專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較（1）作差法：設(shè)a，bR，則，a<b?a?b<0.（2）作商法：設(shè)a>0，b>0，則a>b?，a<b?.2．不等式的性質(zhì)（1）實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系①a>b?；②；③a<b?.（2）不等式的性質(zhì)①對(duì)稱性：；(雙向性) ②傳遞性：a>b，b>c?；(單向性)③可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性) ④a>b，c>d?；(單向性)⑤可乘性：；(單向性)a>b，c<0?ac<bc；(單向性)⑥a>b>0，c>d>0?；(單向性)⑦乘方法則：；(單向性)⑧開方法則：a>b>0?(nN，n≥2)．(單向性)注意：（1）應(yīng)用傳遞性時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，則等號(hào)無法傳遞.（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號(hào).3．重要結(jié)論（1）a>b，ab>0?. （2）a<0<b?.（3）a>b>0,0<c<d?. （4）0<a<x<b或a<x<b<0?.（5）若a>b>0，m>0，則；(b?m>0)；；(b?m>0)．一、單選題1．已知且則下列不等式一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】B【分析】利用特值排除法可得答案．【解析】當(dāng)時(shí)，則A不成立；當(dāng)時(shí)，CD不成立；故選B2．若且，則下列不等式成立的是A． B．C． D．【試題來源】寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（文）【答案】D【分析】利用，可判定A、B不正確；由時(shí)，可判定D不正確；結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，可判定D正確．【解析】對(duì)于A中，令，此時(shí)滿足，但，所以A項(xiàng)不一定成立；對(duì)于B中，令，此時(shí)滿足，但，所以B項(xiàng)不一定成立；對(duì)于C中，當(dāng)，可得，所以C項(xiàng)不一定成立；對(duì)于D中，因?yàn)?，根?jù)不等式的基本性質(zhì)，可得成立，所以D正確．故選D．3．若，則下列正確的是A． B．C． D．【試題來源】江西省臨川第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一年級(jí)上學(xué)期第一次月考【答案】B【分析】用特殊值：判斷A、D的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B、C的正誤．【解析】A：時(shí)，不成立，錯(cuò)誤；B：由，兩邊同時(shí)減去，有，正確；C：當(dāng)時(shí)，由則，錯(cuò)誤；D：時(shí)，不成立，錯(cuò)誤；故選B4．已知，，則，，的大小關(guān)系是A． B．C． D．【試題來源】河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】A【分析】利用作差法可得出、、的大小關(guān)系．【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，故．故選A．5．已知，，則A． B．C． D．【試題來源】金太陽2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】C【分析】作差，配方后可得結(jié)論．【解析】，則．故選C．6．已知都是實(shí)數(shù)，則下列命題中真命題是A．若，則 B．若，則C．若，則； D．若，則【試題來源】上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)可判斷A，B；當(dāng)時(shí)可判斷C；利用不等式的性質(zhì)可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng)．【解析】對(duì)于A：若，，，則即，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：若，，則即，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：若，，可得，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：若，則，所以，所以即，故選項(xiàng)D正確；故選D．7．已知??，那么下列命題中正確的是A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則【試題來源】上海市奉賢中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)為0時(shí)不成立；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)為負(fù)數(shù)是不成立；對(duì)于選項(xiàng)C，由且可得，所以故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若且說明同號(hào)，當(dāng)為正數(shù)時(shí)不成立．故選C8．如果，，，，那么下列不等式中一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】上海市奉賢中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案．【解析】對(duì)于A：因?yàn)閍、，所以無法確定a和-c的大小，故A不一定正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)B不成立，對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)C不成立，對(duì)于D：由，可得，且，所以恒成立，故D正確．故選D9．已知，，，，則M與N的大小關(guān)系為A． B．C． D．無法確定【試題來源】福建省三明第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】C【分析】利用作差法計(jì)算與的大小關(guān)系，由此判斷出的大小關(guān)系．【解析】因?yàn)?，且，，所以，所以，故選C．10．下列結(jié)論正確的是A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．【試題來源】福建省三明第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】D【分析】利用取特值可判斷ABC，利用作差法及不等式性質(zhì)可判斷D．【解析】對(duì)于A，令，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即，故D正確．故選D．11．設(shè)且則A． B．C． D．【試題來源】寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（理）【答案】C【分析】結(jié)合特殊值，以及函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項(xiàng)．【解析】A．，，故A錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C．函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故C正確；D．當(dāng)，，所以D錯(cuò)誤．故選C12．已知記則與的大小關(guān)系是A． B．C． D．無法確定【試題來源】寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（理）【答案】A【分析】利用作差法比較大小即可.