2024年高考一輪復(fù)習(xí)100考點100講第12章磁場第12.7講帶電粒子在磁場中運動的多解問題【知識點精講】帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于多種因素的影響，問題形成多解。根據(jù)多解形成原因，常見的有如下三種情況：一、帶電粒子電性不確定形成多解受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子在磁場中運動軌跡不同，形成多解，如圖所示。帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強磁場：若帶正電，其軌跡為a；若帶負(fù)電，其軌跡為b。二、臨界狀態(tài)不唯一形成多解帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，它可能穿過磁場飛出，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面這邊反向飛出，于是形成多解，如圖所示。三、磁場方向不確定形成多解對于題目只給出磁場方向垂直于紙面等，而沒有明確方向的問題，可能由于磁場方向不確定形成多解。四、運動具有周期性形成多解帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運動時，運動往往具有周期性，因而形成多解?！痉椒w納】帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運動的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題．帶電粒子在磁場中運動的多解問題解題思路：(1)分析題目特點，確定題目多解的形成原因。(2)畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況．(全面考慮多種可能性)。(3)若為周期性重復(fù)的多解問題，尋找通項式，若是出現(xiàn)幾種解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件?！咀钚赂呖碱}精練】1..（2023高考山東高中學(xué)業(yè)水平等級考試）如圖所示，在，的區(qū)域中，存在沿y軸正方向、場強大小為E的勻強電場，電場的周圍分布著垂直紙面向外的恒定勻強磁場。一個質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從OP中點A進(jìn)入電場（不計粒子重力）。（1）若粒子初速度為零，粒子從上邊界垂直QN第二次離開電場后，垂直NP再次進(jìn)入電場，求磁場的磁感應(yīng)強度B的大??；（2）若改變電場強度大小，粒子以一定的初速度從A點沿y軸正方向第一次進(jìn)入電場、離開電場后從P點第二次進(jìn)入電場，在電場的作用下從Q點離開。（i）求改變后電場強度的大小和粒子的初速度；（ii）通過計算判斷粒子能否從P點第三次進(jìn)入電場?！緟⒖即鸢浮浚?）；（2）（i），；（ii）不會【名師解析】（1）由題意粒子在電場中做勻加速直線運動，根據(jù)動能定理有粒子在磁場中做勻速圓周運動，有粒子從上邊界垂直QN第二次離開電場后，垂直NP再次進(jìn)入電場，軌跡如圖根據(jù)幾何關(guān)系可知聯(lián)立可得（2）（i）由題意可知，做出粒子在電場和磁場中運動軌跡如圖在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)幾何關(guān)系可知解得由sinθ==0.8，解得，洛倫茲力提供向心力帶電粒子從A點開始做勻加速直線運動，根據(jù)動能定理有再一次進(jìn)入電場后做類似斜拋運動，沿x方向有，沿y方向上有，其中根據(jù)牛頓第二定律有聯(lián)立以上各式解得，，（ii）粒子從P到Q根據(jù)動能定理有可得從Q射出時的速度為

