統(tǒng)計背景下的新定義問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：新定義統(tǒng)計量或指標(biāo) 3題型二：新定義的統(tǒng)計方法或技術(shù) 5題型三：新定義的數(shù)據(jù)可視化方法 6題型四：綜合應(yīng)用題 1003過關(guān)測試 13

針對高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計背景下的新定義問題，解題方法的總結(jié)可以從以下幾個方面進(jìn)行：一、理解新定義的本質(zhì)首先，需要明確題目中的新定義是針對統(tǒng)計中的某一概念、方法或運(yùn)算的拓展或創(chuàng)新。理解這一新定義的本質(zhì)屬性、條件、結(jié)論以及適用范圍是解題的第一步。這要求學(xué)生具備較強(qiáng)的閱讀理解能力和抽象思維能力，能夠快速準(zhǔn)確地把握新定義的核心內(nèi)容。二、聯(lián)系已學(xué)知識新定義問題往往不是孤立存在的，它們往往與已學(xué)的統(tǒng)計知識有著緊密的聯(lián)系。因此，在理解新定義的基礎(chǔ)上，學(xué)生需要將其與已學(xué)的統(tǒng)計概念、方法或運(yùn)算進(jìn)行聯(lián)系，找到它們之間的共同點和不同點。這樣不僅可以幫助學(xué)生更好地理解新定義，還可以為后續(xù)的解題提供思路和方法。三、構(gòu)建解題模型對于統(tǒng)計背景下的新定義問題，構(gòu)建解題模型是解決問題的關(guān)鍵。學(xué)生需要根據(jù)題目的具體要求和已學(xué)知識，構(gòu)建出適合解決該問題的統(tǒng)計模型。這個模型可以是基于某種統(tǒng)計分布的假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ停部梢允腔跀?shù)據(jù)特征的描述統(tǒng)計模型。在構(gòu)建模型的過程中，學(xué)生需要充分考慮新定義的條件和結(jié)論，確保模型的準(zhǔn)確性和有效性。四、運(yùn)用統(tǒng)計方法進(jìn)行計算和分析在構(gòu)建好解題模型之后，學(xué)生需要運(yùn)用統(tǒng)計方法進(jìn)行計算和分析。這包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、推斷等各個方面。在計算和分析的過程中，學(xué)生需要嚴(yán)格按照統(tǒng)計方法的步驟和要求進(jìn)行操作，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。同時，學(xué)生還需要注意對新定義條件的應(yīng)用和理解，確保計算和分析過程符合題目要求。五、總結(jié)歸納最后，學(xué)生需要對解題過程進(jìn)行總結(jié)歸納。這包括對新定義的理解和應(yīng)用情況的反思、對解題思路和方法的總結(jié)以及對統(tǒng)計知識的鞏固和拓展等方面。通過總結(jié)歸納，學(xué)生可以更好地掌握新定義問題的解題方法，提高自己的統(tǒng)計素養(yǎng)和解題能力。具體解題步驟建議仔細(xì)閱讀題目：理解題目中的新定義及其條件、結(jié)論等要素。聯(lián)系已學(xué)知識：將新定義與已學(xué)的統(tǒng)計知識進(jìn)行聯(lián)系和對比，找到它們之間的共同點和不同點。構(gòu)建解題模型：根據(jù)題目要求和已學(xué)知識構(gòu)建解題模型，明確模型的假設(shè)條件、計算步驟和分析方法。進(jìn)行計算和分析：按照統(tǒng)計方法的步驟和要求進(jìn)行計算和分析，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性?？偨Y(jié)歸納：對解題過程進(jìn)行總結(jié)歸納，反思解題過程中的得失和體會，鞏固和拓展自己的統(tǒng)計知識。題型一：新定義統(tǒng)計量或指標(biāo)【典例1-1】設(shè)，，…，是總體數(shù)據(jù)中抽取的樣本，k為正整數(shù)，則稱為樣本k階中心矩，其中為樣本均值.統(tǒng)計學(xué)中，當(dāng)我們遇到數(shù)據(jù)分布形狀不對稱時，常用樣本中心矩的函數(shù)——樣本偏度來刻畫偏離方向與程度.若將樣本數(shù)據(jù)，，…，繪制柱形圖如圖所示，則（

）2A． B．C． D．與0的大小關(guān)系不能確定【典例1-2】定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點的“數(shù)”為:在點的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)，如:，點的坐標(biāo)，則所有這些點的“數(shù)”的均值與最小值之差為.【變式1-1】（2024·河北·模擬預(yù)測）機(jī)器模型預(yù)測常常用于只有正確與錯誤兩種結(jié)果的問題.表1為根據(jù)模型預(yù)測結(jié)果與真實情況的差距的情形表格，定義真正例率，假正例率.概率閾值為自行設(shè)定的用于判別正(反)例的值，若分類器(分類模型)對該樣例的預(yù)測正例概率大于等于設(shè)定的概率閾值，則記分類器預(yù)測為正例，反之預(yù)測為反例.