二次函數(shù)

一、選擇題

1.（2016?山東省濱州市?3分）拋物線y=2x2-2近x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】對于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出拋物線

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答】解：拋物線y=2x2-2我x+1,

令x=0,得到y(tǒng)=l,即拋物線與y軸交點(diǎn)為（0,1）；

令y=0,得至ij2x2-2'./2x+l=0,即-1）2=0,

解得：Xl=X2=q,即拋物線與X軸交點(diǎn)為（掾，0）,

則拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2,

故選C

【點(diǎn)評】此題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線解析式中令一個(gè)未知數(shù)為0,求出另一

個(gè)未知數(shù)的值，確定出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn).

2.（2016?山東省濱州市?3分）在平面直角坐標(biāo)系中，把一條拋物線先向上平移3個(gè)單位長

度，然后繞原點(diǎn)選擇180。得到拋物線y=x2+5x+6,則原拋物線的解析式是（）

A.y=-（x-月）2-耳B.y=-（x+月）2-C.y=-（x-2-^D.y=-

242424

（x+32+4

24

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】先求出繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。的拋物線解析式，求出向下平移3個(gè)單位長度的解析式即

可.劉

【解答】解：???拋物線的解析式為：y=x2+5x+6,

R1

工繞原點(diǎn)選擇180。變?yōu)?，y=-x2+5x-6,即y=-（x-個(gè)2+-^,

向下平移3個(gè)單位長度的解析式為y=-（x-1）2+\-3=-（X->|）2-學(xué)

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則

是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2016廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a^O)和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所

9

不，則方程ax?+(b--)x+c=0(a#0)的兩根之和()

o

A.大于0B.等于OC.小于0D.不能確定

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)ax2+bx+c=0(a^O)的兩根為xi,X2,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

設(shè)方程ax2+(b-春)x+c=O(a，0)的兩根為a,b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)ax2+bx+c=0(a#0)的兩根為xi,X2,

???由二次函數(shù)的圖象可知xi+x2>0,a>0,

-->0.

a

9

Qh—Jun

設(shè)方程ax2+(b--)x+c=0(a^O)的兩根為a,b,貝!Ja+b=-3=---

3------a3a

a

Va>0,

9

?'?-T->0,

3a

/.a+b>0.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

4.(2016貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)丫=a*+6(ar0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^O)在同一平

面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象相比較看是否一致.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由拋物線可知，a>0,x=-?>0,得b<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、由拋物線可知，a<0,x=--^-<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確；

2a

D、由拋物線可知，a<0,x=-^<0,得b<0,由直線可知，a<0,b>0故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2a

故選C.

5.（2016?福建龍巖?4分）已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則|a-b+c|+|2a+b|=（）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

,,

【分析】觀察函數(shù)圖象找出“a>0,c=0,-2a<b<0）由此即可得出|a-b+c|=a-b,

|2a+b|=2a+b,根據(jù)整式的加減法運(yùn)算即可得出結(jié)論.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

圖象過原點(diǎn)，c=0；

拋物線開口向上，a>0；

拋物線的對稱軸0<-2<1,-2a<b<0.

2a

/.|a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,

|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.

故選D.

6.（2016?廣西桂林?3分）已知直線y=-括x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在拋物線

y=-（x-石）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等腰三角形的判定.

【分析】以點(diǎn)B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點(diǎn)C、M、N點(diǎn)，連接AC、BC,

由直線y=-如x+3可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的解析式可得出△ABC等邊三角形,

再令拋物線解析式中y=0求出拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)該兩點(diǎn)與M、N重合，

結(jié)合圖形分三種情況研究AABP為等腰三角形，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：以點(diǎn)B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點(diǎn)C、M、N點(diǎn)，連接AC、

BC,如圖所示.

令一次函數(shù)y=-J^x+3中x=0,則y=3,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）；

令一次函數(shù)y=-，”x+3中y=0,則-\后什3,

解得：x=>/3，

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（如,0）.

.?.AB=2?.

???拋物線的對稱軸為x=V3，

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2?,3）,

.?.AC=2A/3=AB=BC,

???△ABC為等邊三角形.

令y=-；(x-?)2+4中y=0,則-；(x-如)2+4=0,

解得：x=-'/5，或x=3?.

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-?,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(373-0).

