第4講四邊形（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：平行四邊形角度1：平行四邊形的判定角度2：平行四邊形的性質角度3：平行四邊形的判定與性質綜合角度4：三角形中位線題型二：矩形角度1：矩形的判定角度2：矩形的性質角度3：矩形的判定與性質綜合題型三：菱形角度1：菱形的判定角度2：菱形的性質角度3：菱形的判定與性質綜合題型四：正方形角度1：正方形的判定角度2：正方形的性質角度3：正方形的判定與性質綜合題型五：四邊形綜合角度1：中點四邊形角度2：利用平行四邊形對稱性求陰影面積角度3：平行四邊形中動點問題角度4：四邊形綜合問題題型六：多邊形問題角度1：多邊形內角和角度2：多邊形外角和角度3：多邊形對角線角度4：平面鑲嵌第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準記憶知識點一：平行四邊形定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形記作“，讀作“平行四邊形”.知識點二：平行四邊形的性質1．邊的性質：平行四邊形兩組對邊平行且相等；且；且；2．角的性質：平行四邊形鄰角互補，對角相等；；3．對角線性質：平行四邊形的對角線互相平分；；4．平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心；5.平行四邊形面積等于底和底邊上的高的積知識點三：平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.知識點四：矩形定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，記作：矩形矩形與平行四邊形的關系：矩形是特殊的平行四邊形知識點五：矩形的性質①矩形作為特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質：對邊平行且相等；對角相等，鄰角互補；對角線互相平分②性質1：矩形的四個角都是直角幾何語言：∵四邊形是矩形∴③性質2：矩形對角線相等幾何語言：∵四邊形是矩形∴④矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.知識點六：矩形的判定判定1：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（定義）幾何語言：∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形判定2：有三個角是直角的四邊形是矩形符號語言：在四邊形中，∴四邊形是矩形判定3：對角線相等的平行四邊形是矩形．符號語言：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形．知識點七：菱形定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.知識點八：菱形的性質菱形除了具有平行四邊形的一切性質外，還有一些特殊性質：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.知識點九：菱形判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.知識點十：正方形定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.

知識點十一：正方形性質1、正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質。2、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3、正方形對邊平行且相等。4、正方形的對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；

5、正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；

6、正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.知識點十二：正方形的判定1、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形2、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形3、有一組鄰邊相等的矩形是正方形4、對角線互相垂直的矩形是正方形5、有一個角是直角的菱形是正方形6、對角線相等的菱形是正方形知識點十三：多邊形定義在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．（1）相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．知識點十四：多邊形性質（1）多邊形內角和邊形的內角和為()．內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；（2）多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．①在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關；②正邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；③多邊形的外角和為360°的作用是：已知各相等外角度數求多邊形邊數；已知多邊形邊數求各相等外角的度數．（3）對角線過變形一個頂點可引條對角線，變形共有條對角線知識點十五：正多邊形的性質（1）邊：正邊形的各邊相等（2）內角：正邊形的每個內角都相等，等于（3）外角：正邊形的每個外角都相等，等于（4）對稱軸：正邊有條對稱軸.第二部分：課前自我評估測試1．（2022秋·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，已知，那么的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，，∴，故選B．2．（2022秋·河北保定·八年級?？计谥校┤鐖D，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設內角和的度數與四邊形外角和的度數分別為，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．無法比較與的大小【答案】B【詳解】解：∵多邊形的外角和為，的內角和為，∴，，∴，故選：B．3．（2022春·廣東江門·八年級校聯考期中）下列說法錯誤的是（

）A．菱形的對角線互相垂直且平分 B．矩形的對角線相等C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．四條邊相等的四邊形是菱形【答案】C【詳解】解：A、菱形的對角線互相垂直且平分，說法正確，不符合題意；B、矩形的對角線相等，說法正確，不符合題意；C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，說法錯誤，符合題意；D、四條邊相等的四邊形是菱形，說法正確，不符合題意；故選C．4．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，下列四組條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】解：A．∵，∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；B．∵，∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；C．由，不能判定四邊形是平行四邊形，故該選項符合題意；D．∵，，∴四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；故選：C．5．（2022秋·湖南株洲·九年級?？计谀┫铝姓f法正確的是（）A．有兩條邊和一個角對應相等的兩個三角形全等 B．矩形的對角線互相垂直平分C．菱形的對角線平分一組對角 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【詳解】解：A、有兩條邊和兩邊的夾角對應相等的兩個三角形全等，故選項A不合題意；B、矩形的對角線互相平分且相等，故選項B不合題意；C、菱形的對角線平分一組對角，故選項C符合題意；D、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故選項D不符合題意．故選：C．6．（2022秋·四川瀘州·八年級統考期中）一個多邊形的內角和等于，則它是________邊形．【答案】六【詳解】解∶設這個多邊形的邊數為n，則，解得．故答案為：六．7．（2022秋·四川綿陽·八年級統考期中）一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數比為，則這個正多邊形是__________．【答案】八邊形【詳解】解：∵一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數比為，∴設這個外角是x，則內角是，根據題意得：，解得：，（邊），故答案為：八邊形．8．（2022秋·山西朔州·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則_________．【答案】##240度【詳解】解：四邊形的內角和為，即，，∴，∵剪去后變成五邊形，∴五邊形的內角和為，即，∴，故答案為：．第三部分：典型例題剖析題型一：平行四邊形角度1：平行四邊形的判定典型例題例題1．（2023春·福建廈門·八年級統考期末）如圖，四邊形的對角線，交于點，則添加下列條件，一定可使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（

