4.4.3不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(一次函數(shù))的增長(zhǎng)差異；2.理解對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、直線上升、指數(shù)爆炸；3.了解函數(shù)的建模過(guò)程.新課講授在前面的學(xué)習(xí)中我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)方式存在很大差異.事實(shí)上，這種差異正是不同類(lèi)型現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有不同增長(zhǎng)規(guī)律的反映.因此，如果把握了不同函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的增長(zhǎng)情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)其變化規(guī)律.下面就來(lái)研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.

不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異交點(diǎn)、區(qū)間、圖象位置、增長(zhǎng)速度不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異

不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異歸納總結(jié)三種常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)速度比較

函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0，+∞)上的增減性

圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長(zhǎng)速度不變形象描述指數(shù)爆炸對(duì)數(shù)增長(zhǎng)直線上升增長(zhǎng)速度y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度最終會(huì)大大超過(guò)

的增長(zhǎng)速度;總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有

增長(zhǎng)結(jié)果存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有

增函數(shù)

增函數(shù)

增函數(shù)

y=kx(k>0)logax<kxax>kx>logax例1(1)下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是()A.y=2021x B.y=x2021C.y=log2021x D.y=2021x(2)四個(gè)自變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是

.

Ay2歸納總結(jié)(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a，b，c為常數(shù)，a>0，b>1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，常稱(chēng)之為“指數(shù)爆炸”.(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:能用對(duì)數(shù)型函數(shù)f(x)=mlogax+n(m，n，a為常數(shù)，m>0，x>0，a>1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)的特點(diǎn)是開(kāi)始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來(lái)越慢，常稱(chēng)之為“蝸牛式增長(zhǎng)”.(4)冪函數(shù)模型:能用冪型函數(shù)f(x)=axα+b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)表達(dá)的函數(shù)模型，其增長(zhǎng)情況由a和α的取值確定.常見(jiàn)的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)例2

已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖，設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù);(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并說(shuō)明理由.解:(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度知:C1對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x)=x3，C2對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.當(dāng)x<x1時(shí)，2x>x3，即f(x)>g(x);當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<g(x);當(dāng)x>x2時(shí)，f(x)>g(x).因?yàn)閒(1)=2，g(1)=1，f(2)=22=4，g(2)=23=8，所以x1∈[1，2]，即a=1.又因?yàn)閒(8)=28=256，g(8)=83=512，f(8)<g(8)，f(9)=29=512，g(9)=93=729，f(9)<g(9)，f(10)=210=1024，g(10)=103=1000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9，10]，即b=9.綜上可知，a=1，b=9.練1.函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示.(1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)以?xún)蓤D象的交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較.解:(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1；C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x).例3

汽車(chē)制造商在2022年年初公告：公司計(jì)劃2022年的生產(chǎn)目標(biāo)為43萬(wàn)輛.已知該公司近三年的汽車(chē)生產(chǎn)量如表所示：年份(年)201920202021產(chǎn)量(萬(wàn)輛)81830如果我們分別將2019，2020，2021，2022定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？解：建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)圖象必過(guò)點(diǎn)(1，8)，(2，18)，(3，30).①構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計(jì)劃誤差為1萬(wàn)輛.②構(gòu)造指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，與計(jì)劃誤差為1.4萬(wàn)輛.由①②可得，二次函數(shù)模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系.練2.某債券市場(chǎng)發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元;B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元;C種面值為100元，但買(mǎi)入價(jià)為97元，一年到期本息和為100元.作為購(gòu)買(mǎi)者，分析這三種債券的收益，如果只能購(gòu)買(mǎi)其中的一種債券，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)買(mǎi)哪種?課堂總結(jié)三種函數(shù)模型：線性函數(shù)增長(zhǎng)模型、指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)模型、對(duì)數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)模型的增長(zhǎng)差異.當(dāng)堂檢測(cè)1.某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)作了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，后來(lái)增長(zhǎng)越來(lái)越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用(

)A.一次函數(shù) B.冪型函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù) D.對(duì)數(shù)型函數(shù)2.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=l