AABP為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)AB=BP時(shí)，以B點(diǎn)為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M、N三點(diǎn);

②當(dāng)AB=AP時(shí)，以A點(diǎn)為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點(diǎn)，；

③當(dāng)AP=BP時(shí)，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點(diǎn)；

能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選A.

7.(2016廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aM)和正比例函數(shù)yqx的圖象如圖所

9

示，則方程ax?+(b--T-)x+c=0(arO)的兩根之和()

o

a/+bx+c

2

一鏟

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)ax?+bx+c=。(axO)的兩根為xi，XT,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

設(shè)方程ax2+(b-1-)x+c=0(aM)的兩根為a,b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解:設(shè)ax2+bx+c=0(a#0)的兩根為xi，x2,

,由二次函數(shù)的圖象可知xi+x2>0,a>0,

-->0.

a

nb——9kQ

設(shè)方程ax?+(b-—)x+c=0(awO)的兩根為a,b,貝!Ja+b=-3=~

3-----a3a

a

,/a>0,

2

,?>0，

3a

/.a+b>0.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與X軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與X軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

8.(2016貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)y=ax+b(a*0)與二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a*0)在同一平

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象相比較看是否一致.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由拋物線可知，a>0,x=-得b<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2a

C、由拋物線可知，a<0,x=-^-<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確；

2a

D、由拋物線可知，a<0,x=--^-<0,得bVO,由直線可知，a<0,b>0故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2a

故選C.

9.(2016廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，0)和正比例函數(shù)y/9x的圖象如圖所

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)ax2+bx+c=0(a#0)的兩根為X2，由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

設(shè)方程ax2+(b-4)x+c=O(axO)的兩根為a,b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

O

【解答】解：設(shè)ax2+bx+c=0(axO)的兩根為xi，X2，

???由二次函數(shù)的圖象可知xi+x2>0,a>0,

-->0.

a

9

Qh—Jun

設(shè)方程ax2+(b-—)x+c=0(a^O)的兩根為a,b,則Ja+b=-3=-----甘

3----a3a

a

,/a>0,

3a

a+b>0.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與X軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與X軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

10.(2016貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)y=ax+b(a#0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(axO)在同一

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax?+bx+c

的圖象相比較看是否一致.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由拋物線可知，a>0,x=-?>0,得b<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2a

C、由拋物線可知，a<0,x=--^-<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確；

2a

D、由拋物線可知，a<0,x=-與<0,得b<0,由直線可知，a<0,b>0故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

11.(2016?浙江省紹興市?4分)拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點(diǎn)A(2,6),且

拋物線的對稱軸與線段y=0(l<x<3)有交點(diǎn)，則c的值不可能是()

A.4B.6C.8D.10

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】根據(jù)拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點(diǎn)A(2,6),且拋物線的對稱軸與

線段y=0(l<x<3)有交點(diǎn)，可以得到c的取值范圍，從而可以解答本題.

【解答】解：???拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點(diǎn)A(2,6),且拋物線的對稱軸

與線段y=0(l<x<3)有交點(diǎn)，

，4+2b+c=6

丁,裊《3

解得6WCW14,

故選A.

12.(2016?湖北隨州?3分)二，次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(-

1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：(1)4a+b=0；(2)9a+c>3b：(3)8a+7b+2c>0；(4)

i7

若點(diǎn)A(-3,yi)、點(diǎn)B(-7，y2)、點(diǎn)C,y3)在該函數(shù)圖象上，則yi<y3<y2；(5)

若方程a(x+l)(x-5)=-3的兩根為xi和X2，且xi<X2，則XI<-1<5<X2.其中正確

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】(1)正確.根據(jù)對稱軸公式計(jì)算即可.

(2)錯(cuò)誤，利用x=-3時(shí)，y<0,即可判斷.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(-1,0)和(5,0),列出方程組求出a、b即可判斷.

(4)錯(cuò)誤.利用函數(shù)圖象即可判斷.

(50正確.利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：(1)正確.-2=2,

2a

4a+b=0.故正確.

(2)錯(cuò)誤....x=-3時(shí)，y<0,

9a-3b+c<0,

9a+c<3b,故(2)錯(cuò)誤.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(-1,0)和(5,0),

fa-b+c=0

125a+5b+c=0[c=-5a

/.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

,/a<0,

8a+7b=2c>0,故(3)正確.

