6.2.3組合（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）第二屆消博會(huì)暨中國(guó)國(guó)際消費(fèi)品博覽會(huì)于2022年5月在海南舉辦.某展館將5件相同的紀(jì)念品分別贈(zèng)送給前來參觀的3位游客，每人至少1件，則不同的贈(zèng)送方案數(shù)共有（

）A．6 B．9 C．12 D．24【答案】A【分析】因?yàn)榧o(jì)念品的相同的，而游客不同，所以以游客為對(duì)象分兩種情況抽取即可.【詳解】因?yàn)榧o(jì)念品的相同的，而游客不同，所以以游客為對(duì)象分類：第一種情況，一位游客得一個(gè)紀(jì)念品，其余兩位游客每人二個(gè)紀(jì)念品，共有種.第二種情況，一位游客得三個(gè)紀(jì)念品，其余兩位游客各一個(gè)紀(jì)念品，共有種.共計(jì)6種贈(zèng)送方案.故選：A.2．（2022秋·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）某地有四個(gè)信箱，現(xiàn)有三封信需要郵寄出去，所有郵寄方式一共有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出正確答案.【詳解】每封信都有鐘選擇，所以郵寄方式一共有種.故選：D3．（2022秋·黑龍江綏化·高二?？计谀?個(gè)相同的小球放入6個(gè)編號(hào)不同的盒子中，每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，而且小球必須全部放入盒中，那么不同的放法種數(shù)是（

）A． B． C．15 D．360【答案】C【分析】這是一個(gè)組合問題，可以看成從6個(gè)盒子中選擇4個(gè)盒子放入小球，從而可得出答案.【詳解】解：此題可理解為從6個(gè)盒子中選擇4個(gè)盒子放入小球（小球無差別），因此有種不同的放法．故選：C．4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）小明參加真人比賽，規(guī)定每隊(duì)5人，小明為了贏得比賽，和隊(duì)友商量對(duì)策，準(zhǔn)備集中火力先消滅（至少1人擊中）對(duì)方隊(duì)長(zhǎng)小藍(lán)，消滅小藍(lán)的方法種數(shù)為（

）A．32 B．31 C．25 D．10【答案】B【分析】分1人，2人，3人，4人，5人擊中求解即可.【詳解】因?yàn)橄麥缧∷{(lán)至少需要1人擊中，1人擊中有種方法，2人擊中有種方法，3人擊中有種方法，4人擊中有種方法，5人全擊中有種方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的擊中方法有種.故選：B.5．（2022秋·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？计谀┙逃坑?022年開展全國(guó)高校書記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市4所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)氐募?、乙兩家企業(yè)，若每名校長(zhǎng)拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（

）A．8種 B．10種 C．14種 D．20種【答案】C【分析】先分情況談?wù)?，甲、乙兩家企業(yè)可能分別接待2名校長(zhǎng)，或一家企業(yè)接待1名，一家企業(yè)接到3名校長(zhǎng)的情況，然后再用排列組合即可.【詳解】分兩種情況，第一種：1家企業(yè)接待1名校長(zhǎng)，1家企業(yè)接待3名校長(zhǎng)，共有種方法；第二種：每家企業(yè)均接待2名校長(zhǎng)，共有種方法，所以共有8+6=14種.故選：C.6．（2022秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從甲、乙等8名大學(xué)生中選取3名參加演講比賽，則甲、乙2人中至多有1人參加演講比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出甲乙都參加的概率，再由對(duì)立事件求得甲、乙2人中至多有1人參加概率即可.【詳解】先考慮甲乙都參加的概率為，則甲、乙2人中至多有1人參加演講比賽的概率為.故選：C.二、多選題7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）給出下列問題，屬于組合問題的有（

）A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別去參加兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法B．有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法C．某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種D．從2，3，5，7，11中任選兩個(gè)數(shù)相乘，可以得到多少個(gè)不同的積【答案】BCD【分析】根據(jù)選項(xiàng)中不涉及元素順序的為組合問題，即可確定結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，從3名同學(xué)中選出2名同學(xué)后，分配到兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)涉及順序問題，是排列問題；對(duì)于B，從7人中選出4人觀看不涉及順序問題，是組合問題；對(duì)于C，射擊命中不涉及順序問題，是組合問題；對(duì)于D，乘法滿足交換律，兩數(shù)相乘的積不涉及順序，是組合問題.