PAGE§1變更的快慢與變更率授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第13頁[自主梳理]一、函數(shù)的平均變更率對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變更率為________．通常我們把自變量的變更x2－x1稱作自變量的變更量，記作________，函數(shù)值的變更f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值的變更量，記作________．這樣，函數(shù)的平均變更率就可以表示為函數(shù)值的變更量與自變量的變更量之比，即____________．二、瞬時變更率對于一般的函數(shù)y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，則函數(shù)的平均變更率是eq\f(Δy,Δx)＝________＝__________.而當(dāng)Δx趨于0時，平均變更率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時變更率．瞬時變更率刻畫的是函數(shù)______________．[雙基自測]1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x由x0變到x0＋Δx時，函數(shù)的變更量Δy為()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s＝2t2，則此質(zhì)點(diǎn)在時間[1,1＋Δt]內(nèi)的平均速度為()A．4＋Δt B．2＋(Δt)2C．4Δt＋1 D．4＋2Δt3．函數(shù)y＝f(x)＝3x2－2x－8在x1＝3處有增量Δx＝0.5，則f(x)從x1到x1＋Δx的平均變更率為________．[自主梳理]一、eq\f(fx2－fx1,x2－x1)ΔxΔyeq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)二、eq\f(fx1－fx0,x1－x0)eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)在一點(diǎn)處變更的快慢[雙基自測]1．D2．Deq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21＋Δt2－2,Δt)＝4＋2Δt.3．17.5Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(3＋Δx)－f(3)＝f(3.5)－f(3)＝8.75，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(8.75,0.5)＝17.5.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第13頁探究一平均變更率問題[例1]求函數(shù)y＝2x2＋5在區(qū)間[2,2＋Δx]上的平均變更率；并計算當(dāng)Δx＝eq\f(1,2)時，平均變更率的值．[解析]因?yàn)棣＝2×(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋2(Δx)2，所以平均變更率為eq\f(Δy,Δx)＝8＋2Δx.當(dāng)Δx＝eq\f(1,2)時，平均變更率的值為8＋2×eq\f(1,2)＝9.求函數(shù)平均變更率的三個步驟第一步，求自變量的增加Δx＝x2－x1；其次步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).1．已知一次函數(shù)y＝kx＋b，求其在區(qū)間[m，n]上的平均變更率．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fn－fm,n－m)＝eq\f(kn＋b－km－b,n－m)＝k，∴函數(shù)y＝kx＋b在區(qū)間[m，n]上的平均變更率為k.探究二求瞬時變更率[例2]質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)＝2t2＋3t做直線運(yùn)動(位移單位：cm，時間單位：s)，求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時的瞬時速度．[解析]當(dāng)t從2s變到(2＋Δt)s時，函數(shù)值從2×22＋3×2變到2(2＋Δt)2＋3(2＋Δt)，函數(shù)值s(t)關(guān)于t的平均變更率為eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(22＋Δt2＋32＋Δt－2×22＋3×2,Δt)＝2Δt＋11(cm/s)．當(dāng)t趨于2s，即Δt趨于0s時，平均速度趨于11cm/s，所以質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時的瞬時速度為11cm/s.1．Δt趨近于0，是指時間間隔Δt越來越小，能取隨意小的時間間隔，但始終不能為零．2．Δt在變更中越趨近于0，Δy與Δx的比值趨近于一個確定的常數(shù)．2．求y＝eq\r(x)在x＝1處的瞬時變更率．解析：Δy＝eq\r(1＋Δx)－1，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1).當(dāng)Δx無限趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)無限趨近于eq\f(1,2)，故函數(shù)在x＝1處的瞬時變更率為eq\f(1,2).對兩“變更率”理解錯誤而致誤[例3]若一物體的運(yùn)動方程如下(位移單位：m；時間單位：s)：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，①,29＋3t－32，0≤t＜3.②))求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0.[解析](1)因?yàn)槲矬w在t∈[3,5]內(nèi)的時間變更量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變更量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度．因?yàn)槲矬w在t＝0旁邊的平均變更率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(29＋30＋Δt－32－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，所以物體在t＝0時的瞬時速度為－18m/s.即物體的初速度v0為－18m/s.[錯因與防范]解答(1)時易出現(xiàn)用t＝5與t＝3時的瞬時速