I7

(4)錯(cuò)誤，，.,點(diǎn)A(-3,yp、點(diǎn)B(—-,丫2)、點(diǎn)C(―,y3),

5-2=4>2-(-4-)=4.

2222

.3々5

22

二點(diǎn)C離對稱軸的距離近，

,y3>y2，

a<0,-3<-二<2,

yi<Y2

yi<y2<y3>故(4)錯(cuò)誤.

(5)正確.「a<0,

(x+1)(x-5)=-3/a>0,

即(x+1)(x-5)>0,

故x<-1或x>5,故(5)正確.

正確的有三個(gè)，

故選B.

-1/0：2

13.（2016?四川南充）拋物線y=x?+2x+3的對稱軸是（）

A.直線x=lB.直線x=-1C.直線x=-2D.直線x=2

【分析】先把一般式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線的對稱軸方程.

【解答】解：Vy=x2+2x+3=（x+1）2+2,

:.拋物線的對稱軸為直線x=-1.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a#））,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

（-3,處」1）,對稱軸為直線x=-占.

14.（2016?四川瀘州）已知二次函數(shù)y=ax2-bx-2（a^O）的圖象的頂點(diǎn)在第

四象限，且過點(diǎn)（-1,0）,當(dāng)a-b為整數(shù)時(shí)，ab的值為（）

A.g或1B.3或1C.■或I'D.;或；

444244

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】首先根據(jù)題意確定a、b的符號，然后進(jìn)一步確定a的取值范圍，根

據(jù)a-b為整數(shù)確定a、b的值，從而確定答案.

【解答】解：依題意知a>0,。，a+b-2=0,

2a

故b>0,且b=2-a,a-b=a-（2-a）=2a-2,

于是0VaV2,

-2<2a-2<2,

又a-b為整數(shù)，

2a-2=-1,0,1,

_113

故[Zia=Tb亍

b42E12,

ab=-7-gK1,

4

故選A.

15.（2016?四川攀枝花）如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a>0）圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與

x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1和3,則下列結(jié)論正確的是（）

B.a+b+c>0

C.3a-c=0

D.當(dāng)a［時(shí)，△ABD是等腰直角三角形

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】由于拋物線與X軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1,3,得到對稱軸為直線x=l,

則-?=1，即2a+b=0,得出，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

2a

當(dāng)x=l時(shí)，y<0,得出a+b+cVO,得出選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)x=-l時(shí)，y=0,即a-b+c=O,而b=-2a,可得到a與c的關(guān)系，得出選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

13

由a二不，則b=T,c=-言，對稱軸x=l與x軸的交點(diǎn)為E,先求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，由三角

形邊的關(guān)系得出△ADE和aBDE都為等腰直角三角形，得出選項(xiàng)D正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：???拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1,3,

拋物線的對稱軸為直線X=l,則-2=1,

2a

2a+b=0,

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)自變量取1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，

.■.x=l時(shí)，y<0,則a+b+c<0,

；?選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

：A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,

.'.a-b+c=O,而b=-2a,

a+2a+c=0,

.■.3a+c=0,

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

i3

當(dāng)a=彳,貝c=--T-,對稱軸x=l與x軸的交點(diǎn)為E,如圖，

13

拋物線的解析式為y=yx2-x-1,

i3

把x=l代入得y=--1-y=-2,

；.D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）,

；.AE=2,BE=2,DE=2,

.二△ADE和4BDE都為等腰直角三角形，

...△ADB為等腰直角三角形，

選項(xiàng)D正確.

故選D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a>0,拋物線開口向上;

拋物線的對稱軸為直線*=-與；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）.

2a

16.（2016?黑龍江齊齊哈爾?3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a^O）的對稱軸為直線x=l,

與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論:

①4ac<b2；

②方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是xi=-1,X2=3；

③3a+c>0

④當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是-lgx<3

⑤當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而增大

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與

x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,則可對②進(jìn)行判斷；由對稱軸方程得到b=-2a,然后根據(jù)

x=-1時(shí)函數(shù)值為負(fù)數(shù)可得到3a+c<0,則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對應(yīng)

的自變量的范圍可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進(jìn)行判斷.

