第7章

數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1節(jié)

樣本及抽樣分布第2節(jié)

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)第3節(jié)

參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第4節(jié)

假設(shè)檢驗(yàn)

第1節(jié)

樣本及抽樣分布

一、

樣本

1.總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,將研究對(duì)象的全體稱為總體(或母體)；組成總體的每個(gè)元素稱為個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)體，稱為總體的一個(gè)樣本；樣本中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本的容量。

例如，研究某城市人口年齡的構(gòu)成時(shí)，可以把該城市所有居民的年齡看作一個(gè)整體.若該城市有1000萬人口，那么該總體就是由1000萬個(gè)表示年齡的數(shù)字構(gòu)成的，而每一個(gè)人的年齡即是一個(gè)個(gè)體。

總體中所含的個(gè)體數(shù)不一定是個(gè)定值，它可以是很小的有限值，也可以是很大的值,甚至是無限值。

例如，研究棉花的纖維長(zhǎng)度時(shí)，每根棉花的纖維長(zhǎng)度就是一個(gè)個(gè)體,若研究對(duì)象為一個(gè)棉包，則總體中所包含的個(gè)體數(shù)目可視為無窮大。而如果測(cè)量一個(gè)班100名學(xué)生的體重，則總體中所包含的個(gè)體數(shù)目只有有限多個(gè)。

如果從總體X中抽取n個(gè)個(gè)體X1,X2,…,Xn

組成一個(gè)樣本，則記為(X1,X2,…,Xn)，其中Xi(i=1,2,…,n)表示第i次從總體X

中取得的個(gè)體.很明顯，每個(gè)Xi(i=1,2,…,n)都是隨機(jī)變量。所以，稱(X1,X2,…,Xn)為隨機(jī)樣本。對(duì)樣本(X1,X2,…,Xn)的每一次觀察所得到的n

個(gè)數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本觀察值(或樣本值)。

為了研究方便,常常假定樣本滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：

(1)獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn

是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。

(2)代表性：每個(gè)

Xi(i=1,2,…,n)與總體

X

有相同的分布。

具有上述兩個(gè)性質(zhì)的隨機(jī)樣本(X1,X2,…,Xn)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。以后討論的樣本都指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。

2.樣本的聯(lián)合分布

對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(X1,X2,…,Xn)，其聯(lián)合概率分布可以由總體

X

的分布完全確定。若總體

X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為

又若X

具有概率密度f(x)，則(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度為

若

X

的分布律為P{X=xi}=pi，i=1,2,…,則(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布律為

二、

統(tǒng)計(jì)量

從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來看，總體的分布一般是未知的。有時(shí)總體的分布類型已知，但其中包含著未知參數(shù)，如總體

X~N(μ,σ2)中μ，σ2

未知。統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法是進(jìn)行抽樣得到樣本，利用樣本提供的信息對(duì)總體中的未知參數(shù)進(jìn)行推斷，這就是統(tǒng)計(jì)推斷。然而，我們實(shí)際上觀察得到的是樣本值，即一批數(shù)據(jù)，我們對(duì)這批數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，最常用的方法就是構(gòu)造一個(gè)樣本函數(shù)，這種樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。

定義7.1

設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自總體

X

的樣本，g(X1,X2,…,Xn)是(X1,X2,…,Xn)的函數(shù)，若g

中不含任何未知參數(shù)，則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計(jì)量，稱統(tǒng)計(jì)量的概率分布為抽樣分布。

設(shè)(x1,x2,…,xn)是相應(yīng)于樣本(X1,X2,…,Xn)的樣本值，則稱g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值。

定理7.1

設(shè)總體X~N(μ,σ2)，(X1,X2,…,Xn)為來自總體

X

的樣本，則

三、

抽樣分布

1.χ2分布

定義7.2設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn

相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則

的分布稱為自由度為n的χ2

分布，記為χ2~χ2(n)。

2.t分布

定義7.2

設(shè)隨機(jī)變量

X、Y

相互獨(dú)立,且

X~N(0,1),Y~χ2(n),則稱隨機(jī)變量服從自由度為n

的t分布(又稱學(xué)生氏分布)，記作T~t(n)。

t分布的概率密度函數(shù)為

t分布的性質(zhì)如下:

3.F分布

定義7.4

設(shè)隨機(jī)變量

X、Y

相互獨(dú)立，且

X~χ2(m)，Y~χ2(n)，則稱隨機(jī)變量F=服從自由度為(m,n)的F

分布，記作F~F(m,n)。

F

分布的概率密度函數(shù)為

對(duì)于給定的α(0≤α≤1)，稱滿足等式

的點(diǎn)Fα(m,n)為F

分布的α

分位點(diǎn)。

F

分布的性質(zhì)如下：

第2節(jié)