總例預(yù)測結(jié)果正例反例真實情況正例真正例假反例反例假正例真反例表1分類結(jié)果樣例劃分利用這些指標(biāo)繪制出的ROC曲線可衡量模型的評價效果：將各樣例的預(yù)測正例概率與從大到小排序并依次作為概率閾值，分別計算相應(yīng)概率閾值下的與.以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，得到標(biāo)記點.依次連接各標(biāo)記點得到的折線就是ROC曲線.圖1為甲分類器對于8個樣例的ROC曲線，表2為甲，乙分類器對于相同8個樣例的預(yù)測數(shù)據(jù).樣例數(shù)據(jù)甲分類器乙分類器樣例標(biāo)號樣例屬性預(yù)測正例概率預(yù)測正例概率1正例0.230.342正例0.580.533反例0.150.134反例0.620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲，乙分類器對于相同8個樣例的預(yù)測數(shù)據(jù)

(1)當(dāng)概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應(yīng)點；(2)在圖2中繪制乙分類器對應(yīng)的ROC曲線(無需說明繪圖過程)，并直接寫出甲，乙兩分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積；(3)按照上述思路，比較甲，乙兩分類器的預(yù)測效果，并直接寫出理想分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.題型二：新定義的統(tǒng)計方法或技術(shù)【典例2-1】（2024·河北衡水·一模）為檢測出新冠肺炎的感染者，醫(yī)學(xué)上可采用“二分檢測法”，假設(shè)待檢測的總?cè)藬?shù)是，將個人的樣本混合在一起做第1輪檢測（檢測一次），如果檢測結(jié)果為陰性，可確定這批人未感染；如果檢測結(jié)果為陽性，可確定其中有感染者，則將這批人平均分為兩組，每組人的樣本混合在一起做第2輪檢測，每組檢測1次，如此類推，每輪檢測后，排除結(jié)果為陰性的那組人，而將每輪檢測后結(jié)果為陽性的組再平均分成兩組，做下一輪檢測，直到檢測出所有感染者（感染者必須通過檢測來確定），若待檢測的總?cè)藬?shù)為8，采用“二分檢測法”構(gòu)測，經(jīng)過4輪共7次檢測后確定了所有感染者，則感染者人數(shù)的所有可能值為人．若待檢測的總?cè)藬?shù)為，且假設(shè)其中有2名感染者，采用“二分檢測法”所需檢測總次數(shù)記為n，則n的最大值為．【典例2-2】已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，設(shè)為該組數(shù)據(jù)的“階方差”，若，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．與奇偶性有關(guān)【變式2-1】已知樣本的平均數(shù)為，設(shè)為該樣本的“階方差”，則（

）A．B．對任意恒成立C．當(dāng)為奇數(shù)時，不可能為負(fù)數(shù)D．若，則【變式2-2】（多選題）（2024·高三·湖北·期中）基于小汽車的“車均擁堵指數(shù)”，其取值范圍是，值越大表明擁堵程度越強(qiáng)烈.在這個公式中，為路段上統(tǒng)計時間間隔內(nèi)車輛平均行駛速度，為路段上自由流狀態(tài)下車輛行駛速度，且結(jié)合地圖匹配算法可得到，其中表示浮動車的速度.下列說法正確的是（

）A．的值越大，的值越小B．若，則去掉后得到的的值變小C．若，則去掉后得到的的值不變D．若，則樣本的方差小于樣本的方差【變式2-3】（多選題）（2024·河北邯鄲·三模）為了估計一批產(chǎn)品的不合格品率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個樣本容量為的樣本，定義，于是，，，記（其中或1，），稱表示為參數(shù)的似然函數(shù)．極大似然估計法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個統(tǒng)計方法，極大似然原理的直觀想法是：一個隨機(jī)試驗如有若干個可能的結(jié)果A，B，C，…，若在一次試驗中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗條件對A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大.極大似然估計是一種用給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的統(tǒng)計方法，即“模型已定，參數(shù)未知”，通過若干次試驗，觀察其結(jié)果，利用試驗結(jié)果得到某個參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大．根據(jù)以上原理，下面說法正確的是（

