4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=.

(2)商數(shù)關(guān)系:sinαcosα=2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-π2+正弦sinα

余弦cosα

正切tanα

口訣函數(shù)名不變,符號(hào)看象限函數(shù)名變更,符號(hào)看象限1.特別角的三角函數(shù)值2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形(1)(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;(2)sinα=tanαcosαα≠π2+kπ,k∈Z;(3)sin2α=sin(4)cos2α=cos考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)對(duì)隨意的角α,β有sin2α+cos2β=1.()(2)若α∈R,則tanα=sinαcosα恒成立.((3)sin(π+α)=-sinα成立的條件是α為銳角.()(4)若cos(nπ-θ)=13(n∈Z),則cosθ=13.(2.(2024河北衡水中學(xué)模擬一,理3)已知cosα-π2=-255,α∈π,3π2,則tanα=(A.2 B.32C.1 D.13.(2024河北唐山模擬,理4)已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊上一點(diǎn)A(2sinα,3)(sinα≠0),則cosα=()A.12 B.-1C.32 D.-4.函數(shù)f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值為()A.65 B.1 C.35 D關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例1】(1)若tan(α-π)=12,則sin2α+1A.-12 B.-2 C.12 D(2)已知tanθ=2,則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于()A.-43 B.54 C.-34解題心得1.利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=sinαcosαα2.“1”的敏捷代換:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tanπ43.關(guān)于sinα,cosα的齊次式,往往化為關(guān)于tanα的式子.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知α是第四象限角,sinα=-1213,則tanα等于(A.-513 B.513 C.-125(2)若3sinα+cosα=0,則1cos2α+2sinA.103 B.53 C.23 D考點(diǎn)利用sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系求值【例2】(1)(2024山西太原三模,理3)已知sinθ-cosθ=2,θ∈(0,π),則tanθ=()A.-1 B.-22 C.22 D(2)已知θ為其次象限角,sinθ,cosθ是關(guān)于x的方程2x2+(3-1)x+m=0(m∈R)的兩根,則sinθ-cosθ=()A.1-32 B.1+32 C.解題心得1.通過平方,對(duì)稱式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之間可建立聯(lián)系,若令sinα+cosα=t,則sinαcosα=t2-12,sinα-cosα=±2-t22.利用上述關(guān)系,對(duì)于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個(gè)式子,可以知一求二.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2024江西名校大聯(lián)考,理3)已知α∈-π2,0,sin(π-2α)=-12,則sinα-cosA.52 B.-52 C.62 D考點(diǎn)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例3】(1)已知sin(π-α)=log814,且α∈-π2,0,則tan(2π-α)的值為()A.-255 B.255 C.±(2)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,則tanθ-π4=.

解題心得1.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本思路:(1)分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)公式;(2)利用公式化成單角三角函數(shù);(3)整理得最簡(jiǎn)形式.2.化簡(jiǎn)要求:(1)化簡(jiǎn)過程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)潔,能求值的要求出值.3.用誘導(dǎo)公式求值時(shí),要擅長(zhǎng)視察所給角之間的關(guān)系,利用整體代換的思想簡(jiǎn)化解題過程.常見的互余關(guān)系有π3-α與π6+α,π3+α與π6-α,π4+α與π4-α等,常見的互補(bǔ)關(guān)系有π6-θ與5π6+θ,π3+θ與2π3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}(2)sin600°+tan240°的值等于.

(3)已知sin7π12+α=23,則cosα-11π12=.考點(diǎn)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例4】(1)(2024河北邯鄲聯(lián)考)已知3sin33π14+α=-5cos5π14+α,則tan5π14+α=()A.-53 B.-35 C.35(2)已知α為銳角,且2tan(π-α)-3cosπ2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,則sinα=()A.355 B.377 C.解題心得1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí),關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,敏捷運(yùn)用公式進(jìn)行變形.2.留意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知角tanθ=2,則sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-2cos2θ等于()A.-26 B.26 C.-23(2)已知sinα=255,則tan(π+α)+sin(5π4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.(1)1(2)tanα2.-sinα-sinαsinαcosαcosα-cosαcosα-cosαsinα-sinαtanα-tanα-tanα考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.A∵cosα-π2=sinα=-255,又α∈π,3π2,∴cosα=-55,∴tanα=2.故選3.A由三角函數(shù)定義得tanα=32sinα,即sinαcosα=32sinα,得3cosα=2sin2α=2(1-cos2α),解得cosα=12或4.A因?yàn)閏osx-π6=cosπ2-x+π3=sinx+π3,所以f(x)=15sinx+π3+sinx+π3=65sinx+π3,故函數(shù)f(x)的最大值為65.故選A.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)D(2)D(1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tanα=12si=2×(1(2)sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=si=tan又tanθ=2,故原式=4+2-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)C(2)A(1)因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?sinα=-1213,所以cosα=1-sin2α=513(2)由題知,3sinα+cosα=0,且cosα≠0,故tanα=-131co例2(1)A(2)B(1)由sinθ-cosθ=2,得1-2sinθcosθ=2,所以2sinθcosθ=-1,又α∈(0,π),所以cosθ<0,所以θ∈π2,π,則(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=0,解得sinθ+cosθ=0,所以tanθ=-1.(2)由題意,sinθ+cosθ=1-32,sinθcosθ=m2,則(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ=解得m=-32.因?yàn)棣葹槠浯蜗笙藿?所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>因?yàn)?sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-m=1+32,所以sinθ-cosθ=1+32=對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2D因?yàn)閟in(π-2α)=-12,所以sin2α=-12,即2sinαcosα=-12.所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+12=32.又因?yàn)棣痢?π2,0,所以sinα<cosα.所以例3(1)B(2)-43(1)sin(π-α)=sinα=log814=-又因?yàn)棣痢?π2,0,則cosα=1-si∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-sinα(2)∵sinθ+π4=35,∴cosθ-π4=cosθ+π4-π2=sinθ+π4=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角∴sinθ-π4=-45.∴tanθ-π4=-43.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)C(2)32(3)-(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),A=sinαsin當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),A=-sinαsin(2)sin600°+tan240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin120°+tan60°=-32(3)cosα-11π12=cos11π12-α=cosπ-π12+α=-cosπ12+α,而sin7π12+α=sinπ2+π12+α=cosπ12+α=23,故cosα-11π12=-23.例4(1)A(2)C(1)由3sin33π14+α=-5cos5π14+α,得sin5π14+α=-53cos5π14+α所以tan5π14+α=sin(5π14(2)由已知得3sin消去sinβ,得tanα=3,∴sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,化簡(jiǎn)得sin2α