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

二、

矩估計(jì)法

矩估計(jì)法的思想是用樣本矩作為總體矩的估計(jì)。當(dāng)總體

X

的分布類型已知，但含有未知參數(shù)時(shí)，可以用矩估計(jì)法獲得未知參數(shù)的估計(jì)。

設(shè)X

的分布函數(shù)為F(x,θ),θ=θ1,θ2,…,θk

為待估參數(shù)，并設(shè)總體X

的前k

階矩存在，且它們均是θ1,θ2,…,θk

的函數(shù)，則求待估參數(shù)θi(i=1,2,…,k)的矩估計(jì)的步驟如下：

例7.4

設(shè)總體

X

的二階矩存在且未知，(X1,X2,…,Xn)為來自總體的樣本，求μ=E(X)和σ2=D(X)的估計(jì)量。

三、

最大似然估計(jì)法

定義7.6

設(shè)總體X具有概率密度函數(shù)f(x;θ)或分布律函數(shù)

p(x;θ)，θ=θ1,θ2,…,θm

為待估參數(shù)，樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度(或聯(lián)合分布律函數(shù))

稱為似然函數(shù).假定在x1,x2,…,xn

給定的條件下，存在m

維統(tǒng)計(jì)量

圖7.1

2.有效性

圖7.2

3.相合性

定義7.9的直觀含義是：只要樣本容量充分大，作為一個(gè)好的估計(jì)量，它的估計(jì)值應(yīng)以最大的可能性接近于所估參數(shù)的真值。

第3節(jié)

參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

二、

正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)

1.方差已知時(shí),均值的區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體X

是正態(tài)分布,X~N(μ,σ2),且σ2

已知,若(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體

X~N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則一定有

對(duì)于給定的一個(gè)置信水平α，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以查得Zα/2(稱為臨界值)使得

則有

都僅是樣本的函數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量。

2.方差未知時(shí),均值的區(qū)間估計(jì)

由于方差是未知的，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。利用前面講過的抽樣分布來求μ的區(qū)間估計(jì)。前面講過t分布的形狀接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

也是一個(gè)對(duì)稱分布。

由上面的方法，對(duì)于給定的α，可以通過查t分布表,得臨界值tα/2(n-1)，則有

由此得到μ

的1-α

置信區(qū)間為

例7.10某車間生產(chǎn)滾球，已知其直徑

X~N(μ,σ2)，現(xiàn)從某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取出6個(gè)，測(cè)得直徑如下(單位：mm)：

試求滾球直徑

X

的均值μ

的置信概率為95%的置信區(qū)間.

解

因?yàn)?/p>

所以

因此置信區(qū)間為(14.95-0.24,14.95+0.24)，即(14.71,15.19)。

三、

正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)

設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體

X~N(μ,σ2)的樣本，則有

當(dāng)給定α?xí)r，

整理得

可通過查χ2(n-1)表，求得臨界值χα/22(n-1)和χ21-α/2(n-1)，由此可得σ2

的1-α

置信區(qū)間為

從而σ的1-α的置信區(qū)間為

例7.11投資的回收利潤率常用來衡量投資風(fēng)險(xiǎn)。隨機(jī)地調(diào)查了26年的回收利潤率(%)，標(biāo)準(zhǔn)差s=15(%)，設(shè)回收利潤率服從正態(tài)分布，求它的方差的區(qū)間估計(jì)。(取α=0.05)。

解

本題中n=26，s=15,α=0.05，χ20.025(25)=40.646，χ20.975(25)=13.120，則得方差的區(qū)間估計(jì)：

置信下限

置信上限

故方差的95%的區(qū)間估計(jì)是

標(biāo)準(zhǔn)差的95%的區(qū)間估計(jì)是

第4節(jié)

假

設(shè)

檢

驗(yàn)

例7.13某制藥商稱自己有90%的把握能保證他們的藥對(duì)緩解過敏癥狀有效?，F(xiàn)從患有過敏癥的人群中隨機(jī)抽取200人，服藥后，有160人的癥狀得到了緩解，據(jù)此判定制藥商的聲明是否真實(shí)。

由上面的例子可知,假設(shè)檢驗(yàn)是對(duì)總體的分布函數(shù)的形式或分布中的某些參數(shù)作出某種假設(shè)，然后通過抽取樣本，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，對(duì)假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷的過程。

要對(duì)總體作出判斷，常常要先對(duì)所關(guān)心的問題作出某些假定(或是猜測(cè))，這些假定可能是正確的，也可能是不正確的，它們一般是關(guān)于總體分布或其參數(shù)的某些陳述，稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。

一般要同時(shí)提出兩個(gè)對(duì)立的假設(shè)，即原假設(shè)和備擇假設(shè)(與原假設(shè)對(duì)立的假設(shè)稱為備擇假設(shè))，分別記為

H0和

H1。在很多情況下，我們給出一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)僅僅是為了拒絕它。例如，要判斷一枚硬幣是否均勻，一般假設(shè)硬幣是均勻的(在研究這類問題時(shí)，通常是已經(jīng)懷疑該結(jié)論的真實(shí)性)。將檢驗(yàn)硬幣均勻性的原假設(shè)記為

