專題1.2集合間的基本關系表示關系自然語言符號語言圖示基本基本關系子集集合A中任意一個元素都是集合B的元素（或）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中（或）相等集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，必記結論：（1）若集合A中含有n個元素，則有個子集，有個非空子集，有個真子集，有個非空真子集．（2）子集關系的傳遞性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解.一、單選題1．設集合，，，，則A． B．C． D．【試題來源】集合與邏輯用語綜合練習（一）-2022屆高三數學一輪復習【答案】B【分析】對于集合，令和，即得解．【解析】，，，，對于集合，當時，，；當時，，．，故選B．2．已知集合，則集合的真子集個數為．A．4 B．8C．15 D．16【試題來源】湖北省武漢市第ー中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】C【分析】首先解一元一次不等式，用列舉法表示出集合，即可求出集合的真子集個數；【解析】因為，解得，所以，即集合中含有4個元素，其真子集有個；故選C3．若，集合，則下列表示中正確的是A． B．C． D．【試題來源】上海市新場中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】A【分析】根據元素與集合、集合與集合之間的關系判斷即可得正確選項．【解析】因為，所以，故選項A正確，選項B不正確；集合之間的關系符號有誤，應為，故選項C不正確；元素與集合之間的關系符號有誤，應為，故選項D不正確；故選A．4．已知集合，號則下列選項正確的是A． B．C． D．【試題來源】重慶市西南大學附屬中學2021-2022學年高一上學期9月第一次定時訓練【答案】B【分析】由題化簡兩集合，即得．【解析】因為，，所以．故選B．5．若集合，，則集合A，B之間的關系為A． B．C． D．A和B互不包含【試題來源】四川外國語大學附屬外國語學校（重慶外國語學校）2021-2022學年高一上學期9月檢測【答案】C【分析】先把兩個集合內元素均乘以9，得到集合，用列舉法得到，即可得到答案．【解析】顯然，故A，B內元素均為的整數倍，不妨兩個集合內素均乘以9，那么，，顯然二者均表示全體奇數，所以，故A=B．故選C6．已知集合，，若，則A．1 B．0或1或3C．0或3 D．1或3【試題來源】貴州省安順市第三高級中學2022屆高三第一次階段測試（理）【答案】C【分析】由題意可得或，求出的值，檢驗是否滿足元素的互異性即可求解．【解析】因為，所以或．①若，則，滿足；②若，則或，當時，，滿足；當時，，集合不滿足元素的互異性，不符合題意；綜上所述：或，故選C．7．已知集合，則集合A的真子集個數為A．32 B．4C．5 D．31【試題來源】福建省南安市柳城中學2020-2021學年高一10月階段測試【答案】D【分析】根據，的約數有1，2，3，4，6，12，從而可求的，即可求得集合A的真子集個數．【解析】因為，且的約數有1，2，3，4，6，12，當時，，則，故不符題意，舍去，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，所以，所以集合A的真子集個數為．故選D．8．在下列選項中，能正確表示集合和關系的是A．A＝B B．A?BC．A?B D．A?B【試題來源】2021-2022學年高一數學舉一反三系列（人教B版2019必修第一冊）【答案】C【分析】先求出集合B，然后利用兩個集合之間的關系進行判斷即可．【解析】由題意，解方程，得或，，又所以A?B，故選C．9．已知集合，，若，則實數a的值是A．1 B．2C． D．1或2【試題來源】廣東省東莞市東莞高級中學2020-2021學年高一上學期第一次月考【答案】D【分析】根據，采用分類討論的方法分別考慮：，結合集合元素的互異性求解出的值．【解析】因為，所以或，當時，，此時，滿足要求；當時，或，若，此時，集合不滿足元素互異性；若，此時，滿足要求，綜上可知，的取值為或，故選D．10．已知集合，或，若，則實數的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】B【分析】根據求解．【解析】因為集合，或，且，所以，故選B11．已知集合，，，，，，若A=B，則a+2b=A．