故選：BCD8．（2021春·山東威海·高二威海市第二中學(xué)?？计谀┰?0件產(chǎn)品中，有兩件次品，從中任取3件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）A．“其中恰有2件次品”的抽法有8種B．“其中恰有1件次品”的抽法有28種C．“其中沒有次品”的抽法有56種D．“其中至少有1件次品”的抽法有56種【答案】BD【分析】根據(jù)分類討論思想、分步計(jì)數(shù)原理，利用組合法、間接法進(jìn)行求解.【詳解】抽到的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種，A選項(xiàng)正確；抽到的3件產(chǎn)品中恰好有1件次品的抽法有種，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；抽到的3件產(chǎn)品中沒有次品的抽法有種，C選項(xiàng)正確；抽到的3件產(chǎn)品中至少有一件次品的抽法有，種，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BD9．（2022·高二單元測(cè)試）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35B．若物理和化學(xué)至少選一門，則選法種數(shù)為30C．若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為30D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為20【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，直接利用組合知識(shí)進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，分物理和化學(xué)選一門和物理、化學(xué)都選，兩種情況下利用組合知識(shí)求出選法，求和即可；C選項(xiàng)，先求出物理和歷史同時(shí)選的選法，從而求出物理和歷史不能同時(shí)選的選法；D選項(xiàng)，只選物理，不選化學(xué)，只選化學(xué)，不選物理，物理、化學(xué)都選，三種情況下的選法求和即可.【詳解】對(duì)于A，選法種數(shù)為，故A正確．對(duì)于B，若物理和化學(xué)選一門，其余兩門從剩余的五門中選，有種選法；若物理和化學(xué)都選，剩下一門從剩余的五門中選，有種選法．故共有種選法，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，物理和歷史同時(shí)選，有種選法，故不同時(shí)選的選法種數(shù)為，故C正確．對(duì)于D，只選物理，不選化學(xué)，則歷史也不選，有種選法；只選化學(xué)，不選物理，有種選法；若物理、化學(xué)都選，則歷史不選，有種選法．故共有種選法，故D正確．故選：ACD．三、填空題10．（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中校考階段練習(xí)）從5名男生和2名女生中，選出3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有______種．【答案】25【分析】計(jì)算反面全是男生的方法數(shù)，運(yùn)用排除法即可【詳解】從5名男生和2名女生中,選出3名代表的方法數(shù)為從5名男生和2名女生中,選出3名代表全是男生的方法數(shù)為所以從5名男生和2名女生中,選出3名代表,要求至少包含1名女生的方法數(shù)為故答案為：2511．（2022春·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的選法有___________種.【答案】58【分析】根據(jù)條件求出從8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)所有的選法，然后再求出這4個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的選法，用總的種數(shù)減去在同一平面內(nèi)的種數(shù)即可求解.【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有（種）不同的選法，其中這4個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的情況有側(cè)面6種，對(duì)棱面6種，共12種不同的情況，所以這4個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的選法有（種），故答案為：.12．（2022春·四川瀘州·高二四川省敘永第一中學(xué)校?？计谥校募住⒁业?名同學(xué)中隨機(jī)選3名組成校慶志愿小分隊(duì)，則甲、乙都不入選的概率為________.【答案】##【分析】由組合數(shù)與古典概型求解，【詳解】由題意得甲、乙都不入選的概率為，故答案為：13．（2022·高二單元測(cè)試）高二（1）班某小組有5人，組長(zhǎng)安排值日，其中1人負(fù)責(zé)擦黑板，2人負(fù)責(zé)教室內(nèi)地面衛(wèi)生，2人負(fù)責(zé)教室外衛(wèi)生區(qū)衛(wèi)生，則不同的安排方法有______種．