2 2 6 8 9 111.(2024·山東青島·三模)定義[x[表示不超過x的最大整數(shù).例如:[1.2[=1，[-1,2[=-2，則()A.[x[+[y[=[x+y[B.?n∈Z，[x+n[=[x[+n22C.f(x(=x-[x[是偶函數(shù)D.f(x(=x-[x[是增函數(shù)B選項，設y=[x+n[表示不超過x+n的最大整數(shù)，所以y≤x+n，所以y-n≤x，所以[x]≤y-n，所以[x]+n≤y，即[x+n]≤y，C選項，f(x)=x-[x]，因為f(0.1(=0.1-0=0.1,f(-0.1(=-0.1-(-1(=0.9，所以f(0.1(≠f(-0.1(，所以f(x)不是偶函數(shù)，故C錯誤；D選項f(0.1)=0.1,f(1.1)=0.1，所以f(0.1)=f(1.1)，所以f(x)不是增函數(shù)，故D錯誤.2.(2024·河南新鄉(xiāng)·二模)函數(shù)f(x(=[x[被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中[x[表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)．若Ym∈(0,+∞(，滿足[x]2+[x[≤,則x的取值范圍是()A.[-1,2[B.(-1,2(C.[-2,2(D.(-2,2[由[x]2+[x[≤可得[x]2+[x[≤2→([x[+2(([x[-1(≤0，所以-2≤[x[≤1，故-2≤x<2，(1)設f(x)=[x[+x+|-[2x[，x∈R，求證：是f(x(的一個周期，且f(x(=0恒成立；(2)已知數(shù)列{an{的通項公式為an=+++…+(n∈N*(，設bn=(1)證明見解析；(1)f(x+=x++[x+1[-[2x+1[=x++[x[+1-[2x[-1=f(x(.故是f(x(的一個周期.,1(，故f(x(=0+0-0=0.33n1=2+1n2+21n2+n-1++n2+11n2+n1n2+2nan2=1n2+n+11n2+n1n2+2nan2=1n2+n+1+nn2+nnn2+n1n+1an1===++???+=2+nn2+nn2+n一人n個n2n21n2+11n2+2++<++<n2+n-1=，∴n1<an1≤.人n個而1=n+1=1+1+???+1n+1n2+2n+1尺n2+2n+1n2+2n人+1n2+2n+1一n個1n2+2nn+1=1n2+nn.<an1n2+2nn+1=1n2+nn.1n+111n+11<an2<<++???+=2+nn2+n2+n一n個,∴n<n<n+1.n=n.[x[,∴n<n<n+1.n=n.[x[+x+=[2x[，②由①知n<n<n+1，則n+n+=n=n.∴bn=n.n<1<n-n-1n∵+n-n<1<n-n-1nS∵>2-1+3-2+?22023=+2024-1<2023=+2024-1<+2025-1=<+2-1+++???+=88A.函數(shù)y=在定義域上是奇函數(shù)B.函數(shù)y=的零點有無數(shù)個C.函數(shù)y=在定義域上的值域是(-1,1(44【詳解】設f(x(=，A選項，f(1.5(==，f(-1.5(==-，整函數(shù)為f(x(=[x[，[x[表示不超過x的最大整數(shù)，例如 ()f(x+n(=f(x(+nC.?x,y>0，f(lgx(+f(lgy(=f(lg(xy((*，f(lg1(+f(lg2(+f(lg3(+???+f(lgn(=92對于B，?x∈R，n∈Z，令f(x)=m，則m≤x<m+1，m+n≤x+n<m+n+1，因此f(x+n)=m+n=f(x)+n，B正確；因此f(lg1)+f(lg2)+f(lg3)+???+f(lg99)+f(lg100)=92，此時n=100，D正確.大整數(shù)，例如：[3.9[=3，[-2.1[=-3.若在函數(shù)f(x(的定義域內，均滿足在區(qū)間[an,an+1(上，bn=[f(x([是一個常數(shù)，則稱{bn{為f(x(的取整數(shù)列，稱{an{為f(x(的區(qū)間數(shù)列.下列說法正確的是 ()A.f(x(=log2x(x≥1(的區(qū)間數(shù)列的通項an=2nB.f(x(=log2x(x≥1(的取整數(shù)列的通項bn=n-155C.f(x(=log2(33x((x≥1(的取整數(shù)列的通項bn≥n+5D.若f(x(=log2x(1≤x<2n(，則數(shù)列{bn(an+1-an({的前n項和Sn=(n-2(2n+2在[2n-1,2n(上，n-1≤log2x<n，[log2x[=n-1，所以an=2n-1，所以A錯誤；對于B中，由選項A知，bn=[f(x([=[log2x[=n-1，所以B正確.f(x([=[log2(33x([=[log2x+log233[≥[log2x[+[log233[=[log2x[+5，n(an+1-an(=(n-1((2n-2n-1(=(n-1(2n-1，2+32+23+34+???+(n-2(×2n-1+(n-1(2n，兩式相減Sn=-(21+22+???+2n-1(+(n-1(2n=-+(n-1(2n=2-2n+(n-1(2n=2+(n-2(2n，所以D正確.xaA.xa>2等價于x2-2(x-a)>2，即2a>-x2+2x+2，因為-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3，所以2a>3，所以a=ad-bc．