此時粒子在磁場中的半徑根據(jù)其幾何關(guān)系可知對應(yīng)的圓心坐標(biāo)為，而圓心與P的距離為故不會再從P點進(jìn)入電場。2.(多選)(2022·湖北卷·8)在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直．離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30°角．已知離子比荷為k，不計重力．若離子從P點射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應(yīng)θ角的可能組合為()A.eq\f(1,3)kBL,0° B.eq\f(1,2)kBL,0°C．kBL,60° D．2kBL,60°【參考答案】BC【名師解析】若離子通過下部分磁場直接到達(dá)P點，如圖，根據(jù)幾何關(guān)系則有R＝L，由qvB＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\f(qBL,m)＝kBL，根據(jù)對稱性可知出射速度與SP成30°角斜向上，故出射方向與入射方向的夾角為θ＝60°.當(dāng)離子在兩個磁場均運動一次時，如圖，因為兩個磁場的磁感應(yīng)強度大小均為B，則根據(jù)對稱性有R＝eq\f(1,2)L，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\f(qBL,2m)＝eq\f(1,2)kBL，此時出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射方向的夾角為θ＝0°.通過以上分析可知當(dāng)離子從下部分磁場射出時，需滿足v＝eq\f(qBL,(2n－1)m)＝eq\f(1,2n－1)kBL(n＝1,2,3，…)，此時出射方向與入射方向的夾角為θ＝60°；當(dāng)離子從上部分磁場射出時，需滿足v＝eq\f(qBL,2nm)＝eq\f(1,2n)kBL(n＝1,2,3，…)，此時出射方向與入射方向的夾角為θ＝0°，故B、C正確，A、D錯誤．【最新模擬題精練】1.（2023廣東實驗中學(xué)三模）如圖，水平放置的擋板上方有垂直紙面向里的勻強磁場，一帶電粒子垂直于擋板從板上的小孔射入磁場，另一帶電粒子垂直于磁場且與擋板成角射入磁場，、初速度大小相等，兩粒子恰好都打在板上同一點（圖中未標(biāo)出）。不計重力，下列說法正確的是（）A.、的電性一定相同B.、的比荷（荷質(zhì)比）之比為C.若在點左側(cè)，則在磁場中運動時間比長D.若在點右側(cè)，則在磁場中運動路程比長【參考答案】ABD【名師解析】根據(jù)題意可知，兩粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)方向相同，所以根據(jù)左手定則可知，兩粒子的電性相同，故A正確；BCD．令兩粒子都帶正電，粒子的運動軌跡如圖所示，點在點的左側(cè)，根據(jù)幾何知識有因為所以粒子做圓周運動的半徑為則根據(jù)圖形可知，該種情況下粒子做圓周運動的路程小于粒子的路程，根據(jù)可知，、兩粒子的速度相等，粒子的路程小于粒子的路程，所以粒子的運動時間小于粒子；當(dāng)兩粒子都帶負(fù)電時，兩粒子的運動軌跡如圖所示，點在點的右側(cè)，根據(jù)幾何知識有則根據(jù)圖形可知，該種情況下粒子做圓周運動的路程大于粒子的路程，故BD正確，C錯誤。2.（2023重慶沙家壩重點中學(xué)質(zhì)檢）如圖，足夠長的熒光屏OA的上方區(qū)域存在勻強磁場，邊界MN左側(cè)區(qū)域的磁場方向垂直紙面向里，右側(cè)區(qū)域的磁場方向垂直紙面向外，兩區(qū)域的磁感應(yīng)強度大小均為B。光屏上方有一粒子源緊挨著O點，可沿OA方向不斷射出質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子。粒子打在熒光屏上時，熒光屏相應(yīng)位置會發(fā)光。已知粒子的速率可取從零到某最大值之間的各種數(shù)值，速率最大的粒子恰好垂直打在光屏上，OM之間的距離為，不計粒子重力及粒子間的相互作用，則（）A.粒子的最大速率為B.熒光屏上的發(fā)光長度C.打中熒光屏的粒子運動時間的最小值為D.打中熒光屏的粒子運動時間的最大值為【參考答案】AC【名師解析】速率最大的粒子恰好垂直打在光屏上，軌跡如圖所示設(shè)軌道半徑為r1，即OO1=r1O1O2=2r1可知圓心角∠OO1K=60°故可解得r1=2a由向心力公式可得聯(lián)立可解得此過程，在磁場中的運動時間最短，MN左側(cè)軌跡圓心角60°，右側(cè)軌跡圓心角150°，周期公式為故總時間為故AC正確；當(dāng)粒子的軌跡恰與MN相切時，進(jìn)入右側(cè)后，恰與MA相切，在磁場中的運動時最長。如圖所示由幾何關(guān)系得兩邊軌跡合起來恰好一個圓周，故最長時間垂直打到熒光屏的位置離M最遠(yuǎn)，與熒光屏相切點離M最近，兩點之間距離即為光屏上的發(fā)光長度，即故BD錯誤。3.(2023云南昆明一中第9次質(zhì)檢)如圖所示，空聞有半徑為R的圓形勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面，在距圓心O為處有一粒子源，時刻沿紙面內(nèi)的任意方向上均勻發(fā)射出速度大小相同的大量帶電粒子，粒子比荷為k，粒子在磁場中運動的半徑為，則（）A.粒子在圓形磁場區(qū)域中運動的最短時問為B.粒子在圓形磁場區(qū)城中運動的最短時間為C.時刻，出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為D.時刻，出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為【參考答案】AD【名師解析】如圖1所示，當(dāng)粒子的軌跡以AB為弦長時經(jīng)歷的時間最小，由幾何關(guān)系得圓心角為，故粒子在圓形磁場區(qū)域中運動的最短時間為，A正確B錯誤。．因粒子均勻分布于各個方向，故粒子數(shù)之比與角度成正比，如圖2所示，當(dāng)時，由幾何關(guān)系知出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為，故C錯誤，D正確。4..（2023山東滕州質(zhì)檢）8．如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，在磁場邊界上的M點放置一個放射源，能在紙面內(nèi)以速率v向各個方向發(fā)射大量的同種粒子，粒子的電荷量為q、質(zhì)量為m（不計粒子的重力），所有粒子均從某段圓弧邊界射出，其圓弧長度為。下列說法正確的是（）A．粒子進(jìn)入磁場時的速率為B．所有粒子中在磁場中運動的最長時間是C．將磁感應(yīng)強度大小改為時，有粒子射出的邊界弧長變?yōu)镈．若粒子入射速率為時，有粒子射出的邊界弧長變?yōu)椤緟⒖即鸢浮浚瓹【名師解析】．由題意，如圖所示，當(dāng)粒子在磁場中運動轉(zhuǎn)過的圓心角為180°時，其射出點N離M最遠(yuǎn)，此時對應(yīng)磁場區(qū)域的圓心角為120°，則根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子做勻速圓周運動的半徑為