【答案】30【分析】先選1人負(fù)責(zé)擦黑板，再選2人負(fù)責(zé)教室內(nèi)地面衛(wèi)生，最后2人負(fù)責(zé)教室外衛(wèi)生區(qū)衛(wèi)生，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】先從5人中選取1人負(fù)責(zé)擦黑板，有5種不同的選法；再從剩下的4人中選2人負(fù)責(zé)教室內(nèi)地面衛(wèi)生，有種選法；最后2人負(fù)責(zé)教室外衛(wèi)生區(qū)衛(wèi)生，只有1種選法；則不同的安排方法有.故答案為：30.14．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）今4名醫(yī)生分別到A、B、C三所醫(yī)院支援抗疫，每名醫(yī)生只能去一所醫(yī)院，且每個(gè)醫(yī)院至少去一個(gè)醫(yī)生，則甲、乙兩名醫(yī)生恰好到同一所醫(yī)院支援的概率為___________.【答案】【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙兩名醫(yī)生恰好到同一所醫(yī)院支援的情況，最后根據(jù)古典概型的公式即可求出答案.【詳解】設(shè)甲、乙兩醫(yī)生恰好到同一醫(yī)院支援的事件為A，4名醫(yī)生按2,1,1分組，再把三組分配到三個(gè)醫(yī)院，基本事件總數(shù)事件A包含的基本事件數(shù)則.故答案為：15．（2022秋·陜西榆林·高二綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中，選出3個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有______________個(gè)．【答案】48【分析】由于0不能做首位數(shù)字，則三位數(shù)分有0與沒0這2種情況討論，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①若有0，0不能做首位數(shù)字，且剩下兩位數(shù)字加和為奇數(shù)，則必須為一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)組合，此時(shí)從5個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)與0組成三位數(shù)，共有=24種；②若沒0，則分為兩個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)組合，或三個(gè)奇數(shù)組合，兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)組成三位數(shù)有=18，三個(gè)奇數(shù)組成三位數(shù)有=6，此時(shí)共有6+18=24種；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有48種.故答案為：48四、解答題16．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，…，9的9個(gè)球裝在一個(gè)口袋中，從中任取3個(gè)．(1)求取出的3個(gè)球中有5號(hào)球的概率；(2)求取出的3個(gè)球中有5號(hào)球，其余兩個(gè)球的號(hào)碼一個(gè)小于5，另一個(gè)大于5的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由組合知識(shí)結(jié)合古典概型概率公式直接求解可得.（1）記事件A為：取出的3個(gè)球中有5號(hào)球.從9個(gè)球中任取3個(gè)共有種結(jié)果，取出的3個(gè)球中有5號(hào)球共有種結(jié)果，所以（2）記事件B為：取出的3個(gè)球中有5號(hào)球，其余兩個(gè)球的號(hào)碼一個(gè)小于5，另一個(gè)大于5.事件B包含的基本事件共有，所以17．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）有4個(gè)不同的小球，3個(gè)不同的盒子，把小球全部放入盒內(nèi).(1)總共有多少種放法？(2)恰有一個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)小球，有多少種放法？【答案】(1)81；(2)36【分析】（1）每個(gè)球都有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；（2）先從4個(gè)小球種取2個(gè)小球，放入一個(gè)盒內(nèi)，剩下的2個(gè)小球放入另外2個(gè)盒子，1個(gè)盒子放1個(gè)球即可.(1)一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里，每個(gè)球都有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有種；(2)4個(gè)小球中取2個(gè)有種，放入其中1個(gè)盒子內(nèi)有種，剩下的2個(gè)小球放入剩下的2個(gè)盒子，只能1個(gè)盒子放1個(gè)球有種，故共有種.18．（2022秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）盒子里裝有六個(gè)大小相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6.