【解答】解：：拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

.-.b2-4ac>0,所以①正確；

:拋物線的對稱軸為直線X=l,

而點(diǎn)(-1,0)關(guān)于直線X=1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),

方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是xi=-1,X2=3,所以②正確；

Vx=--^-=1,即b=-2a,

2a

而x=-l時(shí)，y<0,即a-b+c<0,

a+2a+c<0,所以③錯(cuò)誤；

???拋物線與x軸的兩點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(3,0),

...當(dāng)-l<x<3時(shí)，y>0,所以④錯(cuò)誤；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

.,.當(dāng)x<l時(shí)，y隨x增大而增大，所以⑤正確.

故選B.

17.(2016?湖北黃石?3分)以x為自變量的二次函數(shù)y=x2-2(b-2)x+b2-1的圖象不經(jīng)

過第三象限，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.b>.^.B.的1或bW-lC.b>2D.l<b<2

4

【分析】由于二次函數(shù)y=x2-2(b-2)x+b2-1的圖象不經(jīng)過第三象限，所以拋物線在x

軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)知道拋物線開口方向向上，

由此可以確定拋物線與x軸有無交點(diǎn)，拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置，由此即可得出關(guān)于b

的不等式組，解不等式組即可求解.

【解答】解：二?二次函數(shù)y=x2-2(b-2)x+b2-1的圖象不經(jīng)過第三象限，

拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，

當(dāng)拋物線在x軸的上方時(shí)，

?二次項(xiàng)系數(shù)a=l,

...拋物線開口方向向上，

Ab2-1>0,A=[2(b-2)]2-4(b2-1)<0,

解得的包

4

當(dāng)拋物線在X軸的下方經(jīng)過一、二、四象限時(shí)，

設(shè)拋物線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xi,X2,

；.XI+X2=2(b-2)>0,b2-1>0,

.?.△=[2(b-2)]2-4(b2-1)>0,①

b-2>0,②

b2-l>0,③

由①得b<”,由②得b>2,

4

此種情況不存在,

故選A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會根據(jù)圖象的位置得到關(guān)于

b的不等式組解決問題.

18.（2016?湖北荊門?3分）若二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3,則關(guān)于x的方程x2+mx=7

的解為（）

A.xi=0,X2=6B.xi=l,X2=7C.XI=1,X2=-7D.xi=-1,X2=7

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3求出m的值，再把m的值代入方程

x2+mx=7,求出x的值即可.

【解答】解：：二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3,

-4=3，解得m=-6,

...關(guān)于x的方程x2+mx=7可化為x2-6x-7=0,即（x+1）（x-7）=0,解得xi=-l,X2=7.

故選D.

19.（2016?青海西寧-3分）如圖，在△ABC中，ZB=90°,tanZC=4，AB=6cm.動點(diǎn)P從

點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s

的速度移動.若P,Q兩點(diǎn)分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動過程中，APBQ的最大面積

是（）

A.18cm2B.12cm2c.9cm2D.3cm2

【考點(diǎn)】解直角三角形；二次函數(shù)的最值.

【分析】先根據(jù)已知求邊長BC,再根據(jù)點(diǎn)P和Q的速度表示BP和BQ的長，設(shè)APBQ的

面積為S,利用直角三角形的面積公式列關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求最值即可.

3

【解答】解：VtanZC=—,AB=6cm,

4

.AB_6=3

'"BC

；.BC=8,

由題意得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,

設(shè)APBQ的面積為S,

則S=*BPxBQ弓x2tx(6-t),

S=-t2+6t=-(t2-6t+9-9)=-(t-3)2+9,

P：0<t<6,Q：0<t<4,

.,.當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值為，9,

即當(dāng)t=3時(shí)，△PBQ的最大面積為9cm2；

故選C.

20.(2016?陜西?3分)已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將這條拋物線的

頂點(diǎn)記為C,連接AC、BC,貝ljtan/CAB的值為()

A.—B.C.D.2

255

【考點(diǎn)】拋物線與X軸的交點(diǎn)；銳角三角函數(shù)的定義.

CD

【分析】先求出A、B、C坐標(biāo)，作CDJ_AB于D,根據(jù)tan/ACD=*即可計(jì)算.

AD

【解答】解：令y=0,貝卜x2-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨設(shè)A(-3,0),B(1,0),

Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

???頂點(diǎn)C(-1,4),

cn4

在RTAACD中，tan/CAD="=*=2,

AD2

故答案為D.