根據(jù)牛頓第二定律有

解得

故A錯誤；粒子在磁場中運動的周期為

當(dāng)粒子的軌跡與磁場區(qū)域內(nèi)切時，其運動時間最長，恰好為1個周期，故B錯誤；將磁感應(yīng)強度大小改為時，粒子運動半徑變?yōu)槿鐖D所示，可知此時磁場區(qū)域所截粒子軌跡弦長最大值為R，所以有粒子射出的邊界弧長變?yōu)楣蔆正確；若粒子入射速率為時，粒子運動半徑變?yōu)槿鐖D所示，可知此時磁場區(qū)域所截粒子軌跡弦長最大值為，所以有粒子射出的邊界弧長變?yōu)楣蔇錯誤。5．(2023廣東重點高中期末)地磁場能有效抵御宇宙射線的侵入，赤道剖面外地磁場可簡化為包圍地球一定厚度的勻強磁場，方向垂直該剖面，如圖所示。圖中給出了速度在圖示平面內(nèi)，從O點沿平行與垂直地面2個不同方向入射的微觀帶電粒子（不計重力）在地磁場中的三條運動軌跡a、b、c，且它們都恰不能到達(dá)地面。則下列相關(guān)說法中正確的是（）A．沿a軌跡運動的粒子帶負(fù)電B．若沿a、c兩軌跡運動的是比荷相同的粒子，則c粒子的速率更大C．某種粒子運動軌跡為a，若它速率不變，只是改變射入地磁場的速度方向，則只要其速度在圖示平面內(nèi)，粒子可能到達(dá)地面D．某種粒子運動軌跡為b，若它以相同的速率在圖示平面內(nèi)沿其他方向入射，則有可能到達(dá)地面【參考答案】．ABD【名師解析】由左手定則可知，沿a軌跡運動的粒子帶負(fù)電，故A正確；由，可得，可知比荷相同時，速率越大，軌跡運動的半徑越大，則c粒子的速率更大，故B正確；沿軌跡a運動的粒子平行于地面射入且恰好不能到達(dá)地面，軌跡a與地面相切，所以沿軌跡a運動的粒子恰好不能到達(dá)地面時在地磁場中的位移為2ra，已達(dá)到最大值，故只要該粒子速率不變，不論沿著什么方向入射都不會到達(dá)地面，故C錯誤；結(jié)合圖像可知，沿軌跡b運動的粒子在磁場中的位移還未達(dá)到2rb時，就已經(jīng)與地面相切，因此改變?nèi)肷浞较?，該粒子有可能到達(dá)地面，故D正確。6.（2022山東聊城二模）如圖所示，某粒子分析器由區(qū)域I、區(qū)域Ⅱ和檢測器Q組成。兩個區(qū)域以垂直x軸的平面P為界，其中區(qū)域I內(nèi)有沿著z軸正方向的勻強磁場和勻強電場，區(qū)域Ⅱ內(nèi)只有沿著z軸正方向的勻強磁場，電場強度大小為E，兩個區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強度大小均為B。當(dāng)粒子撞擊檢測器Q時，檢測器被撞擊的位置會發(fā)光。檢測器中心在軸上，在檢測器所在平面上建立與xOy坐標(biāo)系平行的坐標(biāo)系。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電粒子從A點沿x軸正方向以初速度v0射入，若區(qū)域I內(nèi)只存在勻強磁場，粒子軌跡圓的圓心恰好是O點，平面P到O點的距離，運動過程中粒子所受重力可以忽略不計。（1）求A點的位置，用坐標(biāo)（x，y）表示：（2）若區(qū)域I只有勻強電場E，當(dāng)檢測器Q置于平面P所在位置時，求檢測器上發(fā)光點的位置，用坐標(biāo)（x，y）表示：（3）當(dāng)檢測器距O點的距離為d時，求檢測器上發(fā)光點的位置，用坐標(biāo)（x，y）表示?！緟⒖即鸢浮浚?）；（2）；（3）當(dāng)時坐標(biāo)為，當(dāng)時，坐標(biāo)為【名師解析】（1）由洛倫茲力提供向心力有解得則A點坐標(biāo)為；（2）粒子做類平拋運動，有解得則則發(fā)光點的位置為；（3）①當(dāng)時，粒子的運動可以分解為沿z軸方向初速度為零的勻加速直線運動和xOy平面內(nèi)速度為的勻速圓周運動解得根據(jù)解得則發(fā)光點的位置坐標(biāo)為；②當(dāng)時，在區(qū)域Ⅱ內(nèi)粒子的運動可以分解為沿軸方向的勻速直線運動和平面內(nèi)速度為的勻速圓周運動，剛出區(qū)域Ⅰ時，粒子的坐標(biāo)為，沿軸的速度為粒子在區(qū)域Ⅱ運動的時間根據(jù)幾何關(guān)系可知，打在檢測器上的坐標(biāo)為發(fā)光點的位置為。7．（2023湖北荊州重點高中質(zhì)檢）如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，磁場區(qū)域圓的半徑為R。質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的帶電粒子從圓周上的M點射入磁場。不計重力，求：（1）如果一個帶電粒子沿直徑MON方向射入磁場，速度，該粒子在磁場中運動的時間為多少；（2）如果大量相同的帶電粒子以相同的速率