現(xiàn)從盒子里隨機(jī)不放回地抽取3次，每次抽取1個(gè)小球，按抽取順序?qū)⑶蛏蠑?shù)字分別作為一個(gè)三位數(shù)的百位、十位與個(gè)位數(shù)字.(1)一共能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？(2)一共能組成多少個(gè)不同的大于500的三位數(shù)？【答案】(1)120(2)40【分析】（1）由抽取的三位數(shù)各不相同，可由排列數(shù)公式求得組成不同三位數(shù)的個(gè)數(shù)．（2）大于500的三位數(shù)，則百位應(yīng)該從5或6中選一個(gè)，其他的從剩下的五個(gè)里面選2個(gè)進(jìn)行排列，再根據(jù)分步計(jì)算原理即可得到結(jié)果．（1）解：（1）因?yàn)槌槿〉娜粩?shù)各不同，所以組成三位數(shù)的總數(shù)為.（2）解：百位為或，則個(gè)位、十位是剩余5個(gè)數(shù)字中的兩個(gè)，則有個(gè)大于500的三位數(shù).19．（2022秋·江蘇鹽城·高二濱海縣五汛中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某地區(qū)發(fā)生了重大交通事故，某醫(yī)院從9名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴事故現(xiàn)場(chǎng)搶救傷員，其中這9名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．（要求：列出排列組合算式，并寫出詳細(xì)過程）(1)抽調(diào)6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？【答案】(1)30(2)80(3)34【分析】（1）用分步乘法原理，第一步從4名外科專家中抽取2名，第二步從其他5名專家中抽取2名，由乘法原理計(jì)數(shù)；（2）至少有2名外科專家分為三類：2名外科專家4名其他專家，或者3名外科專家3名其他專家，或者4名外科專家2名其他專家，由分類加法原理和分步乘法原理計(jì)數(shù)可得；（3）至多有2名外科專家可分兩類：2名外科專家4名其他專家，或者1名外科專家5名其他專家，由分類加法原理和分步乘法原理計(jì)數(shù)可得．（1）第一步從4名外科專家中抽取2名，第二步從其他5名專家中抽取2名，由分步乘法原理可得方法數(shù)為：；（2）至少有2名外科專家可分為三類：2名外科專家4名其他專家，或者3名外科專家3名其他專家，或者4名外科專家2名其他專家，所以方法數(shù)為；（3）至多有2名外科專家可分兩類：2名外科專家4名其他專家，或者1名外科專家5名其他專家，方法數(shù)為：．20．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期中）有7本相同的筆記本作為獎(jiǎng)品頒發(fā)給甲、乙、丙三名同學(xué).(1)若先將這7本筆記本分成3份，每份至少1本，有多少種不同的分法？(2)若甲、乙、丙三名同學(xué)每人至少獲得1本，并且丙同學(xué)最多獲得3本，有多少種不同的分法？(3)若這7本筆記本分別被老師寫上了不同的頒獎(jiǎng)詞，并且要求甲同學(xué)恰好得到2本，乙同學(xué)至少得到1本，丙同學(xué)至少得到1本且不超過3本，有多少種不同的分法？【答案】(1)4；(2)12；(3)525【分析】（1）直接列舉出有4種分法即可；（2）先討論丙，再列舉出甲乙的分法，由分類加法求解即可；（3）先從7本中選2本給甲，再分乙2本丙3本，乙3本丙2本，乙4本丙1本，分類討論，最后由分類加法原理和分步乘法原理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?本筆記本相同，，故有4種分法；（2）若丙分得3本，則甲乙分剩下的4本，，有3種分法；若丙分得2本，則甲乙分剩下的5本，，有4種分法；若丙分得1本，則甲乙分剩下的6本，，有5種分法；故共有種分法；（3）因?yàn)?本筆記本不相同，先從7本中選2本給甲有種；剩下的5本中，若乙2本丙3本，有種，若乙3本丙2本，有種，若乙4本丙1本，有種，共有種，總共有種.【能力提升】一、單選題1．（2022春·浙江·高二校聯(lián)考期中）綠水青山就是金山銀山，浙江省對(duì)“五水共治”工作落實(shí)很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個(gè)省市宣傳，每個(gè)省市至少一個(gè)志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒有條件限制，共有多少種不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【答案】B【分析】本題分抽取的4人中含甲和不含甲兩大類討論，采取捆綁法分析情況，再利用加法和乘法原理得到所有情況即可.【詳解】4人去3個(gè)省份，且每個(gè)省至少一個(gè)人則必會(huì)有兩人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在這四人中任意取兩人進(jìn)行捆綁，則共有種，②若4人中含有甲，則在剩余的4人中抽取3人，共有種，接下來若甲和另1人去同一省份，則共有種，若甲單獨(dú)一人去一個(gè)省份，則共有種，根據(jù)加法和乘法原理可得共有，此類情況共有種綜上共有種.故選：B.2．