）A．有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球1個黑球，乙箱有1個白球99個黑球．今隨機(jī)地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的B．一個池塘里面有鯉魚和草魚，打撈了100條魚，其中鯉魚80條，草魚20條，那么推測鯉魚和草魚的比例為4:1時，出現(xiàn)80條鯉魚、20條草魚的概率是最大的C．D．達(dá)到極大值時，參數(shù)的極大似然估計值為題型三：新定義的數(shù)據(jù)可視化方法【典例3-1】2021年，小李老師的親戚準(zhǔn)備購買一輛新的卡車用來跑運(yùn)輸，可選的車型主要有種.分別為，，，，現(xiàn)在有個指標(biāo)：維修期限，百升汽油里數(shù)，最大載重噸數(shù)，價格，可能性，靈敏性來衡量，其中可靠性和靈敏性為評分，如下表.為了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)用來分析比較，小李老師將數(shù)據(jù)做了以下處理：.（表示第行第列的原始數(shù)據(jù)，表示第行第列的原始數(shù)據(jù)處理后的數(shù)據(jù)，表示第列的原始數(shù)據(jù)）如果用綜合指標(biāo)來做標(biāo)準(zhǔn)，則的綜合指標(biāo)為（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2024·四川涼山·二模）高三模擬考試常常劃定的總分各批次分?jǐn)?shù)線，通過一定的數(shù)學(xué)模型，確定不同學(xué)科在一本、二本等各批次“學(xué)科上線有雙分”的分?jǐn)?shù)線．考生總成績達(dá)到總分各批次分?jǐn)?shù)線的稱為總分上線；考生某一單科成績達(dá)到及學(xué)科上線有雙分的稱為單科上線．學(xué)科對總分的貢獻(xiàn)或匹配程度評價有很大的意義．利用“學(xué)科對總分上線貢獻(xiàn)率”和“學(xué)科有效分上線命中率”這兩項評價指標(biāo)，來反映各學(xué)科的單科成績對考生總分上線的貢獻(xiàn)與匹配程度，這對有效安排備考復(fù)習(xí)計劃具有十分重要的意義．某州一診考試劃定總分一本線為465分，數(shù)學(xué)一本線為104分，某班一小組的總分和數(shù)學(xué)成績?nèi)绫恚瑒t該小組“數(shù)學(xué)學(xué)科對總分上線貢獻(xiàn)率、有效分上線命中率”分別是（

）（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位有效數(shù)字）學(xué)生編號1234567891011121314151617181920數(shù)學(xué)成績120117122101100112991111021008998928494113971048585總分成績495494493485483483482480479475471470463457454453448448441440A．41.7%，71.4% B．60%，71.4%C．41.7%，35% D．60%，35%【變式3-1】某省新高考中選考科目采用賦分制，具體轉(zhuǎn)換規(guī)則和步驟如下：第一步，按照考生原始分從高到低按成績比例劃定、、、、共五個等級（見下表）.第二步，將至五個等級內(nèi)的考生原始分，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別對應(yīng)轉(zhuǎn)換到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五個分?jǐn)?shù)段，從而將考生的等級轉(zhuǎn)換成了等級分.等級比例15%35%35%13%2%賦分區(qū)間100-8685-7170-5655-4140-30賦分公式：，計算出來的經(jīng)過四舍五人后即為賦分成績.某次考試，化學(xué)成績等級的原始最高分為98分，最低分為63分.學(xué)生甲化學(xué)原始成績?yōu)?6分，則該學(xué)生的化學(xué)賦分分?jǐn)?shù)為（

）A．85 B．88 C．91 D．95【變式3-2】某公司有甲乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，對兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，經(jīng)檢測得到了A、B的兩項質(zhì)量指標(biāo)值，記為，定義產(chǎn)品的指標(biāo)偏差，數(shù)據(jù)如下表：甲生產(chǎn)線抽樣產(chǎn)品編號指標(biāo)123456789100.980.961.071.020.990.930.920.961.111.022.011.971.962.032.041.981.951.992.072.020.030.070.110.050.050.090.130.050.180.04乙生產(chǎn)線抽樣產(chǎn)品編號指標(biāo)123456781.020.970.950.941.130.980.971.012.012.032.151.932.012.022.192.040.030.060.200.130.140.040.220.05假設(shè)用頻率估計概率，且每件產(chǎn)品的質(zhì)量相互獨(dú)立．(1)從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計該產(chǎn)品滿足且的概率；(2)從甲乙兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，設(shè)表示這兩件產(chǎn)品中滿足的產(chǎn)品數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知的值越小則該產(chǎn)品質(zhì)量越好．