）A． B．，C．平分 D．，【答案】D【詳解】解：A、由AC=BD無法得出四邊形ABCD是平行四邊形；B、由ABCD，AD=BC無法得出四邊形ABCD是平行四邊形；C、由AC平分BD無法得出四邊形ABCD是平行四邊形；D、∵ADBC，∴∠ADO＝∠CBO，∵AO＝CO，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意，故選：D．例題2．（2022秋·安徽合肥·八年級校聯考階段練習）下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．， B．，C． D．【答案】C【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵，，，，∴，四邊形是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故選項C符合題意；D、，∴，∴四邊形兩組對邊分別平行，四邊形是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：C．例題3．（2022秋·全國·八年級假期作業(yè)）已知、、三點不在同一條直線上，則以這三點為頂點的平行四邊形共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】∵點A、B、C不在同一條直線上時，∴順次連接A、B、C三點可得△ABC，∴分別以AB、BC和AC為對角線各作出一個以點A、B、C為頂點的平行四邊形，如下圖所示：∴當A、B、C三點不在同一條直線上，則以這三點為頂點的平行四邊形共有3個.故選C.例題4．（2022春·天津·八年級天津二中校考期中）如圖,在平行四邊形中,,,、相交于點,則圖中共有__________個平行四邊形.【答案】9【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，EF∥AD,GH∥AB,∴,AD//BC所以是平行四邊形的有：?AEOG、?EOHB、?OFCH、?GDFO；?ADFE、?EFCB、?AGHB、?GDCH；?ABCD；共9個.故答案為:9.例題5．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，在平行四邊形中，點、在對角線上，且，，(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【詳解】（1）證明：在平行四邊形中，、，∴，又∵，，∴，∴；（2）證明：由（1）可得，則，∵，，∴，∴：四邊形是平行四邊形．例題6．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，四邊形是矩形，連接交于點，的平分線交于點．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形∴，∴∵平分，平分∴∴∵在和中∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形【答案】(1)見解析(2)；；；【詳解】（1）解∶如圖，即為所求；（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．故答案為：；；；例題7．（2022秋·重慶·九年級重慶一中?？茧A段練習）如圖，在矩形中，是上一點，連接．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在矩形內部作交于點（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）．(2)在（1）所作的圖形中，求證：四邊形是平行四邊形（請補全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）．（2）證明：∵四邊形為矩形∴，，①∵∴②∴，∴③即④又∵∴四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)，，，【詳解】（1）解：作圖如下：（2）證明：∵四邊形為矩形∴，，，∵，∴，∴，，∴即又∵∴四邊形是平行四邊形．故答案為：，，，例題8．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）在四邊形中，對角線交于點O，，，點是中點，點F是中點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長分別交邊于點、，連接并延長交于點，連接并延長交于點，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖2中所有的平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)，，，（1）證明：∵，點E是中點，點F是中點，∴，∴，∵，∴，∴．（2）圖中的平行四邊形有：，，，，理由如下，∵，，∴四邊形是平行四邊形，由（1）可得，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵DM∥BN，∴四邊形是平行四邊，∵DG∥BH，∴四邊形是平行四邊形，綜上所述，圖中的平行四邊形有：，，，．角度2：平行四邊形的性質典型例題例題1．（2023秋·山東煙臺·八年級統考期末）如圖，的周長為，的周長為，則對角線的長為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵的周長是，∴∴，∵的周長是，∴，∴．故選：C．例題2．（2022春·山東臨沂·八年級?？计谀┤鐖D，是面積為的內任意一點，的面積為，的面積為，則（

）A． B．C． D．的大小與點位置有關【答案】C【詳解】解：如圖，過點P作AD的垂線PF，交AD于F，再延長FP交BC于點E，根據平行四邊形的性質可知PE⊥BC，AD=BC，∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，∴S1+S2=AD×PF+BC×PE=AD×（PE+PE）=AD×EF=S，故選C．例題3．（2022秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習）如圖，中，連接，是上一點，連接并延長交于，交延長線于點，若，則________．【答案】【詳解】解：如圖，過點E作，∴，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，解得：或（舍去），故答案為：例題4．（2022春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學?？计谀┤鐖D，中，，，平分交于點，則的長為________．【答案】2【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BCBE=53=2，故答案為：2．例題5．（2022春·八年級課時練習）如圖，的對角線，相交于點，過點且與，分別相交于點，，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，≌（ASA），．例題6．（2022春·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習）如圖，在平行四邊形中，(1)若點、是、的中點，連接、，求證：；(2)若平分且交邊于點，如果，，試求線段的長．【答案】(1)見解析(2)3（1）證明∶∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AD=BC，∵點E、F是、的中點，∴，∴DE=BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE=DF；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，CD=AB=5，∴∠ADF=∠CFD，∵平分，∴∠ADF=∠CDF，∴∠CFD=∠CDF，∴CF=CD=5，∴BF=BCCF=85=3．例題7．（2023秋·山東煙臺·八年級統考期末）如圖，在中，已知，點在上以的速度從點向點運動，點在上以的速度從點出發(fā)往返運動，兩點同時出發(fā)，當點到達點時停止運動（同時點也停止），設運動時間為（s）．(1)當點運動秒時，線段的長度為________cm；當點運動2秒時，線段的長度為________cm；當點運動5秒時，線段的長度為________cm；(2)若經過秒，以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形．請求出所有的值【答案】(1)；7；5(2)t的值為6或10或12【詳解】（1）當點P運動t秒時，線段的長度為；當點P運動2秒時，線段的長度為；當點P運動5秒時，線段的長度為（2）∵P在上運動，，即，∵以點P、D、Q、B為頂點的平行四邊形，已有，還需滿足，

①當點Q的運動路線是CB時，，由題意得：不合題意

②當點Q的運動路線是CBC時，，由題意得：，解得:；③當點Q的運動路線是CBCB時，由題意得：，解得：④當點Q的運動路線是CBCB–C時，，由題意得:，解得:綜上所述，t的值為6或或,角度3：平行四邊形的判定與性質綜合典型例題例題1．（2022春·貴州黔東南·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，、分別是、的中點，在延長線上，使，，，則四邊形的周長為（