（2022春·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）數(shù)字1，2，3，4任意組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則它為偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出是偶數(shù)的結(jié)果，再算出沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的結(jié)果，最后用古典概型的公式即可算出答案【詳解】當(dāng)末位可以是有兩種選法，前面三位可以從余下的個(gè)數(shù)字中選個(gè)，共有種結(jié)果，數(shù)字任意組合成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有種結(jié)果,它為偶數(shù)的概率是.故選：A3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）奧運(yùn)會(huì)足球預(yù)選賽亞洲區(qū)決賽（俗稱九強(qiáng)賽），中國(guó)隊(duì)和韓國(guó)隊(duì)是其中的兩支球隊(duì)．現(xiàn)要將9支球隊(duì)隨機(jī)平均分成3組進(jìn)行比賽，則中國(guó)隊(duì)與韓國(guó)隊(duì)分在同一組的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由組合與古典概型公式求解【詳解】由題意得9支球隊(duì)平均分成3組共有種，若中國(guó)隊(duì)與韓國(guó)隊(duì)分在同一組，則有種，故所求概率為，故選：A4．（2022秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）當(dāng)前，國(guó)際疫情仍未得到有效控制，國(guó)內(nèi)防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻?復(fù)雜.某地區(qū)安排A，B，C，D四名同志到三個(gè)地區(qū)開展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，每人只去一個(gè)地區(qū)，且A，B兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．24種 B．30種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】分和各去一個(gè)地區(qū)，同去一個(gè)地區(qū)；和中的1人同去一個(gè)地區(qū)，和另一人各去一個(gè)地區(qū)；和中的1人同去一個(gè)地區(qū)，和另一人各去一個(gè)地區(qū)分別計(jì)算，再由分類加法原理求解即可.【詳解】若和各去一個(gè)地區(qū)，同去一個(gè)地區(qū)，則共有種方案；若和中的1人同去一個(gè)地區(qū)，和另一人各去一個(gè)地區(qū)，則共有種方案；若和中的1人同去一個(gè)地區(qū)，和另一人各去一個(gè)地區(qū)，則共有種方案；由分類加法原理可得共有種方案.故選：B.5．（2022春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高校考階段練習(xí)）10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列即可求解.【詳解】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排有種，調(diào)整后前排有5個(gè)人，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列，原來的3人按照原順序站在剩下的3個(gè)位子，有種，按照乘法計(jì)數(shù)原理可得總共有種.故選：B.6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市阿城區(qū)第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）為了提高教學(xué)質(zhì)量，需要派5位教研員去某地重點(diǎn)高中進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，現(xiàn)知該地有3所重點(diǎn)高中，每個(gè)教研員只能去1所學(xué)校調(diào)研，則下列說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①不同的調(diào)研方案有243種②若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排方案有150種③若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，至多去兩位教研員，則不同調(diào)研安排方案有60種④若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員且甲?乙兩位教研員不去同一所高中，則不同調(diào)研安排方案有114種A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)判斷①，用分組分配方法計(jì)數(shù)判斷②③，用捆綁法求出甲乙二人去同一所學(xué)校的方法，再由排除法得結(jié)論判斷④．