21.(2016?四川眉山?3分)若拋物線y=x2-2x+3不動，將平.面直角坐標(biāo)系xOy先沿水平方

向向右平移一個(gè)單位，再沿鉛直方向向上平移三個(gè)單位，則原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)?/p>

()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x2+4

【分析】思想判定出拋物線的平移規(guī)律，根據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：將平面直角坐標(biāo)系xOy先沿水平方向向右平移一個(gè)單位，再沿鉛直方向向上

平移三個(gè)單位，這個(gè)相當(dāng)于把拋物線向左平移有關(guān)單位，再向下平移3個(gè)單位，

Vy=(x-1)2+2,

.,.原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)閥=(x-1+1)2+2-3=x2-1,

故答案為C.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的平移和拋物線的平移是

反方向的，記住左加右減，上加下減的規(guī)律，屬于中考?？碱}型.

二、填空題

1.(2016?山東省荷澤市?3分)如圖，一段拋物線：y=-x(x-2)(0<x<2)記為Ci,它

與x軸交于兩點(diǎn)O,Ai；將Ci繞Ai旋轉(zhuǎn)180。得到C2,交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180。

得至UC3,交x軸于A3；…如此進(jìn)行下去，直至得到C6,若點(diǎn)P(11,m)在第6段拋物線

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點(diǎn).

【專題】規(guī)律型.

【分析】將這段拋物線Ci通過配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線與x軸的交點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

可以知道Ci與C2的頂點(diǎn)到x軸的距離相等，且OA尸A1A2,照此類推可以推導(dǎo)知道點(diǎn)P(U,

m)為拋物線C6的頂點(diǎn)，從而得到結(jié)果.

【解答】解：Vy=-x(x-2)(0<x<2),

...配方可得y=-(x-1)2+1(0<x<2),

..?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

，Ai坐標(biāo)為(2,0)

：C2由Ci旋轉(zhuǎn)得到，

.1.OA1=A1A2,即C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),A2(4,0)；

照此類推可得，C3頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1),A3(6,0)；

C4頂點(diǎn)坐標(biāo)為(7,-1),A4(8,0)；

C5頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1),As(10,0)；

C6頂點(diǎn)坐標(biāo)為(11,-1),A6(12,0)；

m=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

2.(2016?黑龍江哈爾濱?3分)二次函數(shù)y=2(x-3)七-4的最小值為-4.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.

【分析】題中所給的解析式為頂點(diǎn)式，可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出解答.

【解答】解：二次函數(shù)y=2(x-3)2-4的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4),

所以最小值為-4.

故答案為：-4.

3.(2016河南)已知A(0,3),B(2,3)是拋物線y=-x?+bx+c上兩點(diǎn)，該拋物線的

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】把A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可得出方程組，求出方程組的解，即可得出解

析式，化成頂點(diǎn)式即可.

【解答】解：：A(0,3),B(2,3)是拋物線y=-x2+bx+c上兩點(diǎn)，

???代入得：t；+2b+c=3'

解得：b=2,c=3,

y=-x2+2x+3

=-(x-1)2+4,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

故答案為：（1,4）.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的應(yīng)用，能求出函數(shù)的

解析式是解此題的關(guān)鍵.

1

4.（2016?四川南充）已知拋物線y=ax?+bx+c開口向上且經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,雙曲線y=2x經(jīng)

過點(diǎn)（a,be）,給出下列結(jié)論：①bc>0；②b+c>0；③b,c是關(guān)于x的一元二次方程x2+

1

（a-1）x+￥^=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；④a-b-cN3.其中正確結(jié)論是①③（填寫序號）

1

【分析】根據(jù)拋物線y=ax?+bx+c開口向上且經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,雙曲線丫=區(qū)經(jīng)過點(diǎn)（a,be）,

可以得到a>0,a、b、c的關(guān)系，然后對a、b、c進(jìn)行討論，從而可以判斷①②③④是否正

確，本題得以解決.