）A．16 B．20 C．18 D．22【答案】A【詳解】解：在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=8，∴BC=10，∵E是BC的中點，∴AE=BE=5，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DEAC，DE=AC=3，∵AF=AC，∴DE=AF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF的周長=2×（3+5）=16．故選A．例題2．（2022春·浙江杭州·八年級校考期末）如圖，在平行四邊形中，已知，，，，分別是線段，的中點，則的長為______．【答案】4【詳解】解：在平行四邊形中，，，，，，故,、分別是線段、的中點，是的中位線，∴，，則的長為：．故答案為：．例題3．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期中）如圖，在平行四邊形中，點，分別在邊，上，且四邊形為正方形．(1)求證：；(2)若平行四邊形的面積為，，直接寫出線段的長為___________．【答案】(1)見解析；(2)3．【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，四邊形是平行四邊形，，，，即；（2）解：平行四邊形的面積為，，四邊形為正方形，，，，，，故答案為：3．例題4．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）如圖，在菱形中，、交于點，，．(1)求證：；(2)不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖中所有的平行四邊形．【答案】(1)見解析；(2)四邊形，四邊形，四邊形，四邊形．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形．∵四邊形是菱形，∴，，，∴四邊形是矩形，∴，∴；（2）解：圖中的平行四邊形：四邊形，四邊形，四邊形，四邊形．例題5．（2022秋·廣東廣州·八年級統考期末）如圖，在四邊形中，點是延長線上一點，過點的直線分別交，，交于點，，，交的延長線于點，且，．(1)若，求證：平分；(2)若，在不添加任何輔助線的條件下，你能找出圖中有幾對三角形全等，分別是哪些？請寫出其中一對三角形全等的理由．【答案】(1)見解析(2)圖中有4對三角形全等，分別為，，，，理由見解析【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即平分；（2）解：圖中有4對三角形全等，分別為，，，，理由如下：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，，∴；∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；綜上所述，圖中有4對三角形全等，分別為，，，．例題6．（2022秋·山東青島·九年級統考期末）如圖在平行四邊形中，為對角線的中點，過點的直線分別交，于點，．(1)求證：；(2)從下列條件中任選一個作為已知條件后，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．①，②．選擇的條件：_________（填寫序號）．（注：如果選擇①，②分別進行解答，按第一個解答計分）【答案】(1)見解析；(2)①，四邊形是矩形，證明見解析．【詳解】（1）解：證明：四邊形為平行四邊形為對角線的中點（）；（2）解：四邊形是矩形選擇的條件：①證明：.四邊形是平行四邊形平行四邊形是矩形選擇的條件：②證明：四邊形是平行四邊形∵平行四邊形是菱形角度4：三角形中位線典型例題例題1．（2022秋·廣東深圳·九年級校聯考期末）如圖，矩形的對角線相交于點，點是的中點，若，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵點E是的中點，∴是的中位線，∵，∴．故選：D例題2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，分別是邊，的中點．若的面積為，則四邊形的面積為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【詳解】解：∵D、E分別為AB、AC的中點，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故選：C．例題3．（2022春·河北保定·八年級統考期末）如圖，，兩點被池塘隔開，在外選一點，連接和．分別取，的中點，，測得，兩點間的距離為30m，則，兩點間的距離為______m，解決問題的依據是_______．【答案】

60

三角形中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．【詳解】解：∵點D，E分別是AC和BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵DE＝30，∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．故答案為：60．例題4．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，點是上一點，，過點作，分別交于點，交于點.(1)求證：；(2)如果，求證：.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵，∴，∴；（2）證明：取中點G，連接，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．例題5．（2022春·八年級課時練習）要測量，兩地的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點，得到線段，，并取，的中點，，連結．只要測出的長，就可以求得，兩地的距離．你認為這個方法正確嗎？請說明理由．【答案】這種說法正確，理由見解析【詳解】這種說法正確，理由如下：連接，，的中點為D，E，是的中位線，，只要測出的長，就可以求得B，C兩地的距離，所以，這個說法是正確的．題型一同類題型歸類練1．（2022秋·浙江溫州·九年級統考期中）如圖，點P是的重心，過點P作交，于D，E，交于點F，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接并延長交于點G，∵的重心點P，∴，∵，∴，，∴，∴，且，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故選：C．2．（2022秋·吉林長春·九年級長春外國語學校?？计谀┮阎c是直線外一點，數學興趣小組的同學用了4種不同的尺規(guī)作圖方法想過點作直線的平行線，根據尺規(guī)作圖痕跡，直線不一定與直線平行的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A．連接，，根據作圖可知，，∴四邊形是平行四邊形，∴，即，故A正確，但不符合題意；B．如圖，根據作圖可知，∴，故B正確，但不符合題意；C．如圖，根據作圖可知，，∴，故C正確，但不符合題意；D．如圖，，根據作圖可知，無法證明，故D錯誤，符合題意；故選：D．3．（2022秋·山東濟寧·八年級濟寧市第十五中學?？茧A段練習）如圖，在平行四邊形中，于E，于F，，平行四邊形的周長為60，則平行四邊形的面積是（

）A．36 B．48 C．63 D．75【答案】C【詳解】解：平行四邊形的周長為60，，設為x，，，解得：，的面積為，故選：C．4．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，平行四邊形中，，，垂足分別是、，，，，則平行四邊形的周長為______．【答案】20【詳解】解：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴的周長為＝，故答案：20．5．（2022秋·山東菏澤·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，D、E分別為、的中點，，過點B作，交的延長線于點F，則四邊形的面積為_____．【答案】【詳解】解：∵D、E分別為、的中點，∴，∵在中，，∴，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，，∴，，∴四邊形的面積為；故答案為：．6．（2022春·湖南湘西·八年級統考期末）如圖，在矩形中，對角線，相交于點，點，分別是，的中點，連接，若，，則的長是______．【答案】【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴由勾股定理得：，∴，，∵點，分別是，的中點，∴是的中位線，∴，故答案為：．7．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學校?？茧A段練習）如圖，平行四邊形中，對角線相交于點，過點的直線分別交于點，若，，，則圖中陰影部分的面積是__________．【答案】【詳解】解：過點A作于G，∵，∴，，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，，又，，，，故答案為：．8．（2022·模擬預測）如圖，中，，，平分交于點，點為的中點，連接，則的周長是______．【答案】8【詳解】解：∵，平分交于點E，∴，又∵D為的中點，∴是的中位線，∴，∴的周長．故答案是8．9．（2022·江蘇揚州·?？级＃┤鐖D，平行四邊形中，點E在上，以為折痕，把向上翻折，點A正好落在邊的點F處，若的周長為6，的周長為，那么的長為_________．【答案】7【詳解】∵向上翻折，點A正好落在邊上，∴，，∵的周長為6，的周長為20，∴，，∴，∴∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴．故答案為：7．題型二：矩形角度1：矩形的判定典型例題例題1．（2022秋·陜西咸陽·九年級統考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點在的延長線上，且，，、相交于點，連接．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【詳解】解：證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形．例題2．（2022秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第一二六中學校聯考期中）如圖，將平行四邊形的邊延長至點，使，連接交于點，連接，若．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴，即，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形．例題3．（2022秋·陜西漢中·九年級統考期末）如圖，的對角線交于點，點在邊的延長線上，連接，且，．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【詳解】證明：∵，∴，又∵，∴，∴，而，∴，又∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形．例題4．（2022春·八年級課時練習）已知：如圖，將矩形紙的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，求邊的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：由折疊得：，，，，，同理，，四邊形是矩形；（2）解：在中，，∴，由折疊得：，，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，．例題5．（2022春·八年級課時練習）已知：如圖，，，在同一條直線上，，分別是與的平分線，，，為垂足．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【詳解】∵，分別是與的平分線，，，即，，，∴四邊形是矩形．例題6．（2022春·八年級課時練習）已知：如圖，在正方形中，是對角線上的一點，，，，分別為垂足，連結，，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，連結．在和中，（正方形的對角線平分一組對角），（正方形的四條邊相等），∴，∴．∵，∴．又∵（正方形的四個角都是直角），∴四邊形是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），∴（矩形的兩條對角線相等），∴．角度2：矩形的性質典型例題例題1．（2022秋·安徽宣城·九年級校聯考階段練習）如圖，在矩形中，于點，設，且，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵四邊形是矩形，∴∴，，，，在中，，設，則，解得：，．故選：A．例題2．（2022秋·山西晉中·九年級?？茧A段練習）如圖，矩形的周長為28cm，對角線，將矩形分成四個小三角形，若四個小三角形的周長和為68cm，的長度為（

