第十八講工程問題工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。然而其內(nèi)容已不僅是工程方面的，還包括水管注水、行路等許多方面。工程問題常涉及到工作量、工作效率和工作時(shí)間，且這三者之間具有如下關(guān)系式：工作量=工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作時(shí)間工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用單位“1”表示；也可是部分工作量，常用分?jǐn)?shù)表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢，也就是單位時(shí)間里所干的工作量。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，用“工作量／天”或“工作量／時(shí)”等表示。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫工作效率的單位。工程問題可分為兩類：一類是已知具體工作量，另一類是未給具體工作量。在解答工程問題時(shí)，我們要遵循以下原則：一是工作量沒有具體給出的，可設(shè)工作量為單位“1”；二是由于工作總量為“1”，那么，參與這項(xiàng)工作的每個(gè)人（隊(duì)）單獨(dú)做的工作效率可用此人（隊(duì)）單獨(dú)做的工作時(shí)間的倒數(shù)表示。解題過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，解答工程問題，常常是圍繞找工作效率進(jìn)行中，有些工作效率可以通過工作時(shí)間得到，而有些則要根據(jù)“工程”進(jìn)程變化規(guī)律得到。在解題時(shí)，我們要弄清原來的、現(xiàn)在的之間的關(guān)系，以兩者關(guān)系為突破口解答問題。由于工程問題是研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者間關(guān)系的問題。因此我們就要從題目中發(fā)掘出三者之中的兩者，特別是找出工作效率，這往往是解題的關(guān)鍵，也是本講的重點(diǎn)內(nèi)容。例1：甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，現(xiàn)領(lǐng)工資共180元，按工作量分配，甲、乙、丙應(yīng)各領(lǐng)多少元？例2：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成要30天，乙單獨(dú)完成要45天，丙單獨(dú)完成要90天?，F(xiàn)由甲、乙、丙三個(gè)合作完成此工程。在工作過程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙沒有休息，最后把這項(xiàng)工程完成了。問這項(xiàng)工程前后一共用了多少天？例3：一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做4天，繼而甲、丙兩隊(duì)合做6天，剩下的工程甲隊(duì)又獨(dú)做9天才全部完成。已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)完成的，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍。甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做，各需要多少天完成？例4：一個(gè)水池裝了一根進(jìn)水管和3根粗細(xì)相同的出水管。單開一根進(jìn)水管20分鐘可將水池注滿，單開一根出水管45分鐘可將水池的水放完?，F(xiàn)在水池中有池水，4根水管一起打開，多少分鐘后水池的水還剩下？例5：2個(gè)蟹將和4個(gè)蝦兵能打掃龍宮的，8個(gè)蟹將和10蝦兵在同樣的時(shí)間里就能打掃完全部龍宮，如果單讓蟹將去打掃與單讓蝦兵去打掃進(jìn)行比較，那么要打掃完全部龍宮，蝦兵比蟹將要多幾個(gè)？例6：一比工人到甲、乙兩上工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚時(shí)，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做一天。那么這批工人有多少人？例7：一個(gè)空水池有甲、乙兩根進(jìn)水管和一根排水管，單開甲管需5分鐘注滿水池，單開乙管需10分鐘注滿水池，滿池水如果單開排水管需要6分鐘流盡。某次池中無水，打開甲管若干分鐘后，發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上，隨即關(guān)上排水管，同時(shí)打開乙管。又過了同樣時(shí)間，水池的注了水。如果繼續(xù)注滿水池，前后一共花了多少時(shí)間？例8：一件工作，甲做了5小時(shí)以后由乙來做，3小時(shí)可以完成。乙做9小時(shí)后由甲來做，也是3小時(shí)可以完成，那么甲做1小時(shí)后由乙來做，多少小時(shí)可以完成？A1．有一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)工作需要6天完成，乙單獨(dú)工作需要30天完成。（1）請問：甲、乙二人合作需要幾天完成？（2）如果甲先單獨(dú)工作了3天，乙才參加工作，請問：乙參加進(jìn)來后幾天完成這項(xiàng)工作？（3）如果甲、乙合做這項(xiàng)工作，但是中途甲休息了一天，請問：完成這項(xiàng)工作一共用了幾天時(shí)間？2．一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成。請問：如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？3．一件工作，甲5小時(shí)先完成了，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一半，最后余下的部分由甲、乙二人合作，請問：還需要多少時(shí)間才能完成？4．某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成?，F(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，請問：乙還需要做多少天？5．一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)干20天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成。請問：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？B6．有甲、乙兩項(xiàng)工作，張明單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李紅單獨(dú)完成甲工作要8天，單獨(dú)完成乙工作要20天。如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？7．師傅和徒弟二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù)。師傅先做5天后，因事外出，由徒弟接著做3天。共完成任務(wù)的。如果每人單獨(dú)做這批零件各需幾天？8．一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成。甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)也可以完成。如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？9．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。現(xiàn)在由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的沒有完成。已知甲每天比乙多加工3個(gè)零件，請問：這批零件一共多少個(gè)？10．一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成?，F(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開始到完成共用了16天。請問：乙隊(duì)休息了多少天？C甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成?，F(xiàn)領(lǐng)工資共180元，按工作量分配，請問：甲、乙、丙應(yīng)各得多少元？一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天。請問：這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？師徒三人合作承包一項(xiàng)工程，8天能夠全部完成。已知師傅單獨(dú)做所需的天數(shù)與兩個(gè)徒弟合作所需天數(shù)相同。師傅與徒弟甲合作所需的天數(shù)的4倍與徒弟乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)相同。請問：兩徒弟單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？一個(gè)水池有兩個(gè)排水管甲和乙，一個(gè)進(jìn)水管丙，如果同時(shí)開放甲、丙兩管，20小時(shí)可將滿池水排空；如果同時(shí)開放乙、丙兩管，30小時(shí)可將滿池水排空，若單獨(dú)開丙管，60小時(shí)可將空池注滿。請問：如果同時(shí)打開甲、乙、丙三水管，要排空水池中的滿池水，需要幾小時(shí)？一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的。打開A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開C管，12小時(shí)可將滿池水排空。如果打開A，B兩管，4小時(shí)可將水排空。請問：打開B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開甲管需3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)。要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí)?，F(xiàn)在池內(nèi)有池水。如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、…的順序輪流打開1小時(shí)，請問：多少時(shí)間后水開始溢出水池？一件工作，甲單獨(dú)工做9天可以完成，乙單獨(dú)工做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先單獨(dú)做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成。請問：乙需要單獨(dú)做幾天可以完成剩余的工作？某服裝公司預(yù)計(jì)30天完成一批服裝加工任務(wù)。先由18名工人工作了12天。完成了任務(wù)的，現(xiàn)因任務(wù)緊急，需要提前6天完成全部加工任務(wù)。請問：需要增加多少名工人？一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息的情況）。請問：開始到完工共用了多少天時(shí)間？一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天。若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，請問：甲單獨(dú)工做了幾天？一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成。若甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，……，兩人如此交替工作，請問：完成任務(wù)時(shí)，共用了多少小時(shí)？甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比原來自己單獨(dú)做時(shí)提高，乙的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高。甲、乙兩個(gè)合作6小時(shí)，完成全部工作的。第二天乙又單獨(dú)做了6小時(shí)，還留下這件工作的尚未完成。請問：如果這件工作始終由甲一個(gè)人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？1．一項(xiàng)工程，甲2小時(shí)完成了，乙5小時(shí)完成了剩下的，余下的部分由甲、乙合作完成，甲共工作了______小時(shí)。2．一個(gè)水池，甲、乙兩管同時(shí)開，5小時(shí)灌滿，乙、丙兩管同時(shí)開，4小時(shí)灌滿。如果乙管先開6小時(shí)，還需要甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)才能灌滿（這時(shí)乙管關(guān)閉），那么乙管單獨(dú)開灌滿水池要______小時(shí)。3．甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，經(jīng)8小時(shí)相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車又用了6小時(shí)到達(dá)B地，乙車要______小時(shí)才能從B地到達(dá)A地。4．一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做工12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成，若甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙1小時(shí)，……，兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時(shí)共用了多少小時(shí)？5．地下水從一個(gè)水池的四壁滲入，每小時(shí)滲入該水池的水量是固定的。當(dāng)這個(gè)水池水滿時(shí)，打開A管，8小時(shí)可將水池排空；打開B管，10小時(shí)可將水池排空；打開C管，12小時(shí)可將水池排空。如果打開A、B兩管4小時(shí)可將水池排空，那么打開B、C兩管，將水池排空需要多少時(shí)間？6．甲、乙、丙、丁四人共同生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)的占其他三人總數(shù)的，乙生產(chǎn)的占其他三人生產(chǎn)總數(shù)的，丙生產(chǎn)的占其他三人生產(chǎn)總數(shù)的。已知丁生