【詳解】①每個(gè)教研員只能去1所學(xué)校調(diào)研，根據(jù)分步乘法原理，每個(gè)教研員依次選調(diào)研學(xué)校，方法為，①正確；②若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，將5位教研員分成3組：1,1,3；1,2,2，然后分配到3所學(xué)校，方法數(shù)為：，②正確；由此得③中方法數(shù)為，③錯(cuò)；④甲乙捆綁在一起，變成4人進(jìn)行分組分配，方法數(shù)為，因此甲?乙兩位教研員不去同一所高中的方法數(shù)為，④正確，共有1個(gè)是錯(cuò)誤的．故選：A．7．（2022秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）因演出需要，身高互不相等的9名演員要排成一排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個(gè)到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第七個(gè)依次遞減，第七、八、九個(gè)依次遞增，則不同的排列方式有（

）種．A．379 B．360 C．243 D．217【答案】A【分析】依題意，重點(diǎn)要先排好7號(hào)位和3號(hào)位，余下的按部就班即可.【詳解】依題意作圖如下：上面的數(shù)字表示排列的位置，必須按照上圖的方式排列，其中3號(hào)位必須比124567要高，1，7兩處是排列里最低的，3，9兩處是最高點(diǎn)，設(shè)9個(gè)演員按照從矮到高的順序依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，則3號(hào)位最少是7，最大是9，下面分類討論：第3個(gè)位置選7號(hào)：先從1，2，3，4，5，6號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的4個(gè)號(hào)中最小的放入7號(hào)位置，剩下的三個(gè)放入中間三個(gè)位置，8，9號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即；第3個(gè)位置選8號(hào)：先從1，2，3，4，5，6，7號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的5個(gè)號(hào)中最小的放入7號(hào)位置，剩下4個(gè)選3個(gè)放入中間三個(gè)位置，余下的號(hào)和9號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即；第3個(gè)位置選9號(hào)：先從1，2，3，4，5，6，7，8號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的6個(gè)號(hào)中最小的放入7號(hào)位置，剩下5個(gè)選3個(gè)放入中間三個(gè)位置，余下的2個(gè)號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即；由分類計(jì)數(shù)原理可得共有種排列方式；故選：A.二、填空題8．（2022春·遼寧沈陽·高二沈陽市第三十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將5名志愿者分配到世界杯的3個(gè)不同體育場(chǎng)進(jìn)行志愿者服務(wù)，每名志愿者分配到1個(gè)體育場(chǎng)，每個(gè)體育場(chǎng)至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有______種．【答案】150【分析】5名志愿者分成三個(gè)小組,有2，2，1和1，1，3兩種分法，分別求出兩種分組方法對(duì)應(yīng)的方案數(shù)即可得總的分配方案數(shù).【詳解】將5名志愿者分成三個(gè)小組，有2，2，1和1，1，3兩種分法，當(dāng)為2，2，1時(shí)，共有種；當(dāng)為1，1，3時(shí)，共有種；故一共有90+60=150種分配方案.故答案為：150.9．（2022秋·黑龍江·高二大慶市東風(fēng)中學(xué)?？计谥校┠除堉坳?duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______【答案】92【分析】結(jié)合已知條件，通過討論既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的2人中去參加比賽的人數(shù)，并結(jié)合組合和乘法原理即可求解.【詳解】不妨設(shè)既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的2人為、，①若和兩人均不去參加比賽，則選派方法有種；②若和兩人只去一人參加比賽，(i)若只會(huì)劃左舷的去兩人，則選派方法為種；(ii)若只會(huì)劃右舷的去兩人，則選派方法為種；③若和兩人均去參加比賽，(i)若只會(huì)劃左舷的去1人，則和兩人均去劃左舷，則選派方法為種；(ii)若只會(huì)劃左舷的去2人，則和兩人中有一人去劃左舷，另一人去劃右舷，則選派方法為種；(iii)若只會(huì)劃左舷的去3人，則和兩人均去劃右舷，則選派方法為種，綜上所述，不同的選派方法共有種.故答案為：92.10．（2022春·遼寧沈陽·高二同澤高中?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項(xiàng)不同的工作，每項(xiàng)工作由一人完成，每人至少完成一項(xiàng)，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有______種．