1

【解答】解：：拋物線y=ax2+bx+c開口向上且經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,雙曲線y=2x經(jīng)過點(diǎn)（a,be）,

'a〉0

a+b+c=l

bc=-^

.'.bc>0,故①正確；

，a>l時(shí)，貝i|b、c均小于0,此時(shí)b+c<0,

當(dāng)a=l時(shí)，b+c=0,則與題意矛盾,

當(dāng)0<a<l時(shí)，貝!Jb、c均大于0,止匕時(shí)b+c>0,

故②錯(cuò)誤；

1

x2+（a-1）x+2a=0可以轉(zhuǎn)化為：x2+（b+c）x+bc=0,得*=1?或*=（:,故③正確;

1

Vb,c是關(guān)于x的一元二次方程x2+（a-1）x+旗=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

a-b-c=a-（b+c）=a+（a-1）=2a-1,

當(dāng)a>l時(shí)，2a-1>3,

當(dāng)0<a<l時(shí)，-l<2a-l<3,

故④錯(cuò)誤；

故答案為：①③.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與圖象的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條

件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

5.（2016?四川瀘州）若二次函數(shù)y=2x2-4x-1的圖象與x軸交于A（xi,0）、

113

B（X2,0）兩點(diǎn)，則一+一的值為-三.

X1x2Z

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)y=o，則對應(yīng)一元二次方程的解分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，利

用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出;+;的值.

X1x2

【解答】解：

設(shè)y=0,則2x2-4x-1=0,

一元二次方程的解分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，即xi,X2,

.,.Xl+.X2=--------=2,XI,?X2="-1,

22

X1+X23

X1x2X］2，

2-y

原式=-------W--=-

故答案為：-率

6.（2016?四川內(nèi)江）二次函數(shù)+6x+c的圖象如圖11所示，且P=|2a+"+|36—

2c|,Q=\2a-b\~\3b+2c\,則尸,。的大小關(guān)系是.

［答案］P>。

［考點(diǎn)］二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。

［解析］:拋物線的開口向下，，。<0.：—上=1,；包>0且。=一

2a2

\2a~\~b\=0f\2a—b\=b—2a.

???拋物線與y軸的正半軸相交，???c>0???.|3。+2d=3b+2c.

由圖象可知當(dāng)x=—1時(shí)，y<0,BPa~b+c<0.

：.-^-b+c<0,即3b—2c>0.，|36—2c|=36—2c.

...P=0+3b—2c=36一2c>0,

Q=b-2a-^b+2c）=~（b+2c）<0.

-,.P>Q.

故答案為：P>Q.

7.（2016?湖北荊州?3分）若函數(shù)y=（a-1）x?-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則

a的值為-1或2或1.

【分析】直接利用拋物線與x軸相交，b2-4ac=0,進(jìn)而解方程得出答案.

【解答】解：???函數(shù)y=（a-1）x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)口寸，b2-4ac=16-4（a-1）x2a=0,

解得：ai=-1,a2=2,

當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a-1=0,解得：a=l.

故答案為：-1或2或1.

【點(diǎn)評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵.

三、解答題

1.（2016?湖北隨州?9分）九年級（3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x

天（14x490,且x為整數(shù)）的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，

設(shè)該商品的售價(jià)為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w

（單位：元）.

時(shí)間x（天）1306090

每天銷售量P（件）1981408020

（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結(jié)果.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用.

【分析】（1）當(dāng)04x450時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為丫=1農(nóng)+心，由點(diǎn)的坐標(biāo)

利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當(dāng)50<x<90時(shí)，

y=90.再結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n,套入數(shù)據(jù)利

用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)銷售利潤=單件利潤x銷售數(shù)量即可得

出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問題.當(dāng)04x450時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值；當(dāng)50<x<90時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此

范圍內(nèi)w的最大值，兩個(gè)最大值作比較即可得出結(jié)論；

(3)令W25600,可得出關(guān)于，x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x

的取值范圍，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)當(dāng)0女《50時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k、b

為常數(shù)且k=0),

,；y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)(0,40)、(50,90),

[b=40(k=l

解得:

l50k+b=90lb=40

售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40；

當(dāng)50<xW90時(shí)，y=90.

\+40(0<x<50,且x為整數(shù))

售價(jià)y與時(shí)間X的函數(shù)關(guān)系式為y=,

90(50<x<90,且x為整數(shù))

由書記可知每天的銷售量P與時(shí)間X成一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)每天的銷售量P與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數(shù)，且m/0),

;p=mx+n過點(diǎn)(60,80)、(30,140),

j60/n=80,解得：尸-2,

l30irri-n=140[n=200

p=-2x+200(0<x<90,且x為整數(shù))，

當(dāng)04x450時(shí)，w=(y-30)?p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000；

當(dāng)50<x<90時(shí)，w=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000.