如果甲乙兩條生產(chǎn)線各生產(chǎn)一件產(chǎn)品，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)判斷哪條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品質(zhì)量更好？并說明理由．【變式3-3】定義：為不超過的最大整數(shù)部分，如，．甲、乙兩個學(xué)生高二的6次數(shù)學(xué)測試成績（測試時間為90分鐘，滿分100分）如下表所示：高二成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲687477848895乙717582848694進(jìn)入高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績預(yù)計有了大的提升．設(shè)甲或乙高二的數(shù)學(xué)測試成績?yōu)?，若，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測試成績預(yù)計為；若，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測試成績預(yù)計為100．(1)試預(yù)測：在將要進(jìn)行的高三6次數(shù)學(xué)測試成績（測試時間為90分鐘，滿分100分）中，甲、乙兩個學(xué)生的成績（填入下列表格內(nèi)）；高三成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲乙(2)記高三任意一次數(shù)學(xué)測試成績估計值為，規(guī)定：，記為轉(zhuǎn)換分為3分；，記為轉(zhuǎn)換分為4分；，記為轉(zhuǎn)換分為5分．現(xiàn)從乙的6次數(shù)學(xué)測試成績中任意抽取2次，求這2次成績的轉(zhuǎn)換分之和為8分的概率．題型四：綜合應(yīng)用題【典例4-1】（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）一般地，元有序?qū)崝?shù)對稱為維向量.對于兩個維向量，定義：兩點間距離，利用維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標(biāo)準(zhǔn)點的距離，與哪個標(biāo)準(zhǔn)點的距離最近就歸為哪類.某公司對應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測試，得到業(yè)務(wù)能力分值?管理能力分值?計算機(jī)能力分值?溝通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：崗位業(yè)務(wù)能力分值管理能力分值計算機(jī)能力分值溝通能力分值合計分值會計（1）215412業(yè)務(wù)員（2）523515后勤（3）235313管理員（4）454417對應(yīng)聘者的能力報告進(jìn)行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對應(yīng)四維向量的四個坐標(biāo).(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個崗位的擬合距離的平方均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.（i）小剛測試報告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個點，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；（ii）小明已經(jīng)被該公司招錄，其測試報告經(jīng)公司計算得到四種職業(yè)的推薦率分別為，試求小明的各項能力分值.【典例4-2】設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標(biāo)可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設(shè)．(1)若，求；(2)若，求的最小值；(3)對任意與有相同可能取值的隨機(jī)變量，證明：，并指出取等號的充要條件【變式4-1】給定兩組數(shù)據(jù)與，稱為這兩組數(shù)據(jù)之間的“差異量”．鑒寶類的節(jié)目是當(dāng)下非常流行的綜藝節(jié)目．現(xiàn)有個古董，它們的價值各不相同，最值錢的古董記為1號，第二值錢的古董記為2號，以此類推，則古董價值的真實排序為．現(xiàn)在某專家在不知道古董真實排序的前提下，根據(jù)自己的經(jīng)驗對這個古董的價值從高到低依次進(jìn)行重新排序為，其中為該專家給真實價值排第位古董的位次編號，記，那么與的差異量可以有效反映一個專家的水平，該差異量越小說明專家的鑒寶能力越強(qiáng)．(1)當(dāng)時，求的所有可能取值；(2)當(dāng)時，求滿足的的個數(shù)；(3)現(xiàn)在有兩個專家甲、乙同時進(jìn)行鑒寶，已知專家甲的鑒定結(jié)果與真實價值的差異量為，專家甲與專家乙的鑒定結(jié)果的差異量為4，那么專家乙的鑒定結(jié)果與真實價值的差異量是否可能為？請說明理由．