-2 B．2C．1或2 D．1【試題來源】江蘇省南通市海安高級中學2021-2022學年高一上學期期中模擬【答案】D【分析】根據集合相等求得，由此求得．【解析】由于，所以或，沒有符合題意的解．．故選D12．已知函數，若，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】江西省靖安中學2020-2021學年高一上學期第一次月考【答案】D【分析】根據，列出不等式組，從而可得出答案．【解析】因為，所以，解得．故選D．13．已知集合，，且，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】上海市新場中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】B【分析】根據集合的包含關系列不等式，解不等式即可求解．【解析】因為集合，，，所以，解得，故選B．14．已知集合，，那么集合與的關系是A． B．互不包含C． D．【試題來源】上海市向明中學2021-2022學年高一上學期9月月考【答案】A【分析】首先求得集合，由集合間的關系可得結果．【解析】集合，，又集合，．故選A．15．若，則的值為A．-3 B．3C．-12 D．12【試題來源】北京市海淀區(qū)中國人民大學附屬中學2022屆高三10月月考【答案】C【分析】由一元二次方程的根與系數的關系，求得P，q的值，由此可得選項．【解析】因為，所以，解得，所以，故選C．16．下列關系正確的是A． B．C． D．【試題來源】江蘇省南通市如東高級中學2021-2022學年高一上學期10月階段測試一【答案】D【分析】A．錯誤；B．錯誤；C．不相等，所以該選項錯誤；D．正確，．【解析】A．錯誤，因為元素和集合不能相等，所以該選項錯誤；B．錯誤，因為元素和集合之間只能用“”或“”連接，所以該選項錯誤；C．不相等，所以該選項錯誤；D．正確，所以該選項正確．故選D17．已知集合，，則A． B．C． D．P∩Q＝【試題來源】江西省南昌八一中學2021-2022學年高一10月份月考【答案】D【分析】化簡得到集合，，結合為奇數，為偶數，即可求解．【解析】由和，可得集合，，因為為奇數，為偶數，所以．故選D．18．設集合，，且，則實數的取值集合為A． B．C． D．【試題來源】北京市八一學校2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】A【分析】化簡集合，進一步得出答案．【解析】由題得，因為，且，所以實數的取值集合為．故選A．19．集合，則A的子集的個數為A．4 B．3C．2 D．1【試題來源】河南省駐馬店市新蔡縣第一高級中學2021-2022學年高一上學期9月月考【答案】A【分析】根據集合，列舉出其子集求解．【解析】因為集合，所以A的子集是，所以A的子集的個數為4，故選A20．已知集合，則集合A的子集個數為A．2 B．4C．8 D．16【試題來源】廣東省東莞市東莞高級中學2020-2021學年高一上學期第一次月考【答案】D【分析】根據題意，先求出集合A，進而求出集合A的子集個數．【解析】由題意，，則子集個數為．故選D．21．給出下列關系：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數為A． B．C． D．【試題來源】江蘇省南通市海安高級中學2021-2022學年高一上學期期中模擬【答案】B【分析】根據元素與集合的關系、集合與集合的關系、空集的特征進行判斷即可．【解析】對于①，表示實數集，是實數，所以，故①正確；對于②，表示自然數集，，故②錯誤；對于③，表示有理數集，是無理數，所以，故③錯誤；對于④，表示自然數集，，故④錯誤；對于⑤，空集是任何集合的子集，所以正確，故⑤正確．綜上，①⑤正確，②③④錯誤，所以正確的個數為2．故選B22．集合的真子集的個數是A．7 B．3C．4 D．8【試題來源】寧夏銀川一中2022屆高三上學期第二次月考（文）【答案】B【分析】根據真子集個數的計算方法，求得正確選項．【解析】集合有兩個元素，所以真子集個數為．故選B23．若集合，，，則之間的關系是A． B．C． D．【試題來源】湖北省荊門市龍泉中學2020-2021學年高一上學期10月月考【答案】B【分析】分別將集合表示為，和即可得結果．【解析】因為，，顯然，故選B．24．已知集合，，，，，則A． B．C． D．