綜上所示，每天的銷售利潤w與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式是

R-2X2+180X+2000(0<X<50,且x為整數(shù))

w=s5.

-120x+12000(50<x<90,且x為整數(shù))

(2)當(dāng)0人50時(shí),w=-2X2+180X+2000=-2(x-45)2+6050,

a=-2<0且0<x<50,

當(dāng)x=45時(shí),w取最大值，最大值為6050元.

當(dāng)50<x<90時(shí)，w=-120x+12000,

k=-120<0,w隨x增大而減小，

當(dāng)x=50時(shí),w取最大值，最大值為6000元.

6050>6000,

當(dāng)x=45時(shí)，w最大,最大值為6050元.

即銷售第45天時(shí)，當(dāng)天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元.

(3)當(dāng)0<x<50時(shí)，令w=-2X2+180X+2000>5600,即-2x2+180x-3600>0,

解得：304x450,

50-30+1=21(天)；

當(dāng)50<x<90時(shí)，4w=-120x+12000>5600,即-120x+6400>0,

解得：50<x<53-

??.X為整數(shù)，

...50<x<53,

53-50=3(天).

綜上可知：21+3=24(天)，

故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.

2.(2016?湖北隨州?12分)已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(axO),與x軸從左至右依次相

交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=-J*+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)

為D.

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動點(diǎn)Q從

點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒竽?個(gè)單位

的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動過程中所用時(shí)間最

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線的解析式，求出點(diǎn)D

的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式；

(2)作PH_Lx軸于H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),分△BPA-△ABC和△PBA-△ABC,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；?

(3)作DM"x軸交拋物線于M,作DN^x軸于N,作EFLDM于E根據(jù)正切的定義求

出Q的運(yùn)動時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可.

【解答】解：(1)Vy=a(x+3)(x-1),

「?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),

直線y=-J§x+b經(jīng)過點(diǎn)A,

?二b二-3M,

???y=--3如,

當(dāng)x=2時(shí)，y=-573-

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-5小5)，

???點(diǎn)D在拋物線上，

a(2+3)(2-1)=-5?，

解得，a=-“際，

則拋物線的解析式為y=-J3(x+3)(x-1)=-V3x2-26+3如;

(2)作PH_Lx軸于H,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),

當(dāng)^BPA-△ABC時(shí)，ZBAC=ZPBA,

nrPH

/.tanZBAC=tanZPBA,即---=---,

OAHB

-3a-n

即n=-a(m-1),

3-irrt-1

n=一a(in-1)

n=(m+3)(m-1)'

解得，mi=-4,m2=l(不合題意，舍去),

當(dāng)m=-4時(shí)，n=5a,

,/△BPA?△ABC,

,即AB2=AC?PB,

ABPB

42T9a2+9Y25a2+25,

解得，a『坐(不合題意，舍去)，a2=-率,

1515

貝!Jn=5a=--,

3

「?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,巨)；

3

當(dāng)^PBA?△ABC時(shí)，ZCBA=ZPBA,

nrPH

/.tanZCBA=tanZPBA,即---=---,

OBHB

-3a-n

/.-----=------,即n=-3a(m-1),

1-irrf-1

‘n=-3a(m-1)

n=a(m+3)(m-1)’

解得，mi=-6,m2=l(不合題意，舍去),

當(dāng)m=-6時(shí)，n=21a,

,/△PBA-△ABC,

二毀=當(dāng)即AB2=BC?PB,

BAPB

42=Vl+9a2，V72+(-21a)2>

解得，即=率（不合題意，舍去），a2=-乎，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6,-卒），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,-亨）和（-6,

(3)作DMIIx軸交拋物線于M,作DNJ_x軸于N,作EF_LDM于F,

則tanNDAN=^￥/

/.ZDAN=60°,

/.ZEDF=60°,

???DE=￡F歲EF,

DE

RR1—

Q的運(yùn)動時(shí)間t=-^+273=BE+EF,

"I-

.,.當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小,

則BEJ_DM,y=-4^/3.

3.（2016?湖北武漢?10分）某公司計(jì)劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年產(chǎn)

銷元件.已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表：

產(chǎn)品每件售價(jià)（萬元）每件成本（萬元）每年其他費(fèi)用（萬