【答案】50【分析】因?yàn)镋工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用兩個(gè)原理及排列組合的知識(shí)即可求得【詳解】由題意可分為兩類（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有種安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有種安排方式綜上共有種安排方式故答案為：5011．（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）給正方體的八個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．【答案】114【分析】先考慮兩種顏色的情況，易得有6種方法；再考慮三種顏色的情況，分同色、同色不同色，同色不同色，及不同色四種情況，對(duì)每個(gè)點(diǎn)的著色情況進(jìn)行考慮，最終可得答案.【詳解】如下圖所示的正方體，①用兩種顏色，和同色，則有種；②用三種顏色，若同色，則各有兩種選色方法，故共有種；若同色，與之不同色，注意又與不同色，故只有一種涂色，同理也只有一種涂色，而各有兩種涂色方法，故共有種；若同色，與之不同色，同理，共有種；注意到顏色互不相同是不可能事件，否則無色可涂，故同色的情況討論完畢.若不同色，則各只有一種涂色方法，另外要么與同色，要么與同色，否則無色可涂，若與同色，則有兩種涂色，一種是與同色，則有兩種涂色方法，只有一種涂色方法，共有種，一種是與不同色，則必與同色，否則無色可涂，此時(shí)，都只有一種涂色方法，共有種；若與同色，與上述討論的情況等價(jià)，同理可得共有種；至此，所有情況討論完畢，故共有種.故答案為：114..12．（2022秋·河南周口·高二?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有_____種【答案】67【分析】根據(jù)特殊元素特殊處理的原則，以丙進(jìn)行分類，排完丙后，由甲不當(dāng)語文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，還要進(jìn)行分類，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】因?yàn)楸?dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，以丙進(jìn)行分類：第一類，當(dāng)丙當(dāng)物理課代表時(shí)，丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，再根據(jù)甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，乙戊可以當(dāng)英語和語文中的任一課，有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能當(dāng)英語課代表，乙只能當(dāng)語文課代表，戊當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，有種，共計(jì)種；第二類，當(dāng)丙不當(dāng)物理課代表時(shí)，分四類：①丙為語文課代表時(shí)，乙只能從英語、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種種，②丙為數(shù)學(xué)課代表時(shí)，甲只能從英語、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，③丙為英語課代表時(shí)，繼續(xù)分類，甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表時(shí)，其他三位同學(xué)任意當(dāng)有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能從物理和化學(xué)課中選一課,乙只能從語文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有種，共計(jì)種，④丙為化學(xué)課代表時(shí)，同③的選法一樣有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，不同的選法共有種.故答案為：67.三、解答題13．（2022春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┠承Ｃ屏艘惶渍{(diào)查問卷（試卷滿分均為100分），并對(duì)整個(gè)學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，按照，.…，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分）.(1)求頻率分布直方圖中x的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)用樣本估計(jì)總體，若該校共有1000名學(xué)生，試估計(jì)該校這次測(cè)試成績(jī)不低于70分的人數(shù)；(3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人，試求成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生至少有1人被抽