學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1下列可以作為直線2x－y+1=0的參數(shù)方程的是（)A。(t為參數(shù))B。（t為參數(shù))C。（t為參數(shù)）D。（t為參數(shù)）思路解析：根據(jù)所給的方程可知直線的斜率為2,而所給直線的參數(shù)方程中，A選項(xiàng)的斜率是1,B選項(xiàng)的斜率是-2,C選項(xiàng)的斜率是2,D選項(xiàng)的斜率是,所以只有C符合條件，這里C雖然不是標(biāo)準(zhǔn)式的參數(shù)方程，但是只有C能化成2x—y+1=0.答案：C2已知直線l的斜率為k=—1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(2,—1）,點(diǎn)M在直線上，以 的數(shù)量t為參數(shù),則直線l的參數(shù)方程為_(kāi)____________。思路解析：∵直線的斜率k=-1,∴傾斜角α=.因此得cosα=,sinα=。代入?yún)?shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式即可。答案：（t為參數(shù))3直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(1,5),傾斜角為,且交直線x-y-2=0于M點(diǎn),則｜MM0|=_________.思路解析：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入方程x—y-2=0中得1+t—(5+t)-2=0t=6(-1)。根據(jù)t的幾何意義即得|MM0｜=6(—1）。答案:6（-1）4已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù))，其中實(shí)數(shù)α的范圍是（，π），則直線l的傾斜角是___________。思路解析:首先要根據(jù)α的范圍把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式結(jié)合α的范圍得出直線的傾斜角.答案:-α5已知圓x2+y2=r2及圓內(nèi)一點(diǎn)A（a，b）（a、b不同時(shí)為零），求被A平分的弦所在的直線方程.思路分析：利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的性質(zhì).所以,首先設(shè)出直線的參數(shù)方程，代入圓的方程,可以得到關(guān)于參數(shù)t的二次方程，根據(jù)參數(shù)的性質(zhì)可知,方程兩根的和為0。解：設(shè)所求直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)),①②代入圓的方程x2+y2=r2，整理得t2+2（acosθ+bsinθ）t+a2+b2-r2=0。設(shè)t1、t2為方程兩根,∵A是中點(diǎn)，∴t1+t2=0,即acosθ+bsinθ=0。①×a+②×b，得ax+by＝a2+b2+t(acosθ+bsinθ）＝a2+b2,故所求直線方程是ax+by=a2+b2.6下表是一條直線上的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值:參數(shù)t26橫坐標(biāo)x2-12—0縱坐標(biāo)y5+65+7根據(jù)數(shù)據(jù)，可知直線的參數(shù)方程是_________,轉(zhuǎn)化為普通方程是（一般式)_________,直線被圓(x—2）2+（y-5）2=8截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)________。思路解析:這是一個(gè)由統(tǒng)計(jì)、直線參數(shù)方程和普通方程、圓的知識(shí)組成的一個(gè)綜合問(wèn)題。充分考查了這幾部分知識(shí)的靈活運(yùn)用.首先，根據(jù)統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，觀察分析所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)給出直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)),然后把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程x+y—7=0，而由參數(shù)方程可知直線一定過(guò)點(diǎn)(2,5）,恰好是所給圓的圓心,所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)恰好是圓的直徑，易知直徑長(zhǎng)為.答案：（t為參數(shù))x+y—7=07已知點(diǎn)A（3,0），點(diǎn)B在單位圓x2+y2=1上移動(dòng)時(shí),求∠AOB的平分線與AB的交點(diǎn)的軌跡。思路分析:本題綜合了圓和直線的參數(shù)方程兩者的應(yīng)用，要注意的是當(dāng)點(diǎn)O\,A\，B共線這種特殊情況的討論.解：點(diǎn)B在單位圓上，則可設(shè)B(cosθ，sinθ),∠AOB的平分線與AB的交點(diǎn)為P(x,y）,則分=3,又點(diǎn)P在AB上,由直線的參數(shù)方程得∴()2+（）2=1。整理得(x-）2+y2=.特別地,如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0)，則∠AOB的平分線與AB交于線段AB上任一點(diǎn),P點(diǎn)軌跡為線段BA；如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0)，則∠AOB的平分線與AB交于點(diǎn)O。∴當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，所求軌跡為線段BA;當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(—1,0）時(shí),所求軌跡為點(diǎn)O；當(dāng)點(diǎn)B為單位圓上其他點(diǎn)時(shí),所求軌跡為以(，0)為圓心,以為半徑的圓.綜合·應(yīng)用8給出兩條直線l1和l2,斜率存在且不為0，如果滿足斜率互為相反數(shù),且在y軸上的截距相等，那么直線l1和l2叫做“孿生直線”。（1)現(xiàn)在給出4條直線的參數(shù)方程如下:l1:（t為參數(shù))；l2:(t為參數(shù)）;l3：(t為參數(shù)）;l4:（t為參數(shù)）.