【試題來源】北京海淀區(qū)北京一零一中學2020-2021學年高一10月月考【答案】D【分析】先弄清集合的代表元素，然后化簡集合，根據集合相等的定義進行判斷即可【解析】對于A，因為表示一個表達式組成的集合，而是點組成的集合，所以，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，所以B錯誤，對于C，因為是數集，是點集，所以，所以C錯誤，對于D，因為，，所以，所以D正確，故選D25．已知集合，，則集合，的關系最準確的是A． B．C． D．【試題來源】河南省林州市第一中學2021-2022學年高一上學期開學檢測（實驗班）【答案】B【分析】對比集合的元素，由此確定正確選項．【解析】對于集合，，，對于集合，，，所以．故選B二、多選題1．若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構成“鯨吞”或“蠶食”，則可能的取值為A．0 B．1C． D．-1【試題來源】江蘇省南京外國語學校2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】ACD【分析】由題意，可得或者兩個集合有公共元素，分別討論求解，即可得答案．【解析】如果，則，解得，如果兩個集合有公共元素則，解得，經檢驗符合，或，解得，經檢驗符合．故選ACD．2．給出下列關系，其中正確的選項是A． B．C． D．【試題來源】第1章集合與常用邏輯用語專練1集合-2022屆高三數學一輪復習【答案】BCD【分析】根據元素與集合的關系，空集是任何集合的子集即可判斷各選項的正誤【解析】顯然不是集合的元素，所以A不正確；，所以B正確；，滿足元素與集合的關系，所以C正確；，滿足集合與集合的包含關系，所以D正確；故選BCD．3．已知集合，，若，則可能取值有A． B．C． D．【試題來源】福建省廈門市第六中學2020-2021學年高一10月月考【答案】AB【分析】因為，所以或，分類討論判斷即可求解．【解析】因為，所以或．當（舍），，此時，，符合題意．當，此時，，符合題意．故選AB4．下列表示正確的是A． B．C． D．【試題來源】江蘇省南京航空航天大學附屬中學2020-2021學年高一上學期10月月考【答案】BD【分析】根據元素與集合，集合與集合的關系逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項．【解析】對于A：由元素與集合的關系可知，故選項A錯誤；對于B：因為空集是任何集合的子集，所以，故選項B正確；對于C：由子集的定義可知，則選項C錯誤；對于D：由真子集的定義可知，故選項D正確；故選BD．5．對于集合，下列說法正確的有A． B．C． D．【試題來源】江蘇省宿遷市泗陽縣實驗高級中學2021-2022學年高一上學期第一次質量調研【答案】AD【分析】根據元素與集合，集合與集合的關系判斷可得；【解析】因為為自然數集，為整數集，所以，故A正確；表示點集，故B錯誤；故C錯誤；故D正確；故選AD6．下列四個命題：其中不正確的命題為A．是空集 B．若，則C．集合有兩個元素 D．集合是有限集【試題來源】安徽省淮北市樹人高級中學2020-2021學年高一上學期第一次階段考試【答案】ABCD【分析】根據空集的定義可判斷A；根據元素與集合的關系可判斷B；解方程求出集合中的元素可判斷C；為正整數的倒數時，都有可判斷D，進而可得正確選項．【解析】對于A：含有一個元素，所以不是空集，故選項A不正確；對于B：當時，，則，故選項B不正確；對于C：只有一個元素，故選項C不正確；對于D：表示有理數，包括整數和分數，比如為正整數的倒數時，都有，所以集合是無限集，故選項D不正確；故選ABCD．7．已知集合，，下列命題正確的是A．不存在實數a使得 B．存在實數a使得C．當時， D．存在實數a使得【試題來源】2021-2022學年高一數學上學期新課預學案（人教A版2019必修第一冊）【答案】AD【分析】A．由相等集合判斷；B．由求解判斷；C．由，得到判斷；D．由求解判斷．，【解析】A．由相等集合的概念可得，即，得此方程組無解，故不存在實數使得集合A=B，因此A正確；B．若，則，即，此不等式組無解，因此B錯誤；C．當時，得為空集，不滿足，因此C錯誤；D．若，則，解得，若，則，無解，綜上：，故D正確．故選AD．8．已知集合，，若，則由實數的可能取值為A． B．C． D．【試題來源】吉林省延邊第二中學2020-2021學年高一上學期第一次考試月考【答案】ABD【分析】分和兩種情況討論求出集合B，再根據即可求得實數的可能取值．