）A．10cm B．14cm C．16cm D．無法確定【答案】A【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵矩形被兩條對角線分成四個小三角形的周長的和是68cm，∴，即，∵矩形的周長是28cm，∴，∴，∴，即，故選A．例題3．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期中）如圖，將矩形紙片沿折疊，使點落在對角線上的處．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，由折疊的性質可得：，故選：C．例題4．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市長郡雙語實驗中學?？茧A段練習）如圖，矩形的邊在的邊上，兩點、分別在邊、上，已知cm，cm，cm，那么的面積是_______．【答案】【詳解】解：過A作于H，交于，∵，四邊形是矩形，∴四邊形是矩形，則cm，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，即，解得：（cm），∴（cm），∴；故答案為：．例題5．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期中）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，使點與點重合，則折痕的長為_____．【答案】【詳解】解：設，則，∵沿翻折后點C與點A重合，∴，在中，，即，解得，∴，由翻折的性質得，，∵矩形的對邊，∴，∴，∴，過點E作于H，則四邊形是矩形，∴，，∴，在中，．故答案為：．例題6．（2022秋·湖南常德·九年級統考期中）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)沿邊向點以的速度運動，同時，點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，且當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動．問點運動開始后第幾秒時，的面積等于？【答案】或【詳解】解：∵四邊形是矩形∴設點運動開始后第秒時，的面積等于；由題意得：解得：，答：點運動開始后第秒或秒時，的面積等于．例題7．（2022秋·陜西西安·九年級交大附中分校?？茧A段練習）如圖，已知、是矩形的對角線，過點作，交的延長線于．求證：．【答案】證明見解析【詳解】證明：∵四邊形是矩形，、是矩形的對角線，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．例題8．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期中）如圖，在矩形中，，，點和點分別從點和點同時出發(fā)，點沿折線按點方向向終點運動，點沿線段按方向向終點運動，點和點的運動速度都是每秒1個單位長度，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為（秒）．(1)當點F運動到的中點時，求的長；(2)當的面積是矩形面積的時，請直接寫出t的值；(3)若點不與點和點重合，在點和點的運動過程中，矩形的邊上有一點，且點，，，構成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出線段的長．【答案】(1)0.5(2)t的值為或(3)線段GE的長為或【詳解】（1）解：矩形中，，，．點是的中點，．的運動速度是每秒1個單位長度，當點運動到的中點時秒，點的運動速度是每秒1個單位長度，，；（2）①當點在上時，過點作于點，如圖，由題意得：，則，，，，，，，，的面積，，，．②當點在上時，過點作于點，如圖，由題意得：，則，，，，，，，，．的面積，，解得：或（不合題意，舍去），．綜上，當的面積是矩形面積的時，的值為或；（3）①當點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，此時，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，．，，，．．．；②當點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，此時，，，，，四邊形為平行四邊形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，此時，點與點重合，不合題意，舍去；③當點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，此時，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，．，，，，，；④當點在上，點在上時，四邊形為平行四邊形，如圖，此時，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，（不合題意，舍去），綜上，點，，，構成的四邊形是平行四邊形，線段的長為或．角度3：矩形的判定與性質綜合典型例題例題1．（2022秋·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，已知在矩形中，，為對角線上的一動點，于點，于點接，連接．若，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，連接．∵，∴設，則，∵四邊形為矩形，∴，，，∴，即，解得：（舍去負值），∴，．∵于點E，于點接F，∴四邊形為矩形，∴，∴當最小時，最?。纱咕€段最短可知：當時，最小，即此時為邊上的高，∵，∴，即，解得：．∴最小值為．故選D．例題2．（2022秋·廣東揭陽·九年級統考期中）如圖，在矩形中，，分別是，的中點，若，，則的長是______．【答案】##厘米【詳解】∵四邊形是矩形，，，∴，，，，∴，∵E為的中點，∴，∴，∴，∵F為的中點，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：.例題3．（2022秋·四川成都·九年級校考階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線交于點，點為的中點，于點，點為上一點，連接，且．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，，求矩形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴是的中位線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴，∴平行四邊形為矩形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，由（1）可知，四邊形為矩形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．例題4．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，點是邊的中點，連接，分別過點，作，交于點，連接，交于點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，則的長為___________．【答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）解：證明∶∵，點D是邊的中點，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：如下圖，過點E作于F，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴，故答案為．題型二同類題型歸類練1．（2022秋·山西呂梁·九年級校考期中）如圖，某公司準備在一個等腰直角三角形的綠地上建造一個矩形的休閑書吧，其中點P在上點N，M分別在，上，記，，圖中陰影部分的面積為S，若在一定范圍內變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是（

）A．一次函數關系，一次函數關系 B．二次函數關系，一次函數關系C．二次函數關系，二次函數關系 D．一次函數關系，二次函數關系【答案】D【詳解】解：設為常數，在中，，，為等腰直角三角形，，四邊形PMBN是矩形，，，即，與x成一次函數關系；，與x成二次函數關系．故選D．2．（2022秋·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）如圖，在中，，M為的中點，H為上一點，過點C作，交的延長線于點，若，，則四邊形周長的最小值是（

