41(8,1)

42.

%+sinjr

1+COSN

43.

±

8

lim/(x)=limln(H-tr)"=limlnCl=Ine*"=km,.

44.mk……一。所以當(dāng)

f(O)=km時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù).

45.

3x2f(/-/)

［解析］-=彗2~=3x2r(/-/).

dxdi/dx

46.應(yīng)填0.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)的求

法.熟啜W（2，）=0

47.1/6

4-00

十8?1

—dx=—=~(0--^)=2

6X2

X6OO

48.2/3x3/2+2x,/2—In|x|+C

,G-l)(l++)&h卜*，—1+*+-x'1)<Lr=-yj?—*+2*+-Inix|+C.

49.應(yīng)填0.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是駐點(diǎn)的概念及求

根據(jù)定義，使/'（幻=0的名稱為函數(shù)/（“）的駐點(diǎn)，因此有y'=l-A=0,得%=0.

法.故填0.

50.1

51.D

Xx

cos-cos-

52.2

53.

54.2(1c+1?sin，工+1+cos，i+l)+C

2(，c+l?sinyx+l+cos、/N+1)+C

2M

［解析)因?yàn)間(f(x))=e/

所以^-(g(/(x)))=2xep

55.改

1

3a2aa3a.

［解析］因?yàn)檠?—+---+-H----=1,所以a=1.

56.10101010

57.

填-sin—+C.

/4cos-dx=-Jcos-d^—j=-sin--?C.

58.1

59.2

6O.-2exsinx

由y=eJcosx,則y=e'cosz—e7siru?.y=eJcosx—eJsinx—eJsiar-eJcosz=—2e2sinz.

6L由隱函數(shù)求導(dǎo)公式知迷一景:；藍(lán):二

由隱函數(shù)求導(dǎo)公式知，。T；c：；密.

62.

（1）根據(jù)號(hào)數(shù)的幾何意義.曲線y在點(diǎn)（1?1）處切線的斜率為

川,「2.

曲線y=/在點(diǎn)（1.1）處法線的斜率為

k—-L

2,

所以切線方程為=2（x-l）.

即

2x-y-1=0.

則法線方程為y-\=一）《1一1〉.

即

1+2y-3—0）

（2）設(shè)所求的點(diǎn)為MJr?%）,曲線y=/在點(diǎn)《“。，”）處切線的斜率為

y\=2]|=2x?.

I”.I,■■■

切線與直線y=4,1平行時(shí)?它們的斜率相等,即2入=4?所以4=2.此時(shí)y,4.故在

點(diǎn)MJ2.4）處的切線與直線y=4i—1平行.

（1）根據(jù)導(dǎo)致的幾何意義?曲線在點(diǎn)《1.1）處切線的斜率為

"L「2.

曲線y=/在點(diǎn)（1.1）處法線的斜率為

k--1.

Z

所以切線方程為y-1=2（x-l）,

即

2x-y-1=0.

則法線方程為>-1=一：（工一1）,

即

l+2y-3=0）

<2）設(shè)所求的點(diǎn)為,曲線y在點(diǎn)《N?.”）處切線的斜率為

y\=2x1=2八.

切線與直線y7平行時(shí)?它們的斜率相等，即2人二?1,所以*=2.此時(shí)加4,故在

點(diǎn)MN2.4）處的切線與直線y=4/—1平行.

I;工一1

,li11-f-xlnj

!呷I+ler*】一'2'

64.@S(x)=ABBC=2xy=2x(l-x2)(0<x<l).

②S'(x)=2-6/3o.得—(舍去負(fù)值).

由于只有唯一駐點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題有最大值,所以當(dāng)嘮時(shí)心卜華為最大值

65.

函數(shù)/(x)=JTC~'的定義域?yàn)?-8.+8)，且/(I)處處可導(dǎo);

因?yàn)?"(l)=e~*-j-e*=ez(1—n),令f(x)=0

得駐點(diǎn)工=1.且”V1時(shí)/(i)>0,x>1時(shí)./\])<0

所以八1)=「=J>為函數(shù)/《外的最大值.

e

又lim/(x)=limje'=-8；

lim/(x)=limxe'=lim==lim-y=0.

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值

函數(shù)/(x)=jre~'的定義域?yàn)?-8?+8),且/(1)處處可導(dǎo);

因?yàn)?"(彳)=e*—j-e*=e"(l—/),令f(x)=0

得駐點(diǎn)/=1.且zV1時(shí)/G)>0,x>1時(shí)?，(/)<0

所以/(I)=e1=-為函數(shù)/(z)的最大值.

e

又lim/(x)=limxe'=-8；

lim/(x)—Iinixe'-limf=lini-=0.