【解析】，，，，，，，故選A．13．設(shè)，則M與N的大小關(guān)系是A． B．C． D．不確定【試題來源】寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（文）【答案】A【分析】利用做差法，即可比較大?。窘馕觥?，所以．故選A14．已知，，若，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．【試題來源】山西省運(yùn)城市教育發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷．【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故ABC錯(cuò)誤；由，得，則，即，故D正確；故選D15．已知，且，則下列不等式一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】金太陽2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】C【分析】用不等式的性質(zhì)判斷，不一定成立的不等式可舉反例說明．【解析】由題意可知，．當(dāng)時(shí)，，，則排除A，B；因?yàn)?，，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，則C一定成立；因?yàn)?，，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，則排除D．故選C．16．若為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是A． B．C． D．【試題來源】江蘇省新實(shí)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】B【分析】通過作差變形，利用不等式的基本性質(zhì)一一判斷．【解析】因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，且，則，，，對(duì)于，，無法判斷正負(fù)情況；對(duì)于，，故，即不等式成立；對(duì)于，，無法判斷正負(fù)情況；對(duì)于，，無法判斷正負(fù)情況．故選B．17．下列命題中，正確的是A．若a>b，c>d，則ac>bd B．若ac>bc，則a<bC．若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D．若，則a<b【試題來源】福建省福州市閩侯縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】D【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，對(duì)選項(xiàng)注逐一判斷正誤即可．【解析】選項(xiàng)A中，若，時(shí)，則成立，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，若，顯然，由不等式性質(zhì)知不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等式不變號(hào)，即．故選D18．若，則下列不等式中不能成立的是A． B．C． D．【試題來源】山東省2021-2022學(xué)年高三10月“山東學(xué)情”聯(lián)考C【答案】B【分析】對(duì)于A，C，D利用不等式的性質(zhì)分析即可，對(duì)于B舉反例即可【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，即，所以A成立；對(duì)于B，若，則，，此時(shí)，所以B不成立；對(duì)于C，因?yàn)?，故，所以，所以C成立；對(duì)于D，若，故，即，則，所以D成立；故選B19．已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）．根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定不成立的有A． B．C． D．【試題來源】廣東省揭陽普寧市華僑中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】C【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)依次討論各選項(xiàng)即可得答案．【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，進(jìn)而得，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，故正確．故選C20．如果，，那么下列不等式中正確的是A． B．C． D．【試題來源】上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)依次判斷即可【解析】由，，可知，所以選項(xiàng)A正確；由，得，無法比較與的大小，所以與無法比較大小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，，無法比較與的大小，所以也不一定成立，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤．故選A二、多選題1．下列命題為假命題的是A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【試題來源】海南省海口市海南昌茂花園學(xué)校2022屆高三上學(xué)期第一次月考【答案】ABC【分析】對(duì)選項(xiàng)A：取即可判斷；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，即可判斷；對(duì)選項(xiàng)C、D，由不等式的性質(zhì)即可判斷．【解析】對(duì)選項(xiàng)A：取，滿足，但，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，由不等式的性質(zhì)有，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由不等式的性質(zhì)有，又，則，故選項(xiàng)D正確；故選ABC．2．設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是A． B．C． D．【試題來源】廣東省揭陽普寧市華僑中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】AD【分析】利用作差法比較大小，得到選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)BC的差的符號(hào)不能確定，所以錯(cuò)誤．【解析】A．，所以該選項(xiàng)正確；B．，因?yàn)?，所以結(jié)果的符號(hào)不能確定，如：所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．的符號(hào)不能確定，如：所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，所以該選項(xiàng)正確．故選AD3．已知，則下列說法正確錯(cuò)誤的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【試題來源】山東省日照市五蓮縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】ABCD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或取特殊值依次討論各選項(xiàng)即可得答案．【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然不等式不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由得同號(hào)，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由得同號(hào)，故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，故，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選ABCD4．