）A．28 B．26 C．22 D．18【答案】A【詳解】解：，，是的中點，，在和中，，，，，，，四邊形的周長，當最小時，即時四邊形的周長有最小值，，，，四邊形為矩形，，四邊形的周長最小值為，故選：A．3．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市高級中學校考期中）如圖，在長方形中，，，點E是邊上一點，且，點P是邊上一動點，連接，，則下列結論：①；②當時，平分；③連接，周長的最小值為；④當或6或時，為等腰三角形．其中正確的個數有

（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：長方形中，，，，設，則，則，解得x=3，故①正確；長方形，，，由①知，，，，，平分；故②正確，連接，延長到點E，使得，連接，交AD于點P，此時最小，且最小值為的長，根據勾股定理，得，周長的最小值為；故③正確；，時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形，過點E作，垂足為F，長方形中，，，，，四邊形是矩形，，，；當時，為等腰三角形，過點P作，垂足為H，長方形中，，，，四邊形是矩形，，，,，解得；故當或6或時，為等腰三角形．所以④正確，故選D．4．（2022秋·浙江溫州·八年級統考期中）如圖，△ABC中，，AD為BC上的高線，E為AB邊上一點，于點F，交CA的延長線于點G，已知，則AD的長為_______．【答案】3.5【詳解】解：AD為BC邊上的高線，，，，，，，如圖，作于H，則，，∴四邊形是矩形，．故答案為：3.55．（2022秋·吉林長春·九年級長春市解放大路學校?？计谀┤鐖D，在中，，且，，點是斜邊上的一個動點，過點分別作于點，于點，連接，則線段的最小值為______．【答案】【詳解】解：連接AD,∵，且，，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴當時，的值最小，此時，的面積，∴，∴的最小值為；故答案為：．6．（2022秋·陜西寶雞·九年級統考階段練習）如圖，四邊形是平行四邊形，過點作于點，點在邊上，，連接，．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若是的平分線．若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，，四邊形是平行四邊形，，是的平分線，，，，，，．7．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學?？茧A段練習）在矩形中，是對角線于點，于點．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，當時，連接、、、交于點，在不添加任何軸助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形面積的．【答案】(1)見解析(2)、、、【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）由（1）得，，，；∴四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，設，則，∴，，∴，，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵矩形的面積為：，∴．題型三：菱形角度1：菱形的判定典型例題例題1．（2022秋·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．平行四邊形 D．正方形【答案】A【詳解】解：連接，在中，∵∴，同理，又∵在矩形中，，∴，∴四邊形為菱形．故選：A．例題2．（2022秋·山東青島·九年級青島三十九中?？计谀┫铝忻}中，真命題是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形C．對角線相等的四邊形是平行四邊形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】B【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故A為假命題，不符合題意；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B為真命題，符合題意；C、對角線互相平分是四邊形是平行四邊形，故C為假命題，不符合題意；D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故D為假命題，不符合題意；故選：B．例題3．（2022秋·湖北黃石·八年級?？茧A段練習）如圖，，是正方形對角線上的兩點，且，連接，，，，求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【詳解】連接交于點．四邊形是正方形，，，且⊥．，﹣﹣，即．又，四邊形是平行四邊形．又⊥，平行四邊形是菱形；例題4．（2022秋·陜西咸陽·九年級統考期中）如圖，在中，是對角線，且，、分別為邊的中點，連接．求證：四邊形是菱形．【答案】詳見解析【詳解】證明：∵E、F分別為邊的中點，∴，又∵在中，∴，∴四邊形為平行四邊形．∵∴∴為直角三角形，又∵F為邊的中點，∴．又∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形是菱形．例題5．（2022秋·山西晉中·九年級統考期末）如圖，已知平行四邊形中，延長至點，使，連接和．(1)求證：(2)請你給圖中補充適當的條件，使四邊形成為菱形；請結合補充條件證明；【答案】(1)見解析(2)且，見解析【詳解】（1）證明：∵平行四邊形，∴，∴∵∴（2）補充條件為：且，證明：在平行四邊形中，，．∴四邊形是平行四邊形，∵且∴是等邊三角形，∴，又∵．∴∴平行四邊形是菱形．例題6．（2022秋·山東青島·九年級統考期中）如圖，在中，，相交于點，，分別是，的中點．(1)求證：；(2)連接，，已知_______（從以下兩個條件中任選一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．條件①：；條件②：．【答案】(1)見解析(2)選擇條件①，四邊形是矩形；選擇條件②，四邊形是菱形．證明見解析【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，分別是，的中點，，在和中，，，；（2）解：連接、，選擇條件①，四邊形是矩形；證明：四邊形是平行四邊形，，，，分別是，的中點，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是矩形；選擇條件②，四邊形是菱形．證明：四邊形是平行四邊形，，，，分別是，的中點，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，四邊形是菱形．角度2：菱形的性質典型例題例題1．（2022春·海南省直轄縣級單位·八年級統考期末）如圖，在菱形中，是的中點，，交于點，則等于（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【詳解】解：∵E是BC的中點，AE⊥BC，∴AB=AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD平分∠ABC，∴AB=BC=AC，∴∠ABC=60°，∴∠EBF=∠ABC＝30°，∴∠AFD=∠EFB=90°∠EBF=60°故選：C．例題2．（2022秋·廣東深圳·九年級期末）如圖，菱形中，,分別是，的中點．若菱形的周長為32，則線段的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【詳解】解：∵菱形的周長為32，∴，∴，∵E，F分別是，的中點．∴是的中位線，∴，故選：A．例題3．（2022秋·江西九江·九年級統考期末）如圖，在菱形中，交對角線于點，若，，則________．【答案】3【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，在中，，，，故答案為：3．例題4．（2022秋·陜西西安·九年級交大附中分校?？计谀┤鐖D，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，，若菱形的面積為12，則的長為_________．【答案】【詳解】解：，，四邊形是菱形，，，，（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），，，由得，，，，，，故答案為：．例題5．（2022春·山東泰安·八年級?？茧A段練習）如圖，是菱形的對角線的交點，，分別是，的中點．下列結論：①四邊形是菱形；②；③；④是軸對稱圖形．其中正確的結論有______．【答案】①②④【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵E、F分別是OA、OC的中點，∴AE＝EO＝FO＝CF，∴EF＝AC，∵EO＝OF，BO＝DO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形，故①正確；∵S四邊形ABCD＝AC×BD，∴S四邊形ABCD＝EF×BD，故②正確；∵Rt△ADO中，DE是AO的中線，∴∠ADE≠∠EDO，故③錯誤；∵四邊形BEDF是菱形，∴△DEF是等腰三角形，∴△DEF是軸對稱圖形，故④正確；綜上分析可知，正確的結論是①②④．故答案為：①②④．例題6．（2022秋·陜西西安·九年級統考期末）如圖，在菱形中，于點，，，求菱形的邊長．【答案】【詳解】解：∵，設，則，勾股定理得，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，解得，∴，則菱形的邊長為．例題7．（2022秋·陜西榆林·九年級?？计谀┤鐖D，已知四邊形是菱形，且于點，于點．(1)求證：；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明，如下：∵四邊形是菱形，∴，，∵于點，于點，∴，∴，∴．（2）∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面積為：．角度3：菱形的判定與性質綜合典型例題例題1．（2022春·河北保定·八年級統考期末）如圖，在的兩邊上分別截取，使；分別以點、為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；連接．若，四邊形的面積為則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】解：根據作圖方法，可得，∵，∴，∴四邊形是菱形．∵，四邊形的面積為，∴，解得．故選C．例題2．（2022春·四川成都·九年級成都市第二十中學校?？茧A段練習）如圖，已知點是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作，延長線的垂線，垂足分別為點，若，，則的值為______．【答案】【詳解】設交于，如圖：在菱形中，，，，，，，中，，，，中，，，中，，，，，故答案為：．例題3．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期末）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上，用尺規(guī)作出四邊形，具體作法如下：分別作的平分線，分別交于，連接，若，則四邊形的周長是______．【答案】【詳解】解：設交于點，如圖所示，根據作圖可知分別為的角平分線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，∴，在中，，∴菱形的周長為，故答案為：．例題4．（2022秋·山東菏澤·九年級統考期中）已知矩形中，對角線與相交于點．分別過點、作、的平行線交于點．(1)求證：四邊形為菱形．(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，，∴矩形的面積，∵，∴菱形的面積．例題5．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙麓山外國語實驗中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，對角線交于點，分別過點作，的平行線交于點，連接交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵矩形，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由（1）知：四邊形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理，得，∴，∴，答：菱形的面積為．例題6．（2022秋·陜西咸陽·九年級校聯考期中）如圖，在四邊形中，，是的中點，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點作于點F，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，E是的中點，∴，又∵，，∴四邊形是平行四邊形．∴四邊形是菱形；（2）過點A作于點G，∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∵，∴．題型三同類題型歸類練1．（2022春·河北保定·八年級統考期末）如圖，在的兩邊上分別截取，使；分別以點A、B為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接．若，四邊形的面積為則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】解：根據作圖方法，可得，∵，∴，∴四邊形是菱形．∵，四邊形的面積為，∴，解得．故選C．2．（2022春·四川成都·九年級成都市第二十中學校?？茧A段練習）如圖，已知點是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作，延長線的垂線，垂足分別為點，若，，則的值為______．【答案】【詳解】設交于，如圖：在菱形中，，，，，，，中，，，，中，，，中，，，，，故答案為：．3．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期末）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上，用尺規(guī)作出四邊形，具體作法如下：分別作的平分線，分別交于，連接，若，則四邊形的周長是______．【答案】【詳解】解：設交于點，如圖所示，根據作圖可知分別為的角平分線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，∴，在中，，∴菱形的周長為，故答案為：．4．（2022秋·山東菏澤·九年級統考期中）已知矩形中，對角線與相交于點．分別過點、作、的平行線交于點．(1)求證：四邊形為菱形．(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，，∴矩形的面積，∵，∴菱形的面積．5．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙麓山外國語實驗中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，對角線交于點，分別過點作，的平行線交于點，連接交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵矩形，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由（1）知：四邊形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理，得，∴，∴，答：菱形的面積為．6．（2022秋·陜西咸陽·九年級校聯考期中）如圖，在四邊形中，，E是的中點，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點E作于點F，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，E是的中點，∴，又∵，，∴四邊形是平行四邊形．∴四邊形是菱形；（2）過點A作于點G，∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∵，∴．7．（2022春·八年級課時練習）如圖，四邊形和四邊形都是菱形，點E，F在上已知，，求：(1)的度數．(2)的度數．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴；（2）連接，如圖所示：∵四邊形和四邊形都是菱形，，，∴，，∴．8．（2022秋·福建三明·九年級統考期中）如圖，在四邊形中，對角線相交于點，，，點是延長線上一點，連接，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，，∴，∴四邊形是菱形．（2）解：∵，，由（1）知，在中．∵四邊形是菱形，∴，，．∵，∴，∴．題型四：正方形角度1：正方形的判定典型例題例題1．（2022秋·山東青島·八年級統考期末）下列說法錯誤的是（

