PAGE3．1回來分析的基本思想及其初步應用內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.能知道用回來分析處理兩個變量之間的不確定關系的統(tǒng)計方法．2.會利用散點圖分析兩個變量是否存在相關關系，會用殘差及R2來刻畫線性回來模型的擬合效果．3.能記住建立回來模型的方法和步驟；能知道如何利用線性回來模型求非線性回來模型.利用數(shù)據(jù)分析提升數(shù)學建模及數(shù)學運算授課提示：對應學生用書第51頁[基礎相識]學問點一線性回來模型eq\a\vs4\al(預習教材P80－84，思索并完成以下問題)“名師出高徒”這句諺語的意思是什么？出名氣的老師就肯定能教出厲害的學生嗎？這兩者之間是否有關？某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345請問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關關系？y關于x的線性回來方程是什么？提示：畫出散點圖，由圖可知，樣本點散布在一條直線旁邊，因此可用回來直線表示變量之間的相關關系．設所求的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(10,20)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0.4.所以年推銷金額y關于工作年限x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x＋0.4.學問梳理1.概念：回來分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．2．步驟：畫散點圖→求回來方程→用回來方程進行預報．3．在線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的中心，回來直線過樣本點的中心．4．線性回來模型y＝bx＋a＋e，其中e稱為隨機誤差，自變量x稱為說明變量，因變量y稱為預報變量．學問點二刻畫回來效果的方式eq\a\vs4\al(預習教材P84－88，思索并完成以下問題)(1)具有相關關系的兩個變量的回來方程是唯一的嗎？(2)預報變量eq\o(y,\s\up6(^))與真實值y一樣嗎？(3)預報值eq\o(y,\s\up6(^))與真實值y之間誤差大了好還是小了好？提示：(1)不肯定．(2)不一樣．(3)越小越好．學問梳理1.殘差平方和法(1)eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))(i＝1,2，…，n)稱為相應于點(xi，yi)的殘差．(2)殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．2．殘差圖法殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回來方程的預報精度越高．3．利用相關指數(shù)R2刻畫回來效果其計算公式為：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)，其幾何意義：R2越接近于1，表示回來的效果越好．學問點三建立回來模型的基本步驟學問梳理確定探討對象，明確哪個變量是說明變量，哪個變量是預報變量．畫出說明變量和預報變量的散點圖，視察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)．由閱歷確定回來方程的類型(如視察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回來方程)．按肯定規(guī)則(如最小二乘法)估計回來方程中的參數(shù)．得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異樣(如個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等)．若存在異樣，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．[自我檢測]1．推斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)殘差平方和越小，線性回來模型的擬合效果越好．()(2)在畫兩個變量的散點圖時，預報變量在x軸上，說明變量在y軸上．()(3)R2越小，線性回來模型的擬合效果越好．()答案：(1)√(2)×(3)×2．假如記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么y關于x的線性回來直線必過點()A．(2,2) B．(1.5,2)C．(1,2) D．(1.5,4)答案：D3．從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系稱為________．答案：正相關授課提示：對應學生用書第52頁探究一求線性回來方程[閱讀教材P81例1]從某高校中隨機選取8名女高校生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表所示.編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求依據(jù)女高校生的身高預報體重的回來方程，并預報一名身高為172cm的女高校生的體重．題型：求線性回來方程方法步驟：(1)畫出散點圖．(2)確定身高和體重有很好的線性相關關系．(3)由eq\o(b,\s\up6(^))和eq\o(a,\s\up6(^))的計算公式得出回來直線方程．(4)由所給x的值進行預報y的值．[例1]某商場經(jīng)營一批進價是30元/件的小商品，在市場試驗中發(fā)覺，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺之間有如下關系：x35404550y56412811(1)y與x是否具有線性相關關系？假如具有線性相關關系，求出回來直線方程．(方程的斜率精確到1)(2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，依據(jù)(1)寫出P關于x的函數(shù)關系式，并預報當銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．[解析](1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線旁邊，因此兩個變量線性相關．設回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由題知eq\x\to(x)＝42.5，eq\x\to(y)＝34，則求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)2)≈－3.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)≈34－(－3)×42.5＝161.5.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－3x＋161.5.(2)依題意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(251.5,6)))2＋eq\f(251.52,12)－4845.∴當x＝eq\f(251.5,6)≈42時，P有最大值，約為426.故預報當銷售單價為42元時，才能獲得最大日銷售利潤．方法技巧1.求線性回來方程的基本步驟(1)列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關關系．(2)計算：eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代入公式求出eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中參數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的值．(4)寫出線性回來方程并對實際問題作出估計．2．需特殊留意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回來方程才有實際意義，否則求出的回來方程毫無意義．跟蹤探究1.某探討機構(gòu)對高三學生的記憶力x和推斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請依據(jù)上表供應的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)試依據(jù)求出的線性回來方程，預料記憶力為9的同學的推斷力．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(相關公式：\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－))))解析：(1)如圖：(2)eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝4－0.7×9＝－2.3，故線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x－2.3.(3)由(2)中線性回來方程可知，當x＝9時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×9－2.3＝4，預料記憶力為9的同學的推斷力約為4.探究二線性回來分析[閱讀教材P84思索]如何發(fā)覺數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量模型的擬合效果？以例1中的女高校生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)進行分析．