若非零實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中不一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考【答案】AC【分析】應(yīng)用特殊值法判斷A、C的正誤，利用不等式的性質(zhì)判斷B、D的正誤．【解析】A：當(dāng)時(shí)，不成立，錯(cuò)誤；B：由知，即，正確；C：當(dāng)時(shí)，不成立，錯(cuò)誤；D：由，則必有，正確．故選AC5．已知，下列命題為真命題的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【試題來源】福建省三明第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】CD【分析】利用作差法可知AD正誤；根據(jù)反例知B錯(cuò)誤；由不等式性質(zhì)知C正確．【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，D正確．故選CD．6．若，，，，則下列不等式成立的是A． B．C． D．【試題來源】海南觀瀾湖雙優(yōu)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】CD【分析】利用不等式的性質(zhì)，和通過取特殊值即可得出．【解析】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，滿足，顯然，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，滿足，顯然，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，故D正確；故選CD7．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則A． B．C． D．【試題來源】金太陽2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【解析】因?yàn)?，，所以，則A正確．因?yàn)?，所以，所以，則B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故，則C正確．因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故，則D正確．故選ACD．8．已知，則下列結(jié)論正確的是A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【試題來源】山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)【答案】CD【分析】利用特殊值代入法排除AB，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷CD，得出結(jié)論．【解析】對(duì)于A，不妨令，，，，盡管滿足，，但顯然不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨令，，顯然滿足，但不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由不等式的性質(zhì)知，若，則，故正確；對(duì)于D，若，則，，故正確．故選CD．9．下列不等式恒成立的是A． B．C． D．【試題來源】吉林省長(zhǎng)春市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】ACD【分析】根據(jù)作差法依次判斷選項(xiàng)即可．【解析】A：，故A成立；B：，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立，故B不恒成立；C：，故C成立；D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D成立．故選ACD10．已知，，，則下列等式不可能成立的是A． B．C． D．【試題來源】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【答案】ABC【分析】根據(jù)題設(shè)條件，應(yīng)用二次函數(shù)、不等式的性質(zhì)及基本不等式判斷各選項(xiàng)的正誤即可．【解析】A：由，則，可得，，故錯(cuò)誤；B：由題設(shè)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為，故錯(cuò)誤；C：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故錯(cuò)誤；D：若，又，解得，顯然滿足條件，故正確．故選ABC．三、填空題1．下列命題中，正確的是____________．①若，，則；②若，則；③若，則；④若，，則；⑤若，，則．【試題來源】上海奉賢區(qū)曙光中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】②③【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解．【解析】對(duì)①，舉反例，取不成立，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，開三次方根不改變大小關(guān)系，故②正確；對(duì)③，是不等式的性質(zhì)，正確；對(duì)④，取不成立，故④錯(cuò)誤；對(duì)⑤，明顯錯(cuò)誤，負(fù)數(shù)越小絕對(duì)值越大，應(yīng)該是，故⑤錯(cuò)誤；故答案為②③2．若，，則m的取值范圍為____________．【試題來源】河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，即可得到結(jié)果．【解析】因?yàn)?，所以，又，，所以，綜上，．故答案為3．已知，，則的取值范圍是____________．【試題來源】廣東省深圳市南山外國(guó)語學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期9月統(tǒng)考【答案】【分析】直接利用同向不等式相加即可．【解析】因?yàn)?，，所以，即的取值范圍是．故答案?．已知，則的取值范圍是____________．【試題來源】云南省峨山彝族自治縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一9月月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可求的取值范圍．【解析】因?yàn)椋?，而，，故，故答案為?．若，則與的大小關(guān)系為____________．【試題來源】吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】【分析】利用差比較法確定兩者的大小關(guān)系．【解析】，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以．故答案為6．已知，，則的大小關(guān)系為____________．【試題來源】新疆皮山縣高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二5月月考（文）【答案】【分析】先比較的大小，由比較其中根號(hào)中的被開方數(shù)大小即得．【解析】，，顯然，因此，所以，又，所以．故答案為．7．已知，，則的取值范圍是____________．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求出的值，再利用不等式的性質(zhì)即可求解．【解析】設(shè)，則，所以，解得，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，即，故答案為?．