（注：實數(shù)滿足：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號）【變式4-2】將2024表示成7個正整數(shù)之和，得到方程①，稱七元有序數(shù)組為方程①的解，對于上述的七元有序數(shù)組，當(dāng)時，若），則稱是密集的一組解．(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù)，若不存在，請說明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問S是否存在最小值?若存在，請求出S的最小值：若不存在，請說明理由．【變式4-3】已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為．類似平面向量，定義n維向量，的模，，數(shù)量積．若向量與所成角為，有恒等式，其中，．(1)當(dāng)時，若向量，，求與所成角的余弦值；(2)當(dāng)時，證明：①；②；(3)當(dāng)，時，探究與的大小關(guān)系，并證明．1．（2024·高三·北京豐臺·期末）市場占有率指在一定時期內(nèi)，企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品在其市場的銷售量（或銷售額）占同類產(chǎn)品銷售量（或銷售額）的比重．一般來說，市場占有率會隨著市場的顧客流動而發(fā)生變化，如果市場的顧客流動趨向長期穩(wěn)定，那么經(jīng)過一段時期以后的市場占有率將會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)（即顧客的流動，不會影響市場占有率），此時的市場占有率稱為“穩(wěn)定市場占有率”．有A，B，C三個企業(yè)都生產(chǎn)某產(chǎn)品，2022年第一季度它們的市場占有率分別為：40%，40%，20%．經(jīng)調(diào)查，2022年第二季度A，B，C三個企業(yè)之間的市場占有率轉(zhuǎn)移情況如圖所示，若該產(chǎn)品以后每個季度的市場占有率轉(zhuǎn)移情況均與2022年第二季度相同，則當(dāng)市場出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，最終達(dá)到“穩(wěn)定市場占有率”時，A企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場占有率”為（

）

A．45% B．48% C．50% D．52%2．（多選題）為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識別方法中存在的不精確問題，科學(xué)家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動識別系統(tǒng).規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的m個點的深度的均值，標(biāo)準(zhǔn)偏差為，深度的點視為孤立點，下表給出了某區(qū)域內(nèi)的8個點的數(shù)據(jù)，則（

）15.115.215.315.415.515.415.413.415.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218A． B． C．不是孤立點 D．和是孤立點3．（2024·北京西城·二模）為研究中國工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)量和銷量的變化規(guī)律，收集得到了年工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)，如下表所示．年份產(chǎn)量萬臺銷量萬臺記年工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)量的中位數(shù)為，銷量的中位數(shù)為．定義產(chǎn)銷率為“”．(1)從年中隨機(jī)取年，求工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)銷率大于的概率；(2)從年這年中隨機(jī)取年，這年中有年工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)量不小于，有年工業(yè)機(jī)器人的銷量不小于．記，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從哪年開始的連續(xù)年中隨機(jī)取年，工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)銷率超過的概率最?。Y(jié)論不要求證明4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）定義兩組數(shù)據(jù)，的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量在該組數(shù)據(jù)中的排名和變量在該組數(shù)據(jù)中的排名的樣本相關(guān)系數(shù)，記為，其中．