）A．對角線相等的菱形是正方形B．對角線垂互相平分且垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的平行四邊形是矩形D．對角線垂直且相等的四邊形是正方形【答案】D【詳解】解：A．對角線相等的菱形是正方形，不符合題意；B．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；C．對角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，符合題意；故選：D．例題2．（2022秋·山東濟南·九年級統考期中）如圖，在矩形中，對角線、交于點，添加下列一個條件，能使矩形成為正方形的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：要使矩形成為正方形，可根據正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．添加，能使矩形成為正方形．故選：B．例題3．（2022秋·山東菏澤·九年級統考期中）如圖，在矩形中，點，分別在邊上，，且，與相交于點．求證：矩形為正方形；【答案】見解析【詳解】∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴四邊形是正方形；例題4．（2022秋·山東濟寧·八年級校考期末）如圖，在中，，過點的直線，為邊上一點，過點作，交直線于，垂足為，連接、．(1)求證：；(2)當在中點時，四邊形是什么特殊四邊形？請說明你的理由；(3)若為中點，則當的大小滿足什么條件時，四邊形是正方形？請說明你的理由．【答案】(1)證明見解析(2)四邊形是菱形，證明見解析(3)當時，四邊形是正方形．證明見解析【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．（2）四邊形是菱形．理由如下：由（1）得，，∵，點為的中點∴，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．（3）當時，四邊形是正方形．證明，如下：∵，∴又∵點為的中點∴∴∴又∵四邊形是菱形∴四邊形是正方形．例題5．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在四邊形中，，，，點，分別是，的中點．(1)求證：(2)求證：四邊形是菱形(3)給三角形添加一個條件_________，使得四邊形是正方形，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）證明：由（1），，，四邊形是平行四邊形，，點，分別是，的中點，，，，四邊形是平行四邊形．，點是的中點，，平行四邊形是菱形；（3）解：當時，四邊形是正方形，理由：由（2）知四邊形是菱形，，點是的中點，，即，菱形是正方形．故答案為：.角度2：正方形的性質典型例題例題1．（2022秋·廣東江門·九年級新會陳經綸中學?？计谥校┤鐖D，點是正方形內一點，把繞點旋轉至的位置，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵把繞點旋轉得到，∴，∵四邊形為正方形，∴，故選：A．例題2．（2022秋·河南南陽·八年級?？计谥校┤鐖D為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則（