與的大小關(guān)系為____________．【試題來源】上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試【答案】【分析】運(yùn)用作差法：．再次作差，能夠得到結(jié)果【解析】．．．故答案為9．已知，則的取值范圍是____________．【試題來源】上海市浦東新區(qū)南匯中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用不等式性質(zhì)推理計(jì)算即得．【解析】因，則由，即得，而，則，即，所以的取值范圍是．故答案為10．已知，若，則t的取值范圍是____________．【試題來源】重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期9月第一次定時(shí)訓(xùn)練【答案】．【分析】利用不等式的性質(zhì)即得【解析】因?yàn)椋?，所以，所以即．故答案為?1．已知，，那么與的大小關(guān)系是____________．（用“”號(hào)連接）【試題來源】云南省楚雄師范學(xué)院附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】【分析】利用作差法比較A與B的大小即可得解．【解析】，．故答案為．12．已知，，則的最大值是____________．【試題來源】河南省鄭州市第二高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】【分析】運(yùn)用待定系數(shù)法，設(shè)，進(jìn)而求得，，再由不等式的性質(zhì)，可得所求范圍，即可得出最大值．【解析】設(shè)，由，，解得，．則，所以．所以的最大值是．故答案為．13．已知“，”，令，則的取值范圍是____________．【試題來源】河南省豫西名校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解．【解析】設(shè)，則，所以，即，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以的取值范圍為．故答案為?4．已知?jiǎng)t的取值范圍是____________．【試題來源】寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（理）【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得；【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，故答案?5．已知，，若，則的取值范圍是____________．【試題來源】浙江省桐鄉(xiāng)市茅盾中學(xué)20212022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可求解．【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以的取值范圍是，故答案為?6．若，則、、、中最小的是____________．【試題來源】江西省九江市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（理）【答案】【分析】利用作商法以及不等式的性質(zhì)求解即可．【解析】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，，所以，，即，故答案?7．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立周年，某校為了慶祝建黨周年，組織了一系列活動(dòng)，其中紅歌會(huì)比賽就是其中一項(xiàng)．已知高一年級(jí)選手人數(shù)多于高二年級(jí)選手人數(shù)，高二年級(jí)選手人數(shù)多于高三年級(jí)選手人數(shù)，高三年級(jí)選手人數(shù)多于教師選手人數(shù)，教師選手人數(shù)的倍多于高一年級(jí)選手人數(shù)，則參加紅歌會(huì)的選手至少有____________人．【試題來源】河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】【分析】設(shè)高一年級(jí)選手人數(shù)?高二年級(jí)選手人數(shù)?高三年級(jí)選手人數(shù)?教師選手人數(shù)分別為，根據(jù)條件列不等式求解即可．【解析】設(shè)高一年級(jí)選手人數(shù)?高二年級(jí)選手人數(shù)?高三年級(jí)選手人數(shù)?教師選手人數(shù)分別為，且為正整數(shù)，則，從而，解得故選手至少有人．18．已知均為正實(shí)數(shù)，且，那么的大值為__________．【試題來源】山東濟(jì)南十一校2021屆高三4月診斷聯(lián)考【答案】【分析】本題目主要考察不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，將已知條件進(jìn)行簡(jiǎn)單變形即可【解析】因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，所以由題可得，即，，，三式相加得，所以，所以的最大值為4，故答案為419．若，則下列不等式：①；②；③；④中，正確的不等式序號(hào)有____________．【試題來源】北京海淀區(qū)北京一零一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一10月月考【答案】②③④．【分析】①根據(jù)不等式的性質(zhì)可做出判斷；②③④可通過作差法進(jìn)行判斷．【解析】因?yàn)椋裕僖驗(yàn)?，所以，所以若，則，故錯(cuò)誤；②因?yàn)椋?，所以，故正確；③，因?yàn)?，所以，所以，即，故正確；④，因?yàn)?，所以，所以，即，故正確．故答案為②③④．20．若實(shí)數(shù)滿足，，則的取值范圍為________．【試題來源】2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)舉一反三系列（北師大版2019必修第一冊(cè)）【答案】【分析】設(shè)，解得，，再由不等式的性質(zhì)即可求解．【解析】設(shè)，解得，所以．又，，，所以．故答案為．【名師點(diǎn)睛】本題考查利用不等式的性質(zhì)求取值范圍，變形是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四、雙空題1．若，，則的范圍是___________，的范圍是___________．【試題來源】江蘇省黃埭中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期十月月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求的范圍和的范圍，同向不等式相加即可求得范圍，求的范圍與同向同正不等式相乘即可求的范圍．【解析】因?yàn)?，所以，由可得，所以，由可得，因?yàn)?，所以，所以的范圍是，的范圍是，故答案為；?．若角滿足，則的取值范圍是___________，的取值范圍是___________．【試題來源】【新東方】雙師（56）【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求解．【解析】由，則，，且，所以，，所以的取值范圍是，的取值范圍是．故答案為；3．已知，則的取值范圍是___________，的取值范圍是___________．【試題來源】備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫【答案】【分析】由不等式的性質(zhì)運(yùn)算即可求得結(jié)果．【解析】，即，，，又，，；又，，又，．綜上所述：的取值范圍為；的取值范圍為．故答案為；．4．已知，設(shè)，，則m的取值范圍是___________，n的取值范圍是___________．【試題來源】福建省三明第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)即求．【解析】因?yàn)椋裕?，又，所以，又，所以?/p>