PAGE8-圓周運動(1)向心力、向心加速度的理解；(2)豎直平面內(nèi)圓周運動的問題分析；(3)斜面、懸繩彈力的水平分力供應向心力的實例分析問題；(4)離心現(xiàn)象等。例1如圖，一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10m，該同學和秋千踏板的總質(zhì)量約為50kg。繩的質(zhì)量忽視不計，當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為8m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為（）A.200NB.400NC.600ND.800N【答案】B【解析】在最低點由2T－mg＝meq\f(v2,r)，知T＝410N，即每根繩子拉力約為410N，故選B?！军c睛】本題考查豎直面內(nèi)圓周運動的輕“繩”模型，要明確秋千運動到最低點時所受合力不為零，且合力方向豎直向上。1．如圖所示為學員駕駛汽車在水平面上繞O點做勻速圓周運動的俯視示意圖。已知質(zhì)量為60kg的學員在A點位置，質(zhì)量為70kg的教練員在B點位置，A點的轉(zhuǎn)彎半徑為5.0m，B點的轉(zhuǎn)彎半徑為4.0m，學員和教練員(均可視為質(zhì)點)()A．運動周期之比為5∶4B．運動線速度大小之比為1∶1C．向心加速度大小之比為4∶5D．受到的合力大小之比為15∶14【答案】D【解析】A、B兩點做圓周運動的角速度相等，依據(jù)T＝eq\f(2π,ω)知，周期相等，故A項錯誤；依據(jù)v＝rω知，半徑之比為5∶4，則線速度之比為5∶4，故B項錯誤；依據(jù)a＝rω2知，半徑之比為5∶4，則向心加速度大小之比為5∶4，故C項錯誤；依據(jù)F＝ma知，向心加速度大小之比為5∶4，質(zhì)量之比為6∶7，則合力大小之比為15∶14，故D項正確。2．如圖所示，運動員以速度v在傾角為θ的傾斜賽道上做勻速圓周運動。已知運動員及自行車的總質(zhì)量為m，做圓周運動的半徑為r，重力加速度為g，將運動員和自行車看作一個整體，則()A．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用B．受到的合力大小F＝meq\f(v2,r)C．若運動員加速，則肯定沿傾斜賽道上滑D．若運動員減速，則肯定沿傾斜賽道下滑【答案】B【解析】將運動員和自行車看作一個整體，受到重力、支持力、摩擦力作用，向心力是依據(jù)力的作用效果命名的力，不是物體受到的力，故A錯誤；運動員騎自行車在傾斜賽道上做勻速圓周運動，合力指向圓心，供應勻速圓周運動須要的向心力，所以F＝meq\f(v2,r)，故B正確；若運動員加速，由向上運動的趨勢，但不肯定沿斜面上滑，故C錯誤；若運動員減速，有沿斜面對下運動的趨勢，但不肯定沿斜面下滑，故D錯誤。3．如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大小為()A．eq\r(3)mgB．eq\f(4,3)eq\r(3)mgC．3mgD．2eq\r(3)mg【答案】A【解析】設小球在豎直面內(nèi)做圓周運動的半徑為r，小球運動到最高點時輕繩與圓周運動軌道平面的夾角為θ＝30°，則有r＝Lcosθ＝eq\f(\r(3),2)L。依據(jù)題述小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，有mg＝eq\f(mv2,r)；小球在最高點速率為2v時，設每根繩的拉力大小為F，則有2Fcosθ＋mg＝eq\f(m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2v))2,r)，聯(lián)立解得F＝eq\r(3)mg，A項正確。4．如圖所示，在粗糙水平面上靜止放有一個半圓球，將一個很小的物塊放在粗糙程度到處相同的球面上，用始終沿球面的力F拉著小物塊從A點沿球面勻速率運動到最高點B，半圓球始終靜止。對于該過程下列說法正確的是()A．小物塊所受合力始終為0B．半圓球?qū)π∥飰K的支持力始終增大，摩擦力也始終增大C．F大小始終不變D．半圓球?qū)Φ孛娴哪Σ亮κ冀K向右【答案】B【解析】小物塊做勻速圓周運動，所以所受合外力不為0，故A錯誤；假設小物塊與圓心連線與水平方向的夾角為θ，當小物塊沿圓弧上滑時，依據(jù)牛頓其次定律則有mgsinθ－FN＝meq\f(v2,r)，由于f＝μFN，可知θ增大，支持力增大，則滑動摩擦力也增大，故B正確；依據(jù)題意則有F＝mgcosθ＋μFN＝mgcosθ＋μmgsinθ－μmeq\f(v2,r)，對cosθ＋μsinθ分析可知θ從0增大到90°，F(xiàn)先增大后減小，故C錯誤；對半圓球進行受力分析可知半圓球所受摩擦力向右，所以半圓球?qū)Φ孛娴哪Σ亮κ冀K向左，故D錯誤。5．(多選)如圖所示為用絞車拖物塊的示意圖。拴接物塊的細線被纏繞在輪軸上，輪軸逆時針轉(zhuǎn)動從而拖動物塊。已知輪軸的半徑R＝0.5m，細線始終保持水平；被拖動物塊質(zhì)量m＝1kg，與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5；輪軸的角速度隨時間改變的關系是ω＝kt，k＝2rad/s2，g取10m/s2，以下推斷正確的是()A．物塊做勻速運動B．細線對物塊的拉力是5NC．細線對物塊的拉力是6ND．物塊做勻加速直線運動，加速度大小是1m/s2【答案】CD【解析】由題意知，物塊的速度v＝ωR＝2t×0.5＝1t，又v＝at，故可得a＝1m/s2，所以物塊做勻加速直線運動，加速度大小是1m/s2。故A錯誤，D正確；由牛頓其次定律可得物塊所受合外力F＝ma＝1N，F(xiàn)＝T－f，地面摩擦阻力f＝μmg＝0.5×1×10N＝5N，故可得物塊受細線拉力T＝f＋F＝5N＋1N＝6N，故B錯誤，C正確。6．(多選)如圖所示，放于豎直面內(nèi)的光滑金屬細圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時有一長為R的細繩一端系于球上，另一端系于圓環(huán)最低點，繩能承受的最大拉力為2mg。重力加速度的大小為g，當圓環(huán)以角速度ω繞豎直直徑轉(zhuǎn)動時，下列說法中正確的是()A．圓環(huán)角速度ω小于時，小球受到2個力的作用B．圓環(huán)角速度ω等于時，細繩恰好伸直C．圓環(huán)角速度ω等于時，細繩將斷裂D．圓環(huán)角速度ω大于時，小球受到2個力的作用【答案】ABD【解析】設角速度ω在0～ω1范圍時繩處于松弛狀態(tài)，球受到重力與環(huán)的彈力兩個力的作用，彈力與豎直方向夾角為θ，則有mgtan