某校15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的排名與知識競賽成績的排名如下表：123456789101112131415153498761021214131115(1)試求這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與知識競賽成績的“斯皮爾曼系數(shù)”；(2)已知在這15名學(xué)生中有10人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機(jī)抽取3人，抽到數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生有人，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望．5．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）安徽省從2024年起實施高考綜合改革，實行高考科目“”模式．“2”指考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級分計入高考成績．按照方案，再選學(xué)科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如表1：表1等級ABCDE人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等級賦分，計算結(jié)果四舍五入取整．若甲同學(xué)在五月全市模考中某選考科目成績信息如表2（本次考試成績均為自然數(shù)）表2原始分成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間75分A等級(1)求甲同學(xué)該科目的等級分；(2)理論上當(dāng)原始分區(qū)間的極差越大時，該區(qū)間中得分越低的同學(xué)賦分后等級分比原始分增加越多．比如某同學(xué)僅該科目較為薄弱，如果賦分后能比原始分增加9.5分以上（包含9.5分），那么六科總分排名相對于原始分排名就會有大幅提升，此時賦分制對于該同學(xué)就是有利的．經(jīng)過統(tǒng)計數(shù)據(jù)，五月全市模擬考試該學(xué)科A等級的成績分布如表3．則如果從A等級的學(xué)生中隨機(jī)選出100名，X表示其中獲益于賦分政策的人數(shù)，求的值．表3分?jǐn)?shù)段人數(shù)比例6．多樣性指數(shù)是生物群落中種類與個體數(shù)的比值.在某個物種數(shù)目為的群落中，辛普森多樣性指數(shù)，其中為第種生物的個體數(shù)，為總個體數(shù).當(dāng)越大時，表明該群落的多樣性越高.已知兩個實驗水塘的構(gòu)成如下：綠藻衣藻水綿藍(lán)藻硅藻66666124365(1)若從中分別抽取一個生物個體，求兩個生物個體為同一物種的概率；(2)（i）比較的多樣性大小；（ii）根據(jù)（i）的計算結(jié)果，分析可能影響群落多樣性的因素.7．從2021年秋季學(xué)期起，黑龍江省啟動實施高考綜合改革，實行高考科目“3+1+2”模式.“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計入高考成績；“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級分計入高考成績.按照方案，再選學(xué)科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級ABCDE人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求，并估計此次化學(xué)考試原始分的平均值；(2)按照等級分賦分規(guī)則，估計此次考試化學(xué)成績A等級的原始分區(qū)間；(3)用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績的原始分為88，試計算其等級分（計算結(jié)果四舍五入取整）.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號12345678910數(shù)學(xué)成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學(xué)生編號11121314151617181920數(shù)學(xué)成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，．(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）．(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．（i）記，．證明：．（ii）用（i）的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（精確到）．(3)比較（1）和（2）（ii）的計算結(jié)果，簡述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時的優(yōu)勢．注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．9．某種人臉識別方法，采用了視頻分塊聚類的自動識別系統(tǒng).規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的個點的深度的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，深度的點視為孤立點.下表給出某區(qū)域內(nèi)8個點的數(shù)據(jù)：15.115.215.315.415.515.415.413.815.