其中構(gòu)成“孿生直線”的是__________________.（2)給出由參數(shù)方程表示的直線l1:(t為參數(shù)）,直線l2：(t為參數(shù)），那么,根據(jù)定義,直線l1、直線l2構(gòu)成“孿生直線”的條件是_______________。思路解析：根據(jù)條件,兩條直線構(gòu)成“孿生直線”意味著它的斜率存在不為0，互為相反數(shù)，且在y軸的截距相等，也就是在y軸上交于同一點(diǎn).對(duì)于題（1),首先可以判斷出其斜率分別為—1，1，-1,1，斜率互為相反數(shù)條件很明顯，再判斷在y軸上的截距。令x=0得出相應(yīng)的t值,代入y可得只有直線l1和直線l4在y軸上的截距相等，而其斜率又恰好相反,可以構(gòu)成“孿生直線"。對(duì)于題(2)首先寫(xiě)出相應(yīng)斜率分別是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2,即tanα1+tanα2=0；然后再考慮在y軸上的截距,首先在l1的參數(shù)方程中，令x=x1+tcosα1=0,可得t=,代入得y=y1—x1tanα1.同理可得直線l2在y軸上的截距是y=y2-x2tanα2.由定義中的條件“截距相等”可得y1—x1tanα1=y2-x2tanα2，即y1—y2=x1tanα1-x2tanα2。如果把tanα1=-tanα2代入式子還可以進(jìn)一步得到y(tǒng)1—y2=x1tanα1+x2tanα1，即y1-y2=（x1+x2)tanα1.答案：(1）直線l1和直線l4（2）tanα1+tanα2=0且y1—y2=x1tanα1-x2tanα2〔也可以寫(xiě)出y1—y2=(x1+x2）tanα1〕9已知拋物線方程：y=x2-2x+,過(guò)焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B，且AF∶FB=1∶2。求(1)直線AB的方程;(2)弦AB中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離.思路分析：由題目中的條件可知:利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程來(lái)求解,主要考慮從t的幾何意義來(lái)入手解題.解:（1)由y=x2-2x+，得（x—1）2=y+，∴焦點(diǎn)F（1,0）。可設(shè)直線AB:代入y=x2—2x+，∴t2cos2α-tsinα-=0，由題意AF∶FB=1∶2，∴或=-2,即t1=—t2或t1=-2t2?！唷啵╰1+t2）2=-t1t2或(t1+t2）2·(-2）=t1t2，解得tanα=±.∴AB:y=±(x-1).(2）設(shè)AB中點(diǎn)為M,AB：tm=（t1+t2)=·,∴準(zhǔn)線l：y=—.∴d=ym-（-)=.10過(guò)點(diǎn)M（2,1）的直線l交橢圓C:=1于A、B兩點(diǎn)，使點(diǎn)M是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線方程.思路分析：本題為一直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題,由此類問(wèn)題的一般求解方法：把直線的參數(shù)方程同橢圓的參數(shù)方程聯(lián)立即可,考慮利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義來(lái)解答.解：設(shè)AB方程為（t為參數(shù))，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1\，t2,則t1=-2t2.則由t1+t2=-t2,t1t2=-2t22t1t2=—2（t1+t2)2；聯(lián)立C與l得（4sin2α+cos2α)t2+（18sinα+4cosα）t—8=0。故t1+t2=,t1t2=，∴tanα=—8±=k?！鄉(xiāng)方程為y—1=(-8±）(x—2).11已知AB是半徑為R的圓O的直徑，CN為平行于AB的弦,M為CN的中點(diǎn),求BM、ON交點(diǎn)P的軌跡方程.思路分析：求交點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題，其一般方法是聯(lián)立方程組求解即可.但入手的角度不同，選擇的參數(shù)不一樣，則解題思路及消參方法自然不同。解：建立直角坐標(biāo)系：以AB所在直線為x軸,線段AB中垂線為y軸.(自行作圖)則B(R,0）,設(shè)P（x，y）,∵CN∥AB，∴ym=yn。設(shè)M縱坐標(biāo)為參數(shù)t,則M（0,t），t∈（—R，R),t≠0.則N（，t），由點(diǎn)斜式得lON:y=x,lBM:y=x+t.由于動(dòng)點(diǎn)P是BM、ON的交點(diǎn)，故P的坐標(biāo)同時(shí)滿足以上兩個(gè)直線方程，兩者聯(lián)立消去參數(shù)t得P的軌跡方程為y2=-2R（x—）（0〈x<，—R〈y〈R）.12給出一個(gè)參數(shù)方程（1）如果分別以t，α為參數(shù)，則所給的參數(shù)方程表示的圖象分別是什么？請(qǐng)分別把它們轉(zhuǎn)化為普通方程。(α為參數(shù)時(shí),設(shè)t>0,t為參數(shù)時(shí)，設(shè)α≠)（2)求上述直線截上述曲線所得的弦長(zhǎng).（3)根據(jù)上述求解過(guò)程總結(jié)出一個(gè)結(jié)論,并用基本語(yǔ)句編寫(xiě)一個(gè)算法計(jì)算弦長(zhǎng)。思路分析：本題綜合考查參數(shù)方程，直線與曲線的位置關(guān)系以及算法等基本知識(shí).首先根據(jù)參數(shù)方程的形式知：當(dāng)t為參數(shù)時(shí),參數(shù)方程表示直線，當(dāng)α為參數(shù)表示圓,且直線恰好過(guò)圓的圓心,所以弦長(zhǎng)就是圓的直徑。根據(jù)所給的參數(shù)方程不難得到一般結(jié)論，用算法表示弦長(zhǎng)只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出圓的直徑，所以只需使用順序結(jié)構(gòu)即可。解:(1）以t為參數(shù)時(shí),所給參數(shù)方程表示的圖形是過(guò)點(diǎn)（2，5）且斜率為tanα的直線，化為普通方程是y—5=tanα（x-2）;以t為參數(shù)時(shí),參數(shù)方程表示以(2，5)為圓心,半徑為t的圓，化為普通方程是(x-2)2+（y—5）2=t2.(2)上述直線恰好過(guò)圓的圓心,所以截圓所得弦長(zhǎng)為