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值。

原式Jn(/4-l)?2汕

=|ln(I4-f)d(r)=/:?ln(14-r)

,:-1+Idf=ln2—J(f-1+/1-j)dr

In2一

r+1

：)門

In2—京-墳+ma+i

In2-(0-J)-(In2-0)

x

66.7,

MS-U令Q

原式1ln(/4-1)-2tdt

=jln(14-nd(f:)=tl?ln(14-/)|-J：y—^dr

至一(^^山=12

一J：(L】+rhy

1

=In2-r4-(/-i)+ln(r+H：］

In2—(0-(In20)

x

原方程變形為

5學(xué)=3—+5z.

dr

分離變帷得

5dy=(3xJ+5”)dx.

枳分得

5y=/+"+G.

故通解為

y-J1'++C

67.3L

原方程變形為

5學(xué)=3*'+5<r.

dr

分離變俄得

5dj=《3/+5j-)dx?

積分得

1

5y=F+yx+Ct,

故通解為

(?"=~y了=(xln.r)=IILT+J,y=1+lnx?

y(?)=IV,了=(14-1TLT)Z=J.

68.

、(?”="y-]/=(/ln.r)'=Iru+n?J=14-Inx,

69.設(shè)F(x,y,z)=x2+y2-ez,

則

所以

Rz

『賢譚

-fJrtrcKZQ+j：lnrd(2/^)

=-26IlLX匕+?！贰?26間J3

—+4|_j+4e-4H=8(1，

70.e

=—|：lrtrd(2-Zr)4-Jlnrd(2

=-2-Zrln-r|]+j%d/+2vGjnx

--￡+4-7x(t+4e-4?fx|=8(】—

jarcsinz

dj=-Iarcsirvrd，1一?r’

5/l-x2arcsirw+-/

—>/l-x2arcsinx+JcLr

rcsiru-+C.

arcsirurdv1-x*

—xarm

arcsinx+jd/

arcsinj-+C.

1

除式=-Arctan-rd()

2.

=—x'arctan-r-

:arcs一戈（一上產(chǎn)

4-x:arctanx-1(J-arctanr)卜(’.

72.

除式=y|arctan-rd(J-1)

=—i'arcta

=獷arctau一演一土#亞

=-j-:arctanx-—(j-arcurkr)+C.

73.解設(shè)F(x,y,k)=X2+y2+k(2x+3y-1),

F；=2x+2A==0,

令c

F；=2?+3A=-0,

今c

/：=2x+3y-l0

消去人，解得x=Qq,則_/(春后)4為極值,

dzdu.dzdv.dzdzdzdu.dzdv,8c

3udtdvd/dtd/8ud?dvd/dt

=ve'-wsin/+cos/=ve*—//sin?+cos/

=efcos/-e'sin/Icost=efcos/-ezsin/Icos/

74.=er(cos/sin/)4-cos/.=e1(cos/-sinr)-f-cos/.

令i-l=“?則Ar=d”.當(dāng)[0?2]時(shí)?“￡[―l.l].于是

原式一Jf(工1)<Lr

=J/(u)du

=J°/(tt)du4-J/(u)du

=「+1_!_&

J-I1+1Jo1+工

75.=Ind4-c).

令iI=".則<Lr=d”.當(dāng)《r￡[0?2]時(shí).“￡[l.l].于是

原式二J/(x—1)(Lr

=Jf(u)du

=I/(u)dM-f-I/(M)dw

=ln(l4-c).

2—+

原式=li2-￡二：十1）1

m3

76.IX+11+1

2—（］2-4+1）2—（1-1+1）

原式

x3+l?+1

oe+sin-r.

=2rlim-----------=1.

77.L。L

eJ-cosx

=2ohrm-------------

oI-e'+sin-r.

=2lim-----------=1.

L。L

78.

畫出枳分區(qū)域甥D.如圖所示，

考慮到被枳函數(shù)的情況.先對(duì)z枳分較宜.

Tye,vd/dy=jdy|d_r+J：dyj.ycndx

=j（c2*-cf）d,y4-J

畫出枳分區(qū)域甥＞如圖所示I

考慮到被枳函數(shù)的情況，先對(duì)1積分較直.

^ye°dj-d,v=jd>|ye"d”+j：d>J?yc"dr

1,J,

=J(e-,-c3dly+Ji(e-c)d_y

因?yàn)椤啊?ytscc2(.xyz)?u,=jrsec:(_r>z),

u,*■xy5ec2(xyz).