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算的值；(2)判斷表中各點是否為孤立點.10．（2024·江西吉安·一模）黨的二十大報告提出，要推進(jìn)健康中國建設(shè)，把保障人民健康放在優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略位置，完善人民健康促進(jìn)政策.《國務(wù)院關(guān)于印發(fā)全民健身計劃（—年）的通知》中指出，深入實施健康中國戰(zhàn)略和全民健身國家戰(zhàn)略，加快體育強(qiáng)國建設(shè)，構(gòu)建更高水平的全民健身公共服務(wù)體系，充分發(fā)揮全民健身在提高人民健康水平?促進(jìn)人的全面發(fā)展?推動經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展?展示國家文化軟實力等方面的綜合價值與多元功能.如圖為年~年（年的年份序號為）我國健身人數(shù)（百萬人）變化情況的折線圖：統(tǒng)計學(xué)中的樣本點具有二重性，樣本是可以觀測的隨機(jī)變量，本題將和視為兩個隨機(jī)變量且以上數(shù)據(jù)圖中的每個樣本點的產(chǎn)生的概率都是，已知，其中表示的平均數(shù).參考數(shù)據(jù)及公式：.和兩個隨機(jī)變量之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程中，.(1)求回歸方程的皮爾遜相關(guān)系數(shù)（保留位有效數(shù)字）；(2)求關(guān)于的回歸方程.11．（2024·湖南郴州·三模）chatGPT是由OpenAI開發(fā)的一款人工智能機(jī)器人程序，一經(jīng)推出就火遍全球.chatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，訓(xùn)練分為以下三個階段.第一階段：訓(xùn)練監(jiān)督策略模型.對抽取的prompt數(shù)據(jù)，人工進(jìn)行高質(zhì)量的回答，獲取<prompt，answer>數(shù)據(jù)對，幫助數(shù)學(xué)模型GPT-3.5更好地理解指令.第二階段：訓(xùn)練獎勵模型.用上一階段訓(xùn)練好的數(shù)學(xué)模型，生成個不同的回答，人工標(biāo)注排名，通過獎勵模型給出不同的數(shù)值，獎勵數(shù)值越高越好.獎勵數(shù)值可以通過最小化下面的交叉熵?fù)p失函數(shù)得到：，其中，且.第三階段：實驗與強(qiáng)化模型和算法.通過調(diào)整模型的參數(shù)，使模型得到最大的獎勵以符合人工的選擇取向.參考數(shù)據(jù)：(1)若已知某單個樣本，其真實分布，其預(yù)測近似分布，計算該單個樣本的交叉熵?fù)p失函數(shù)Loss值.(2)絕對值誤差MAE也是一種比較常見的損失函數(shù)，現(xiàn)已知某階變量的絕對值誤差，，其中，表示變量的階.若已知某個樣本是一個三階變量的數(shù)陣，其真實分布是，現(xiàn)已知其預(yù)測分布為，求證：該變量的絕對值誤差為定值.(3)在測試chatGPT時，如果輸入問題沒有語法錯誤chatGPT的回答被采納的概率為，當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時，chatGPT的回答被采納的概率為.現(xiàn)已知輸入的問題中出現(xiàn)語法錯誤的概率為，現(xiàn)已知chatGPT的回答被采納，求該問題的輸入語法沒有錯誤的概率.12．某抽獎系統(tǒng)中，抽得的物品可分為星，星和星，其中一種抽獎種類中的抽獎系統(tǒng)的概率和相關(guān)保底機(jī)制如下：物品類別星星星基礎(chǔ)概率基礎(chǔ)概率：在沒有任何其他機(jī)制的影響下，單次抽獎抽中指定類別獎品的概率．保底機(jī)制：現(xiàn)假定玩家從未進(jìn)行過抽獎，則玩家抽取星（或星）的概率會隨者未抽中星（或星）的次數(shù)增加而改變，相關(guān)機(jī)制如下表所示：連續(xù)未抽中星的次數(shù)下一次抽中星的概率連續(xù)未抽中星的次數(shù)下一次抽中星的概率注：①表示，中的最小值：②抽中星的概率和抽中星的概率的增加值從抽中星的概率中等量扣除；③若發(fā)現(xiàn)下一次抽獎中，抽中星的概率和抽中星的概率的和大于，則下一次抽獎抽中星的概率等于表中的值（記為），而抽中星的概率為．現(xiàn)記玩家獲得個星物品所需要的最大抽獎次數(shù)為；統(tǒng)計名玩家抽到第一個五星的總次數(shù)和中途抽到四星的次數(shù)如下表所示：玩家序號總次數(shù)四星個數(shù)計算得：，，，，已知與之間存在很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求出其線性回歸方程，并求出使得最小的（回歸方程中的和取兩位小數(shù)）參考公式：回歸直線方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．13．（2024·山西太原·三模）在學(xué)業(yè)測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第i題的難度，為答對該題的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道