題型：推斷模型的擬合效果方法步驟：(1)求出殘差，并畫出殘差圖進行分析．(2)求出殘差平方和進行分析．(3)求出R2進行分析．[例2]已知某種商品的價格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y對x的回來直線方程，并說明回來模型擬合效果的好壞．[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，eq\o(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回來直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.列出殘差表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i00.3－0.4－0.10.2yi－eq\o(y,\s\up6(－))4.62.6－0.4－2.4－4.4所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)≈0.994，所以回來模型的擬合效果很好．方法技巧1.解答線性回來問題，應通過散點圖來分析兩變量間的關系是否線性相關，然后再利用求回來方程的公式求解回來方程，并利用殘差圖或相關指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎上，借助回來方程對實際問題進行分析．2．刻畫回來效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(2)殘差平方和法：殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．(3)相關指數(shù)法：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)越接近1，表明回來的效果越好．跟蹤探究2.關于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070有如下的兩個線性模型：(1)eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5；(2)eq\o(y,\s\up6(^))＝7x＋17.試比較哪一個擬合效果更好．解析：由(1)可得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i與yi－eq\o(y,\s\up6(－))的關系如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－0.5－3.510－6.50.5yi－eq\o(y,\s\up6(－))－20－1010020∴eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.∴Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－eq\f(155,1000)＝0.845.由(2)可得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i與yi－eq\o(y,\s\up6(－))的關系如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－1－58－9－3yi－eq\o(y,\s\up6(－))－20－1010020∴eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.∴Req\o\al(2,2)＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－eq\f(180,1000)＝0.82.由于Req\o\al(2,1)＝0.845，Req\o\al(2,2)＝0.82,0.845＞0.82，∴Req\o\al(2,1)＞Req\o\al(2,2).∴(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果．探究三非線性回來模型[閱讀教材P86例2]一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關．現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立y關于x的回來方程.溫度x/℃21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325題型：非線性回來模型方法步驟：(1)畫出散點圖(2)寫出非線性回來方程：y＝c1ec2x.(3)通過某種變換令z＝lny，得出線性回來直線z＝bx＋a.(4)用線性回來方程來建立y與x間的非線性回來方程．[例3]某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚費，需了解年宣揚費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣揚費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(w,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)依據(jù)散點圖推斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個相宜作為年銷售量y關于年宣揚費x的回來方程類型？(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回來方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x，依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣揚費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣揚費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).[解析](1)由散點圖可以推斷，y＝c＋deq\r(x)相宜作為年銷售量y關于年宣揚費x的回來方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回來方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\o(w,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,8,)wi－\o(w,\s\up6(－))2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(d,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6，所以y關于w的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關于x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當x＝49時，年銷售量y的預報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②依據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣揚費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．方法技巧求非線性回來方程的步驟(1)確定變量，作出散點圖．(2)依據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過變量置換把非線性回來問題轉(zhuǎn)化為線性回來問題，并求出線性回來方程．(4)分析擬合效果：通過計算相關指數(shù)或畫殘差圖來推斷擬合效果．(5)依據(jù)相應的變換，寫出非線性回來方程．跟蹤探究3.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回來方程．解析：由數(shù)值表可作散點圖如圖，依據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關系，設eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則eq\o(y,\s\up6(^))＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點圖如下：由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關關系，列表如下：itiyitiyiteq\o\al(2,i)1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.3125所以eq\o(t,\s\up6(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up6(－))＝7.2.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\o(t,\s\up6(－))2)≈4.1344，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))≈0.8.所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4.1344t＋0.8.所以y與x之間的回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.授課提示：對應學生用書第54頁[課后小結(jié)]回來分析的步驟：①確定探討對象，明確哪個變量是說明變量，哪個變量是預報變量；②畫出確定好的說明變量和預報變