）A．135° B．125° C．120° D．90°【答案】A【詳解】解：觀察圖形可知：，，又，，，故答案為：例題3．（2022秋·全國·九年級期末）如圖，正方形的邊長為6，點，分別在上，，連接與相交于點，連接，取的中點，連接，則的長為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵點H是的中點，∴，∵，∴，∴．故選：B例題4．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，是的黃金分割點，，以為邊的正方形的面積為，以、為邊的長方形的面積為，則與的關系為（）A． B． C． D．無法判斷【答案】C【詳解】由題意得，．∵C是的黃金分割點，∴，∴，即．故選：C．例題5．（2022秋·河南安陽·九年級統考期中）如圖，在中，，點在線段上，過點作于點，于點F，若四邊形為正方形，，，則陰影部分的面積為________．（提示：線段可看作由繞點順時針旋轉得到）【答案】30【詳解】解：如圖，過點D作交延長線于點H，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴陰影部分的面積．故答案為：30例題6．（2022秋·河南商丘·九年級校聯考階段練習）如圖，四邊形是正方形，、分別在邊上，將分別沿折疊后，重合于的位置，且點恰好在連線上．若正方形邊長為12，線段長為10，則的長為_____．【答案】6或8##8或6【詳解】解：由折疊的性質可得，∵，∴，∵四邊形是正方形且邊長為12，∴，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得或，∴的長為6或8，故答案為：6或8．例題7．（2022春·江蘇泰州·七年級校考階段練習）如圖，邊長為6cm的正方形先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此時陰影部分的面積為________cm2【答案】13.5####【詳解】∵將邊長為6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，∴由平移的性質可得陰影部分是矩形，∵根據題意得：陰影部分的寬為63=3（cm），長為61.5=4.5（cm），∴S陰影部分=3×4.5=13.5（cm2），故答案為13.5cm2．例題8．（2022秋·重慶九龍坡·九年級重慶市楊家坪中學?？计谀┤鐖D，在正方形中，點在上，連接．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點作的垂線，分別與、交于點、；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖形中，求證：．（請補全下面的證明過程）證明：四邊形是正方形，，，，，__________，__________，又，____________________，在和中：（____________________），．．【答案】（1）見解析；（2），，，，已證【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，，又，．在和中，（已證），．故答案為：，，，，已證．角度3：正方形的判定與性質綜合典型例題例題1．（2022秋·福建三明·九年級統考期中）如圖，是我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理構造的圖形，后人稱之為“趙爽弦圖”．該圖形由四個全等的直角三角形拼接而成，若，，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，，則：，∵，，，全等，∴，，∴，同理可得：，∴，又∵，∴，∴四邊形是正方形，則四邊形面積為：，故選：B．例題2．（2022秋·廣東深圳·九年級深圳市寶安中學（集團）?？计谀┤鐖D，點，分別在正方形的邊，上，E為中點，連接，正方形的邊恰好在上，若正方形邊長為7，則正方形面積為__________．【答案】20【詳解】如圖，設，則，，設，，，，由，，，故答案為：20．例題3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┮阎叫蔚倪呴L為8，點為正方形邊上一點，，則線段的長為______．【答案】6或【詳解】解：當點E在邊上時，如圖：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，當點E在邊上時，如圖：∵，，∴．故答案為：6或．例題4．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學校校考二模）如圖，在正方形中，，分別是的中點．若，則的長是____．【答案】1【詳解】連接，因為正方形，，所以，因為E，F分別是的中點，所以．故答案為：1．例題5．（2022秋·全國·九年級期末）如圖，正方形中，，點是對角線上的一點，連接．過點作，交于點，以，為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)求的值；(3)若恰為的中點，求正方形的面積．【答案】(1)見解析；(2)6；(3)．【詳解】（1）證明：如圖，作于M，于N．∵四邊形是正方形，∴，∵于M，于N，∴，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴四邊形是正方形；（2）解：∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵F是中點，∴，∴，∴正方形的面積．例題6．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，已知四邊形為正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作交于點，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)是定值，【詳解】（1）解：如圖所示，過作于點，過作于點，四邊形為正方形，，，，，，四邊形為矩形，，，即，是正方形對角線的點，，在和中，，，