H0:p=0.5(p

為出現(xiàn)正面的概率)。

備擇假設(shè)的選取通常要和實(shí)際問題相符，如上面檢驗(yàn)硬幣均勻性的備擇假設(shè)可以是H1:p≠0.5；當(dāng)我們已經(jīng)肯定是p偏大時(shí)，也可選p>0.5，或其他確定的值。

假設(shè)檢驗(yàn)的基本依據(jù)是“小概率原理”，即概率很小的隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中一般是不會(huì)發(fā)生的。根據(jù)這一原理,先假定原假設(shè)

H0

是正確的,在此假設(shè)下構(gòu)造關(guān)于樣本的小概率

事件A，例如P{A

發(fā)生|

H0

為真}=0.05。

若在一次試驗(yàn)(抽樣)中事件

A

竟然發(fā)生了,就有理由懷疑

H0

的正確性，從而拒絕

H0；反之，若事件A

沒有出現(xiàn)，則可以認(rèn)為假設(shè)

H0

與試驗(yàn)結(jié)果是相容的，即沒有理由懷疑

H0，因此接受原假設(shè)。

二、

兩類錯(cuò)誤

在根據(jù)樣本作推斷時(shí)，由于樣本的隨機(jī)性，難免會(huì)作出錯(cuò)誤的決定。當(dāng)原假設(shè)

H0

為真時(shí)，而作出拒絕

H0

的判斷，稱為犯第一類錯(cuò)誤；當(dāng)原假設(shè)

H0

不真時(shí)，而作出接受

H0

的判斷，稱為犯第二類錯(cuò)誤?？刂品傅谝活愬e(cuò)誤的概率不大于一個(gè)較小的數(shù)α(0<α<1)，α

稱為檢驗(yàn)的顯著性水平。

假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下：

(1)根據(jù)實(shí)際問題的要求，提出相應(yīng)的原假設(shè)

H0和備擇假設(shè)

H1；

(2)給定顯著性水平α,通常α

取0.1、0.05或0.01等；

(3)根據(jù)已知條件和統(tǒng)計(jì)假設(shè)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并在原假設(shè)成立的條件下確定其分布；

(4)根據(jù)給定的α

和統(tǒng)計(jì)量所服從的分布，查分位點(diǎn)值，確定原假設(shè)的拒絕域；

(5)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，根據(jù)其是否落在拒絕域中作出拒絕還是接受原假設(shè)的判斷。

三、

檢驗(yàn)法

1.正態(tài)總體方差σ2

已知時(shí)，均值μ

的假設(shè)檢驗(yàn)

1)雙側(cè)檢驗(yàn)

形如

H0:μ=μ0,H1μ≠μ0

的假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙側(cè)檢驗(yàn)。

(1)原假設(shè)

H0:θ=θ0，備擇假設(shè)

H1:θ≠θ0，其中θ0

為某一常數(shù)；

(2)原假設(shè)H0:θ1=θ2,備擇假設(shè)

H1:θ1≠θ2,其中θ1、θ2

分別為兩互相獨(dú)立的總體X

與Y

的參數(shù)。

例7.14某工廠制成一種新的釣魚繩，聲稱其折斷平均受力為15kg。已知標(biāo)準(zhǔn)差為0.5kg，為檢驗(yàn)15kg這個(gè)數(shù)字是否真實(shí)，在該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得其折斷平均受力是14.8kg.若取顯著性水平α=0.01，問：是否應(yīng)接受廠方聲稱為15kg這個(gè)數(shù)字?(假定折斷拉力

X~N(μ,σ2))

2)單側(cè)檢驗(yàn)

形如

H0:N≥N0(或

N≤N0)，H1:N<N0(或

N>N0)的檢驗(yàn)稱為單側(cè)檢驗(yàn)。

(1)原假設(shè)

H0:θ≥θ0(或θ≤θ0)，備擇假設(shè)

H1:θ<θ0(或θ>θ0)，其中為總體

X

的未知參數(shù)，θ0

為一常數(shù)；

(2)原假設(shè)

H0:θ1≥θ2(或θ1≤θ2)，備擇假設(shè)

H1:θ1<θ2(或θ1>θ2)，其中θ1,θ2

為互相獨(dú)立的總體

X

與Y

的未知參數(shù)。

同理可有相反的情形，即

H0:μ≥μ0，H1:μ<μ0，此時(shí)的拒絕域?yàn)椋?/p>

此外，根據(jù)實(shí)際問題，也有不同的假設(shè)，如：

例7.15

有批木材，其小頭直徑服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為2.6cm，按規(guī)格要求，小頭直徑平均值要在12cm以上才能算一等品?，F(xiàn)在從中隨機(jī)抽取100根，測(cè)得小頭直徑平均值為12.8cm，問：在α=0.05的水平下，能否認(rèn)為該批木材屬于一等品?

2.正態(tài)總體方差σ