第5章機電專業(yè)應用數(shù)學5.1初等運算在工程中的應用5.2空間直角坐標系與圖形(見第1章1.1)5.3一元微積分工程應用5.4多元微積分學及應用(見第1章)5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用5.6行列式矩陣及其應用(見第3章)5.7正態(tài)分布及其應用(見第4章)返回5.1初等運算在工程中的應用機電工程中應用數(shù)學大量應用初等數(shù)學，但與我們過去初等數(shù)學應用題有區(qū)別一是問題更實際，二是問題更綜合，三是應用數(shù)學更靈活.例5-1在如圖5.1所示的曲柄滑塊機構(gòu)中，曲柄AB以等角速度ω作連續(xù)等周運動.通過連桿BC帶動滑塊C,在水平方向作往復直線運動.已知曲柄長AB=r,連桿長BC=l,曲柄轉(zhuǎn)角φ正比于時間t.試確定滑塊C的運動方程，并求當ω=2π/s,t=0,0.5s,1s時滑塊的位置(點在參考系上的幾何位置隨時間變化的關系式稱為點的運動方程，即位置二與時間t的函數(shù)關系).解作AC向右為x軸正方向，A為坐標原點，則點A到點B在AC上垂足D的距離為AD=rcosωt，垂線BD=rsinωt，

所以點C,到點A的距離為下一頁返回5.1初等運算在工程中的應用

例5-2一零件輪廓如圖5.2所示，其中A,B,C,D,E,F為基點，E點是直線DE與EF的交點，F(xiàn)是直線EF與圓弧AF的切點.求各基點的坐標(基點就是構(gòu)成零件輪廓的各相鄰幾何元素之間的交點或切點.如兩直線的交點、直線與圓弧的交點或切點、圓弧與二次曲線的交點或切點等，均屬基點).上一頁下一頁返回5.1初等運算在工程中的應用解由圖5.2所設工件坐標系分析可知，基點A,B,C,D可直接得到A(0，一20),B(一30，一20)、C(一30,20),D(一20，30)，下面計算E,F的坐標.EF為圓O，圓O1公切線，易知OO2=10，而OO1=20，則∠O1OO2=60°，OF與x軸的夾角為30°,EF與x軸夾角為120°，則即E(5.774，30)、F(17.321，10).上一頁下一頁返回5.1初等運算在工程中的應用例5-3用解析法按預定的運動規(guī)律設計四桿機構(gòu).如圖5.3所示.給定連架桿對應位置.即構(gòu)件3和構(gòu)件1滿足以下位置關系:θ3i=?(θ1i)(i=1,2,3...,n),設計此四桿機構(gòu)(求各構(gòu)件長度).解思路:首先建立包含機構(gòu)的各尺度參數(shù)和運動變量在內(nèi)的解析關系式，然后根據(jù)已知的運動變量求解所需的機構(gòu)尺度參數(shù).建立坐標系，設構(gòu)件長度為a,b,c,d,θ1、θ2的起始角為α0、φ0，a+b=c+d在x，y軸上投影可得上一頁下一頁返回5.1初等運算在工程中的應用機構(gòu)尺寸比例放大時，不影響各構(gòu)件相對轉(zhuǎn)角令a/a=1b/a-mc/a=n，，d/a=l式中包含有p0，p1，p2，α0，φ0五個待定參數(shù)，故四桿機構(gòu)最多可按兩連架桿的五組對應未知精確求解.上一頁下一頁返回5.1初等運算在工程中的應用當i＞5時，一般不能求得精確解，只能用最小二乘法近似求解.當i＜5時，可預定部分參數(shù)，有無窮多組解.舉例:設計一四桿機構(gòu)滿足連架桿三組對應位置(如圖5.4所示):上一頁下一頁返回5.1初等運算在工程中的應用選定構(gòu)件a的長度之后，可求得其余桿的絕對長度.例5-4測量V型槽的角度的精確值，常采用如圖5.5的方法.給定高度值H1,H2及大、小圓的半徑R,r，試寫出V型槽的角度的計算式.解設O為大圓的圓心，O1為小圓的圓心，圓心距OO1=(H2-R)-(H1-r)在RT△OO1A中，OA=R一r，故上一頁返回5.3一元微積分工程應用5.3.1曲率的概念「先行問題]如何定量刻畫曲線彎曲程度?工程零件的設計與加工常常涉及曲線、涉及曲線的彎曲問題，這就需要在數(shù)學上定量確定與計算曲線彎曲程度.我們作定性分析:曲線的彎曲與哪些因素有關?分析具體例子，如圖5.12所示，拋物線y=x2，此曲線上每一點的彎曲程度是不同的.如在頂點(0,0)附近就比其他點附近彎曲的大些.首先，曲線在一點附近的彎曲與曲線在這點的轉(zhuǎn)角α(嚴格說是這點切線的轉(zhuǎn)角α)有關，如圖5.13所示，可以看出，轉(zhuǎn)角α1較α小.下一頁返回5.3一元微積分工程應用曲線弧

彎曲程度就較

也小.一般地，若兩弧的長度相等，則轉(zhuǎn)角越小，曲線弧的彎曲程度一也越小，顯然，若曲線弧的彎曲程度越小，則轉(zhuǎn)角一也越小.其次，如圖5.14所示，兩段曲線弧

，盡管它們的轉(zhuǎn)角相同，但弧長不等，彎曲的程度一也不相同，曲線弧短的比曲線弧長的彎曲程度大.綜合上面的分析得到:曲線弧的彎曲程度可用弧兩端切線的轉(zhuǎn)角與弧