θ＝mRsin

θ·ω2，即，當繩恰好伸直時有θ＝60°，對應，故A、B正確；設在ω1＜ω＜ω2時繩中有張力且小于2mg，此時有FNcos

60°＝mg＋FTcos

60°，F(xiàn)Nsin

60°＋FTsin

60°＝mω2Rsin

60°，當FT取最大值2mg時代入可得，即當時繩將斷裂，小球又只受到重力、環(huán)的彈力兩個力的作用，故C錯誤，D正確。7．如圖所示，一根細線下端拴一個金屬小球A，細線的上端固定在金屬塊B上，B放在帶小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運動?，F(xiàn)使小球A改到一個更低一些的水平面上做勻速圓周運動(圖上未畫出)，金屬塊B在桌面上始終保持靜止，則后一種狀況與原來相比較，下面的推斷中正確的是()A．金屬塊B受到桌面的靜摩擦力變大B．金屬塊B受到桌面的支持力變小C．細線的張力變大D．小球A運動的角速度減小【答案】D【解析】設A、B質(zhì)量分別為m、M,A做勻速圓周運動的向心加速度為a，細線與豎直方向的夾角為θ，對B探討，B受到的摩擦力f＝Tsinθ，對A，有Tsinθ＝ma，Tcosθ＝mg，解得a＝gtanθ，θ變小，a減小，則靜摩擦力變小，故A錯誤；以整體為探討對象知，B受到桌面的支持力大小不變，應等于(M＋m)g，故B錯誤；細線的拉力T＝eq\f(mg,cosθ)，θ變小，T變小，故C錯誤；設細線長為l，則a＝gtanθ＝ω2lsinθ，ω＝eq\r(\f(g,lcosθ))，θ變小，ω變小，故D正確。8．如圖所示，質(zhì)點a、b在同一平面內(nèi)繞質(zhì)點c沿逆時針方向做勻速圓周運動，它們的周期之比Ta∶Tb＝1∶k(k＞1，為正整數(shù))。從圖示位置起先，在b運動一周的過程中()A．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k次B．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k＋1次C．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k次D．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k－2次【答案】D【解析】設每隔時間T，a、b相距最近，則(ωa－ωb)T＝2π，所以T＝eq\f(2π,ωa－ωb)＝eq\f(2π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq\f(TaTb,Tb－Ta)，故b運動一周的過程中，a、b相距最近的次數(shù)為：n＝eq\f(Tb,T)＝eq\f(Tb－Ta,Ta)＝eq\f(kTa－Ta,Ta)＝k－1，即a、b距離最近的次數(shù)為k－1次，A、B均錯誤。設每隔時間t，a、b、c共線一次，則(ωa－ωb)t＝π，所以t＝eq\f(π,ωa－ωb)＝eq\f(π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq\f(TaTb,2Tb－Ta)；故b運動一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)為：n＝eq\f(Tb,t)＝eq\f(2Tb－Ta,Ta)＝eq\f(2kTa－2Ta,Ta)＝2k－2，C錯誤，D正確。9．(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細繩相連的質(zhì)量均為m的兩個物體A和B，它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA＝r、RB＝2r，與盤間的動摩擦因數(shù)μ相同，當圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好要發(fā)生滑動時，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是()A．此時繩子張力為3μmgB．此時圓盤的角速度為eq\r(\f(2μg,r))C．此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外D．