79.所以dujyr)dr+?????Czyz)dy+j!yscd(；o?)&.

因?yàn)椤皉=yzscc2(.xyz)=xzsec:(-r>z)?

2

ut?■x>sec(j^r).

所以d“一

80.

區(qū)域D如圖所示.D既是y-型區(qū)域?又是X-

壁區(qū)域，直線y=l-2與拋物線V=1的交點(diǎn)為

(1.-1).(4.2).為更方便計(jì)算首選區(qū)域D是丫一型區(qū)

域.

所以

區(qū)域D如圖所示.D既是丫一型區(qū)域?又是X

整區(qū)域.直線、=工-2與拋物線式=”的交點(diǎn)為

(1?一1).(4.2).為更方便計(jì)算苜選區(qū)域D是丫一型區(qū)

域.

所以

師（R）=觸（1+母）

令F(1?y.N)=尸+y'+2?r-2yz一c'=0?則

F,工2l+2.F,=2yZz,Ft=-2,一e，

故與一2y-e，/0時(shí)?有

紅=_&=2—D,生=_J=2(L)

82.dxF,2y+e'dyF.2y+c*

令+y，+2工-2yz—e*=0.則

F,=*2x42.F,=2y2N,F,=—2y—1,

故當(dāng)—2y-e，#0時(shí)?有

生=_&=2G+DQ=_J=25-N)

dxF,2y+e'dyF,2y+c*

IUl>OU

州（一；）岬（】+｝）

=岬(|+))‘,呵(1+力丁

「呵(|+：)二［［網(wǎng)"!)’［

83.=I?L=」.

令一/=f,則當(dāng)i—8時(shí)?存8,所以

1Ul>岬("})OU

用(I-;)

「叫l(wèi)+力?呵(1+：)丁

=岬(1+力?“叩+十)丁

=1?e1=?c\

由盟意?知P（i）=j.Q（r）=J?

Jea，==c"=1.

|Q"Jmdr=[e,?xd-r=；卜dj^=呆’.

84:.該微分方程的通解丫=｝：*：+廣,

由盟意?知P(x)=-J.Q(J)=J.

??.eJw,=e升山=c***=e"

/.該微分方程的通解丫=『+（'

85.

方程兩邊取對(duì)數(shù),得

Irv=(?r+ZyNnSi+y)?

兩端微分有

—<Lr=(dx+2d>)ln(2x+y)+(1+2v)鋁二—'.

xZ?r+y

所以dz=(2J-4->)^M[ln(2x4->)-F2?+[2ln(2?r+y)+

方程兩邊取對(duì)數(shù),得

Itu*=(1+2y)ln(2jr+y).

兩端微分有

—cLr=(dx+2d>)ln(2x4->)4-(x+2v)空^”山.

xZ*+y

所以dz=(2J-+>>^M[ln(2x+y)+2?疔+[2ln(2x+y)+法芻]力?

￡/(x-2)(Lr=j(/(/)d/

=j+j

人=[(1+I)山+fe'd/—4——.

86.令x?2=t^B么:JTJ。3'令,x-2=t,

jy(x-2)(Lr=j*/(r)d/

=/J⑺&+(/(?)&

=「(1+，ldr+fc'山工!一1

那么：

87.函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+oc).

/'(4)=3--3-。，得彳=±1.

列表如下：

jr(-?.-1)-1(-1.1)1(1.??)

/,<?)■0—0?

/(I)…

/(x)/

為極大值為極小值

函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(?8,?1),(1,4-00)；單調(diào)減區(qū)間為(?1,1)。極

大值為f(?l)=0,極小值為f(l)=?4.

jy/2x—JC2dx=J。—(4—1)?d(/—1)=JJ\-—d/

令t-MnA

--co**cos/idA

J-i

=《「(14-cos2/i)dA

2JT

+Jc。期d⑵).

?.

=5+4-sin2/ij=-7-.

44l-f4

/2/一dz=f，1—(1—1—d(z—1)=—(d/

JoJ-i

令t-ninAr0

f?r’--------------------co"-cos/idA

JT

=!「(14-cos2h)dA

2JT

0

=~rP-d/l+yj^cos2Ad(2A)'

■.

=9+4-sin2/iI=-7-.

44J4

Yg為可微函數(shù)?方程式兩端對(duì)/求導(dǎo)得

j\l-"⑺山=了/外，

兩端再對(duì)“求導(dǎo)得

(l-x)/(x)=2”(力+，/(“)?

即JHf*(x)=(1-3x)/(x)?

上式是可分離變僮的微分方程.通解為

89./(1)=Cr