長之比

來刻畫，這個比值越大，弧的彎曲程度就越大，這個比值越小，弧的彎曲程度就越小，這個比值叫做這段弧上的平均曲率，記作,上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用5.3.2曲率的計算分析:如圖5.15所示,上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用例5-5如圖5.16所示，已知圓的半徑為R，求:(1)圓上任一段的平均曲率;上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用

上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用5.3.3曲率圓與曲率半徑圓周上每一點處的曲率都相等，而且等于它的半徑的倒數(shù)，同時，圓的彎曲程度能直觀看出;一般的曲線，它在各點處的彎曲程度既不相同，一也不太直觀，因此，可借助圓來顯示曲線在一點處的彎曲程度，對于這樣的圓，給出下面的定義.定義5.1如果一個圓滿足下列三個條件:(1)在M點處與曲線有公切線;(2)與曲線在M點附近有相同的凹向;(3)與曲線在M點處有相同的曲率.那么，這個圓就叫做曲線在M點處的曲率圓.上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用曲率圓的中心C,，叫做曲線在M點處的曲率中心;曲率圓的半徑R，叫做曲線在M點處的曲率半徑.說明:(1)由定義可知，曲率中心位于曲線在M點的法線上，并且在曲線凹向的一側(cè).(2)如果曲線在M點處的曲率用k表示，由例1可知，

，所以，曲率半徑R就是，即這就是曲線在給定點處的曲率半徑的計算公式.上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用例5-7求等邊雙曲線xy=1在點(1,1)的曲率半徑.例5-8如圖5.17所示，設工件內(nèi)表面的截線為拋物線y=0.4x2，現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問直徑多大的砂輪比較合適?上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用所以選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長，即直徑不得超過2.50單位長.例5-9鐵路拐彎處，軌道從直線轉(zhuǎn)人圓弧，為了避免離心率的突變，使火車能平穩(wěn)地轉(zhuǎn)過彎去，要求軌道曲線有連續(xù)變化的曲率.為此需在直道與圓弧之間銜接一段所謂的“緩和曲線”的彎道

，求緩和曲線

的方程.解設R是圓弧彎道的半徑，l是緩和曲線的長度，我國鐵路常用立方拋物線，上一頁下一頁返回5.3一元微積分工程應用(如圖5.18）

上一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用

在造船、航空、汽車等制造業(yè)中，實際零件的輪廓形狀，除了可以用直線、圓弧或其他非圓曲線組成之外，有些零件圖的輪廓形狀是通過實驗或測量的方法得到的，如凸輪、模具、葉片、機翼等.零件的輪廓數(shù)據(jù)在圖樣上是以坐標點的表格形式給出，這種由列表點(又稱為型值點)給出的輪廓曲線稱為列表曲線.這類列表輪廓零件日前J’一泛采用數(shù)控加工.若列表曲線給出的列表點很密，足以滿足曲線的精度要求，則可直接在相鄰列表點間用直線段或圓弧編程.但往往給出的只是一部分點，只能描述曲線的大致走向，這時常常使用最小二乘法得到的擬合函數(shù)或插值方法得到的插值函數(shù)求出增加的節(jié)點.下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用5.5.1曲線擬合的最小二乘法在對給出的實驗(或觀測)數(shù)據(jù)作曲線擬合時，怎樣才算擬合得最好呢?一般希望各實驗(或觀測)數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差的平方和最小，這就是最小二乘原理一也就是說，求一條曲線，使數(shù)據(jù)點均在離此曲線的上方或下方不遠處，所求的曲線稱為擬合曲線，它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布，又不至于出現(xiàn)局部較大的波動，更能反映被逼近函數(shù)的特性，使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來說其偏差按某種方法度量達到最小(圖5.20).下面推導直線擬合的公式.設已知數(shù)據(jù)點(xi，yi),i=1，2,…，m,分布大致為一條直線.作擬合直線y(x)=a0+a1x，該直線不是通過所有的數(shù)據(jù)點(xi,Yi)，而是使偏差平方和上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用常用的擬合函數(shù)y(x)還有多項式函數(shù)、指數(shù)型及對數(shù)型函數(shù)等，y(x)的選取一般和原始節(jié)點的圖像有關.上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用用最小二乘法求擬合曲線.解將已給數(shù)據(jù)點描在坐標系中，可以看出這些點接近指數(shù)曲線，因而可取指數(shù)函數(shù)

作為擬合函數(shù).對函數(shù)

兩邊取對數(shù)得上一頁下一頁返回

5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用5.5.2Lagrange插值上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用1.線性插值線性插值也叫兩點插值，已知函數(shù)y=?(x)在給定互異點x0，x1的值為上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用的插值多項式.這兩個插值多項式稱做以x0，x1為結(jié)點的基本插值多項式.(5-5)式說明，滿足條件(5-2)的一次插值多項式y(tǒng)=P1(x)可以由兩個基本插值多項式l0(x),l1(x)的線性組合來表示.上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用2.拋物插值線性插值計算方便、應用很J’一，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求「x0,x1」比較小，且?(x)在「x0,x1」上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大.為了克服這一缺點，有時用簡單的曲線去近似地代替復雜的曲線，最簡單的曲線是二次曲線，下面就研究用二次曲線去逼近復雜曲線的情形.上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用設函數(shù)y=?(x)在給定互異的自變量值x0,x1,x2上對應的函數(shù)值為y0,y1,y2,二次插值就是構(gòu)造一個二次多項式使之滿足又因過三點的二次曲線為拋物線，故又稱為拋物插值.注意，線性插值多項式可寫為因此對二次插值多項式可設上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用要想滿足條件(5-6)就必須有：這樣上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工程中的應用3.拉格朗日插值公式現(xiàn)在討論插值的一般情形.分別取函數(shù)值試構(gòu)造一個次數(shù)不超過n的插值多項式使之滿足條件上一頁下一頁返回5.5數(shù)據(jù)擬合、插值方法在工