【解析】當時，，符合題意，當時，，因為，所以或3，故或，綜上，或或．故選ABD．9．已知集合，若，則實數的取值可能為A．0 B．C．1 D．2【試題來源】2021-2022學年高一數學上冊同步課后專練（人版A版必修第一冊）【答案】AB【分析】根據子集的性質，結合一元一次方程解的性質進行求解即可．【解析】因為，，若為空集，則方程無解，解得；若不為空集，則，由解得，所以或，解得或．故選AB.10．已知集合，下列說法正確的是A． B．C． D．含有1的子集個數為4個【試題來源】云南省峨山彝族自治縣第一中學2021-2022學年高一9月月考【答案】CD【分析】根據元素與集合、集合與集合的關系、子集的定義可得正確的選項．【解析】，，且，均不是中元素，故AB錯誤．因為均為自然數，故，故C正確．的含1的子集為，共4個，故D正確．故選CD．11．下列關于空集的說法中，正確的有A． B．C． D．【試題來源】貴州省威寧彝族回族苗族自治縣第四中學2021-2022高一上學期第一次月考【答案】BCD【分析】根據元素與集合之間的關系可判斷A、C選項，根據空集是任何集合的子集可判斷B、D選項．【解析】A：因為用于元素與集合之間，故A錯誤；B：因為空集是任何集合的子集，故B正確；C：因為中的元素是，故C正確；D：因為空集是任何集合的子集，故D正確；故選BCD．12．下列關系式正確的為A． B．C． D．【試題來源】廣東省揭陽普寧市普師高級中學2022屆高三上學期第一次階段考試【答案】ACD【分析】根據任何集合是它本身的子集，即可判斷A；根據集合和空集的定義，即可判斷B；根據元素和集合間的關系，即可判斷C；根據空集是任何集合的子集，即可判斷D，從而得出答案．【解析】對于選項A，由于任何集合是它本身的子集，所以，故A正確；對于選項B，是指元素為0的集合，而表示空集，是指不含任何元素的集合，所以，故B錯誤；對于選項C，是指元素為0的集合，所以，故C正確；對于選項D，由于空集是任何集合的子集，所以，故D正確．故選ACD．13．下列集合的關系，正確的是A． B．C． D．【試題來源】2021-2022學年高一數學上冊同步培優(yōu)訓練系列（蘇教版2019）【答案】ACD【分析】根據元素與集合的關系?集合與集合的關系?空集是任意集合的子集逐項判斷．【解析】A．空集是任意非空集合的真子集，故A正確；C．空集是任意集合的子集，因為是含有一個元素的集合，所以正確；D．空集是空集構成的集合中的元素，滿足屬于關系，故D正確，B中左邊是空集，右邊是含有一個元素的集合，不相等，B不正確；故選ACD．14．已知集合，且，則實數m的值可以為A．1 B．C．2 D．0【試題來源】貴州省六盤水市第四中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】ABD【分析】根據給定條件利用集合包含關系按m值是否為0分類即可得解．【解析】因，，則當時，，符合題意，當時，，于是得或，解得或，所以m的值為1或或0．故選ABD15．下列四個結論中，正確的有①；②；③?；④．A．① B．②C．③ D．④【試題來源】2021-2022學年高一數學上冊同步課后專練（人版A版必修第一冊）【答案】AC【分析】根據空集的定義和性質可得答案．【解析】①空集是自身的子集，正確；0不是空集中的元素，②錯誤；空集是任何非空集合的真子集，③正確；是含一個元素0的集合，不是空集，④錯誤．故選AC．三、填空題1．若集合只有兩個子集，則集合_________．【試題來源】河南省鄭州市第二高級中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】或【分析】集合A只有兩個子集，故A中只有一個元素，即方程只有一個解，然后分類討論，或，分別計算即得解【解析】由題意，集合A只有兩個子集，故A中只有一個元素方程只有一個解；當時，，，滿足題意；當時，；；解得，；或．故答案為或．2．已知集合，若A的子集個數為2個，則實數a＝_________．【試題來源】2021-2022學年高一數學舉一反三系列（人教B版2019必修第一冊）【答案】1或【分析】由題意可知，方程只有一個解，分和討論即可求解【解析】因為集合，且A的子集個數為2個，所以只有一個實數解，當時，即時，即為，解得，滿足條件；當時，即時，只有一個實數根，，解得．所以實數a的值為1或．故答案為1或．3．已知集合若，則實數值為_________．