，矩形為正方形．（2）的值為定值，矩形為正方形，，，四邊形是正方形，，，，即，在和中，

，，，，．題型四同類題型歸類練1．（2022春·山東德州·八年級統考期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，CE，DF交于點G，連接AG．下列結論：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④AD=AG．其中正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分別是AB，BC的中點，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；∵∠BCE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＋∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正確；∴∠EGD＝90°，延長CE交DA的延長線于H，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE，∵∠HAE＝∠B，AE＝BE，∠AEH＝∠BEC，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴BC＝AH＝AD，∴AG＝DH＝AD，故④正確；∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE＋∠AGD＝90°，∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF，故③正確；故選：D．2．（2022秋·安徽宿州·九年級校考階段練習）如圖，正方形的邊長為4，點M在上，且，點N是上一動點，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關于直線AC對稱，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，N′即為所求的點，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM＝，故DN+MN的最小值是5．故選：C．3．（2022春·江蘇·九年級專題練習）我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點E在邊BC上，將這個矩形沿直線AE折疊，使點B落在邊AD上的點F處，那么EF與CE的比值等于________．【答案】【詳解】解：根據折疊，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，∴∠BAE＝∠FAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴BA＝BE，∴AB＝BE＝EF＝FA，又∵∠B＝90°，∴四邊形ABEF是正方形，∴EF＝BE＝AB，∵矩形ABCD是黃金矩形，∴＝，∴＝＝，故答案為：．4．（2022·北京海淀·八年級?？计谥校┤鐖D，點E是正方形ABCD內一動點，滿足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，過點D作DF⊥BE交BE的延長線于點F．(1)依題意補全圖形；(2)用等式表示線段EF，DF，BE之間的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)EF=DF+BE（1）解：依題意補全圖形，如圖，（2）線段EF，DF，BE的數量關系為：EF=DF+BE，理由如下：如圖，過點A作AM⊥FD交FD的延長線于點M，∵∠M=∠F=∠AEF=90°，∴四邊形AEFM是矩形，∴∠DAE+∠MAD=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE+∠DAE=90°，AB=AD，∴∠BAE=∠MAD．又∵∠AEB=∠M=90°，∴△AEB≌△AMD（AAS）∴BE=DM，AE=AM，∴矩形AEFM是正方形，∴EF=MF，∵MF=DF+DM，∴EF=DF+BE．5．（2022春·安徽六安·八年級統考期末）已知：在正方形ABCD中，點E、F、G分別在BC、AB和CD上．FG⊥ED，垂足為H．(1)如圖1，點G與點C重合，求證FG=ED；(2)如圖2，點G與點C不重合，延長FG交BC的延長線于點M，若H為FM的中點，求證：AF=CM；(3)在（2）的條件下，若AF=1、BF=2，求BE的長；【答案】(1)見解析(2)見解析(3)（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠FBC=∠EGD=90°，∴∠EGH+∠DGH=90°．∵FG⊥ED，∴∠EDG+∠DGH=90°．∴∠EDG=∠FGB，∴△BGF≌△CDE，∴FG＝ED．（2）如圖2，連接DF，DM，∵FG⊥ED，垂足為H，且H為FM的中點，∴DE垂直平分FM，∴DF＝DM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A=∠DCM=90°，∴△ADF≌△CDM，∴AF＝CM．（3）如圖3，連接EF，由（2）知，DE垂直平分FM，∴EF＝EM．∵AF＝1，BF＝2，∴BC＝AB＝3，CM＝AF＝1，∴BM＝BC＋CM＝4，設BE＝x，則EF＝EM＝4﹣x，在Rt△BEF中，，即，解得，∴BE的長為．6．（2022春·浙江杭州·八年級校聯考期中）已知：如圖，在正方形中，E，F分別是，上的點，，相交于點P，并且．(1)如圖1，判斷和的位置關系？并說明理由；(2)若，，求的長度；(3)如圖2，，，點F在線段上運動時(點F不與C、D重合)，四邊形是否能否成為正方形？請說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)4.8(3)四邊形不能成為正方形，理由見解析（1）解：，理由如下，∵四邊形是正方形，∴，，∴和是，又∵，∴(HL)，∴，在中，，∴，∴，∴，即；（2）解：∵在中，，∴，又∵，∴，∴；（3）解：四邊形不能成為正方形，理由如下．∵DN⊥AE，AE⊥BF，∴∠AND=∠APB=90°，∴∠DAN+∠AND=90°，∵四邊形是正方形，∴，∴∠BAP+∠DAN=90°，∴∠BAP=∠AND，∴(AAS)，∴，∴，又∵點F在線段上運動時(點F不與C、D重合），∴P、E不重合，∴，即四邊形不能成為正方形．題型五：四邊形綜合角度1：中點四邊形典型例題例題1．（2022秋·廣東佛山·九年級校考期中）順次連接正方形四邊中點得到的四邊形是（

）A．正方形 B．菱形 C．平行四邊形 D．矩形【答案】A【詳解】解：如圖，∵，，，分別為，，，的中點，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形．故選：A．例題2．（2022春·河南南陽·八年級統考階段練習）如圖，在矩形中，順次連接矩形四邊的中點得到四邊形若，，則四邊形的周長等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接、，在中，，四邊形是矩形，，、分別是、的中點，，，同理，，，，，四邊形為菱形，四邊形的周長，故選：C．例題3．（2022秋·山東青島·八年級統考期末）如圖所示，順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，使四邊形為正方形，應添加的條件分別是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【詳解】解：使四邊形為正方形，應添加的條件分別是且．理由：∵順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，∴，，，，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是菱形，∵，∴，∵，，∵，∴，∴菱形是正方形．故選：D．例題4．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）如圖，四邊形中，對角線，且，，各邊中點分別為，，，，順次連接得到四邊形；再取各邊中點，，，，順次連接得到四邊形；依此類推，這樣得到四邊形，則四邊形的面積為____．【答案】（或或，只要答案正確即可）【詳解】∵四邊形中，對角線，且，∴∵中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半∴以此類推，角度2：利用平行四邊形對稱性求陰影面積典型例題例題1．（2022秋·陜西渭南·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點，，，依次是邊，，，上的點（不與各頂點重合），且，記四邊形面積為（圖中陰影），則的最大值為_________．【答案】【詳解】解：∵在矩形中，，，，又∵，∴，，∴，，設，∴∴當時，有最大值，故答案為：例題2．（2022秋·九年級單元測試）如圖，點是邊長為2的正方形的對稱中心，過點O作，分別交正方形邊于、、、，則當繞點旋轉時，圖中的陰影部分是否關于點成中心對稱？這兩部分的面積是否改變？請說明理由．【答案】圖中陰影部分關于O點成中心對稱，兩部分的面積不改變．理由見解析【詳解】解：圖中陰影部分關于O點成中心對稱，兩部分的面積不改變．理由：如圖，連接，∵點O是邊長為2的正方形的對稱中心，∴過點O，∴，在和中，∴，，同理可證，∴，∴圖中的陰影部分關于O點成中心對稱，連接，∵點O是正方形的對稱中心，∴，，．∵垂直，∴，∴，即，∴，∴的面積的面積，∴四邊形的面積的面積正方形的面積．同理四邊形的面積正方形的面積．∴兩部分的面積不改變．角度3：平行四邊形中動點問題典型例題例題1．（2022秋·山東東營·八年級東營市東營區(qū)實驗中學?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，，，，點從點出發(fā)以的速度沿運動，點從點出發(fā)的同時點從點出發(fā)，以的速度向點運動，當點到達點時，點也停止運動．設點，運動的時間為．(1)從運動開始，當取何值時，四邊形是平行四邊形