此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運動【答案】ABC【解析】兩物體剛好要發(fā)生滑動時，A受背離圓心的靜摩擦力，B受指向圓心的靜摩擦力，其大小均為μmg，則有T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，解得T＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，A、B、C項正確；當燒斷繩子時，A所需向心力為F＝mω2r＝2μmg＞fm，fm＝μmg，所以A將發(fā)生滑動，D項錯誤。10．(多選)如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺上的小物體A、B通過輕彈簧連接，并隨轉(zhuǎn)臺一起勻速轉(zhuǎn)動，A、B的質(zhì)量分別為m、2m，離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為1.5r、r，已知彈簧的原長為1.5r，勁度系數(shù)為k，A、B與轉(zhuǎn)臺的動摩擦因數(shù)都為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且有kr＝2μmg。則以下說法中正確的是()A．當B受到的摩擦力為0時，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度為eq\r(\f(k,m))B．當A受到的摩擦力為0時，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度為eq\r(\f(2k,3m))C．當B剛好要滑動時，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度為eq\r(\f(k,2m)＋\f(μg,2r))D．當A剛好要滑動時，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度為eq\r(\f(2k,3m)＋\f(2μg,3r))【答案】BD【解析】當B受到的摩擦力為0時，由彈簧彈力供應向心力，則有k(1.5r＋r－1.5r)＝2mω2r，得ω＝eq\r(\f(k,2m))，故A錯誤；當A受到的摩擦力為0時，由彈簧彈力供應向心力，則有k(1.5r＋r－1.5r)＝mω2·1.5r，得ω＝eq\r(\f(2k,3m))，故B正確；假設B先滑動，則當B剛好要滑動時，摩擦力達到最大靜摩擦力，彈簧彈力與靜摩擦力的合力供應向心力，則有k(1.5r＋r－1.5r)＋μ·2mg＝2mω2r，得ω＝eq\r(\f(k,2m)＋\f(μg,r))，故C錯誤；假設A先滑動，則當A剛好要滑動時，摩擦力達到最大靜摩擦力，彈簧彈力與靜摩擦力的合力供應向心力，則有k(1.5r＋r－1.5r)＋μmg＝mω2·1.5r，得ω＝eq\r(\f(2k,3m)＋\f(2μg,3r))＝eq\r(\f(k,2m)＋\f(μg,r))，即A、B同時起先滑動，故D正確。11．汽車試車場中有一個檢測汽車在極限狀態(tài)下的車速的試車道，試車道呈錐面(漏斗狀)，側(cè)面圖如圖所示。測試的汽車質(zhì)量m＝1t，車道轉(zhuǎn)彎半徑r＝150m，路面傾斜角θ＝45°，路面與車胎的動摩擦因數(shù)μ＝0.25，設路面與車胎的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g＝10m/s2。求：(1)若汽車恰好不受路面摩擦力，則其速度應為多大？(2)汽車在該車道上所能允許的最小車速?！窘馕觥?1)汽車恰好不受路面摩擦力時，由重力和支持力的合力供應向心力，依據(jù)牛頓其次定律得：mgtanθ＝meq\f(v2,r)解得：v≈38.7m/s。(2)當車道對車的摩擦力沿車道向上且等于最大靜摩擦力時，車速最小，受力如圖，依據(jù)牛頓其次定律得：FNsinθ－Ffcosθ＝meq\f(vmin2,r)FNcosθ＋Ffsinθ－mg＝0Ff＝μFN解得：vmin＝30m/s。12．如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點，OB與OC夾角為37°，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑(C、D為圓軌道的最低點和最高點)，可視為質(zhì)點的小滑塊從軌道AB上高H處的某點由靜止滑下，用力傳感器測出滑塊經(jīng)過圓軌道最低點C時對軌道的壓力為