【試題來源】福建省福清西山學校2021-2022學年高一9月月考【答案】或【分析】先根據集合非空求解出的基本范圍，然后根據的取值特點對進行分類討論，最后根據集合相等確定出的值．【解析】因為所以，記，所以，當時，，此時，所以不成立，故無解；當時，，若，則，解得，符合；當時，，若，則，解得或（舍），綜上可知，的值為或，故答案為或．4．已知集合，，若，則實數m的取值構成的集合為_________．【試題來源】上海交通大學附屬中學2021-2022學年高一上學期開學摸底【答案】【分析】先化簡集合M，然后再根據N?M，求出m的值，即可求解．【解析】因為集合，所以集合，因為，，所以，或，或三種情況，當時，可得；當時，因為，所以，所以；當，，所以；所以實數m的取值構成的集合為，故答案為5．設集合，，且，則的值_________．【試題來源】第1章集合與常用邏輯用語專練1集合-2022屆高三數學一輪復習【答案】2【分析】由集合相等，列出式子，求出即可求解【解析】，，，或，解得或，．故答案為2．6．已知集合恰有兩個非空真子集，則實數m的取值范圍是_________．【試題來源】四川外國語大學附屬外國語學校（重慶外國語學校）2021-2022學年高一上學期9月檢測【答案】且【分析】根據真子集個數確定集合中元素個數，再由方程的解的個數得參數范圍．【解析】集合恰有兩個非空真子集，則其有兩個元素，所以，所以且．故答案為且．7．已知非空集合M同時滿足下列條件：①；②若，則，則符合條件的集合M共有_________個．【試題來源】上海市長寧區(qū)第三女子中學2020-2021學年高一上學期期中【答案】15【分析】先求出滿足，且的數對，然后將符合條件的集合M的個數轉化為對應集合的非空子集的個數即可．【解析】滿足，且的數對有，則集合M的個數為集合的非空子集的個數，則符合條件的集合M共有個．故答案為15．8．設集合，，若，則實數_________．【試題來源】上海市浦東新區(qū)南匯中學2020-2021學年高一上學期10月月考【答案】或或【分析】解方程求出集合，再分和兩種情況，結合即可求解．【解析】，當時，，滿足，所以符合題意；當時，若，則或，可得或，綜上所述：實數的值為或或，故答案為或或．9．已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N?M，則實數a的取值集合為_________．【試題來源】廣西桂林市普通高中2021-2022學年高一10月質量檢測【答案】【分析】求出集合中的元素，然后分類討論確定值．【解析】由已知，又中至多一個元素，若，則，若，則，若，則，故答案為．10．若集合有且僅有兩個不同的子集，則實數=_________．【試題來源】上海市嘉定區(qū)上海大學附屬嘉定高級中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】或．【分析】根據集合的子集個數確定出方程解的情況，由此求解出參數值．【解析】因為集合僅有兩個不同子集，所以集合中僅有個元素，當時，，所以，滿足要求；當時，，所以，此時方程解為，即，滿足要求，所以或，故答案為或．11．設，，若集合，則_________．【試題來源】湖北省武漢市第十一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】0【分析】根據集合相等即對應元素相同可知，從而得出，，從而得出，進而計算出．【解析】由題意若，則無意義，故不符合題意，故只能，所以，，，故答案為012．滿足的集合的個數為_________．【試題來源】上海市控江中學2021-2022學年高一上學期九月月考【答案】7【分析】根據集合的基本關系可求出集合A滿足條件的幾種情況．【解析】由題意得是滿足條件的一個集合又所以中元素除了2，4，6外，1，3，5中取一個或兩個元素也滿足條件，有種，故A中元素總的集合個數為種．故答案為713．已知集合，若，則實數的值為_________．【試題來源】黑龍江省齊齊哈爾市鐵鋒區(qū)齊齊哈爾中學2020-2021學年高一上學期期中【答案】0【分析】根據子集的定義求解，注意集合中元素的性質．【解析】由集合的互異性有，，因此有子集的定義必有，得．故答案為0．14．已知，若，則=_________．【試題來源】上海市嘉定區(qū)上海大學附屬嘉定高級中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】2【分析】由題意可得，，從而可求出的值，進而可得答案【解析】因為，所以，則，所以，所以，故答案為215．已知集合