已知函數(shù)f(x(的定xyxyA.f(1(=1B.f(x(是偶函數(shù)C.f(x(是周期函數(shù)xycxyc-yf(y)=0(*)，f(y)f(f(y)f(x)D.f(x(沒有極值點66得：f(x(=，對于A，取f(x(=-，顯然滿足(*)式，此時f(1(=-1，故A錯誤；對于B，f(x(定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，則f(-x)==-=-f(x(成立，所以f(x(是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，假設非零常數(shù)T為函數(shù)f(x(的周期，即f(x+T(=f(x)，則f(x+T(===f(x)，其中f(1)≠0，對于D，由于f(x(=，則f/(x(=-，顯然f/(x(=0沒有實數(shù)解，所以f(x(沒有極值點，故D正確；cosθ1-λsinθcosθ1-λsinθx21(2)函數(shù)g(x(=x21-1 x2+,若對?x∈[-1,1[，?θ∈R，都有g(x(-1≥f(θ(恒成立，求實數(shù)λ的取值(1)-3,-(2)-1≤λ≤1(1)f(θ(=cos2θ+2λsinθ-2，λ=，則f(θ(=1-sin2θ+sinθ-2=-sin2θ+sinθ-1，因為sinθ∈[-1,1[，所以f(θ(=-sin2θ+sinθ-1∈-3,-；(2)g(x(=+1=2-，2+,2[，函數(shù)g(x(轉化為函數(shù)y=2-，t∈[1,2[，由題知，(g(x(-1(min≥f(θ(，即f(θ(=cos2θ+2λsinθ-2≤0對于?θ∈R恒成立，令u=sinθ,則u∈[-1,1[，記h(u(=u2-2λu+1，u∈[-1,1[，故只要h(u(min≥0，77①當λ≤-1時，h(u(min=h(-1(=2+2λ≥0，解得λ≥-1，∴λ=-1，②當-1<λ<1時，h(u(min=h(λ(=1-λ2≥0，解得-1≤λ≤1，∴-1<λ<1，10.(2024·全國·模擬預測)德國數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet)是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一A.D(D(x))有零點B.D(x)是單調函數(shù)C.D(x)是奇函數(shù)D.D(x)是周期函數(shù)【詳解】根據狄利克雷函數(shù)的性質即可由D(x)=0或D(x)=1均為有理數(shù)求解A，根據D(1)=D(2)=1,D有理數(shù)或同為無理數(shù)即可求解D.所以D(D(x))=1>0，故D(D(x))沒有零點，A錯誤，對于C，因為x和-x同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以D(-x)=D(x)，故D(x)是偶函數(shù)，C錯誤，所以D(x+T)=D(x)，故D(x)是周期函數(shù)(以任意非零有理數(shù)為周期)，D正確，雷函數(shù)說法正確的是()A.D(D(e((=1B.它是偶函數(shù)(x(=D(-x(=1；若x∈QC，則-x∈QC，則D(x(=D(-x(=0，所以D(x(為偶函(,,C=D(x(，(x+T2(=0或1，則D(x+T2(≠D(x(，即任意非零有理數(shù)均是D(x(的周期，任何無理數(shù)都不是D(x(的周期，故C正確；8函數(shù)D(x(的值域為{0,1{，故D錯誤；8A.D(D(x((=1C.存在x是無理數(shù)，使得D(x+1(=D(x(+1D.?x∈R，總有D(x+1(=D(-x-1(((所以D(x+1(=0，當x是無理數(shù)時，x+1，-x-1均為無理數(shù)，此時有D(x+1(=D(-x-1(=0，當x是有理數(shù)時，x+1，-x-1均為有理數(shù)，此時有D(x+1(=D(-x-1(=1 所以?x∈R，總有D(x+1(=D(-x-1(，故選項D正確.13.(2024·重慶·一模)(多選)德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其命名的函數(shù)f(x(=A.函數(shù)f(x(為偶函數(shù)RQ，f(-x(=0=f(x(f(x(=0f(f(x((=f(0(=1，C正確；99()A.充分不必要條件B.必要不充分條件x>0x<0C.充要條件D.既不充分也不必要條件x>0x=0x<0x>0x=0x<0當sgn(ex-1(+sgn(-x+1(=0時，取x=-，則ex-1<0，-x+1>0，此時sgn(ex-1(+sgn(-x+1(=-1+1=0，則x>1不成立，即充分性不成立；x-1>0，-x+1<0，所以sgn(ex-1(+sgn(-x+1(=1-1=0，即必要性成立，x-1(+sgn(-x+1(=0”是“x>1”的必要不充分條件.15.(2024·北京·模擬預測)數(shù)學上的符號函數(shù)可以返回一個整型變量，用來指出參數(shù)的正負號，一般用-1,x<0x>0②函數(shù)f(x(的單調遞增區(qū)間為-+kπ,+kπ|(k∈Z(；④在[-2π,2π[上函數(shù)g(x(=xf(x(-1的零點個數(shù)為4.-2sinx,2sinx,cosx<0cosx>0f(x+π(=2sin(x+π(?sgn(cos(x+π((=-2sinx?(-sgn(cosx((=2sinx?sgn(cosx(=f(x(，函數(shù)g(x(=xf(x(-1的零點，即方程xf(x(-1=0的根，x=0時方程不成立，方程等價于f(x(=，函數(shù)f(x(與函數(shù)y=的圖象在[-2π,2π[上有4個交點，所以在[-2π,2π[上函數(shù)g(x(=xf(x(-1的零點個數(shù)為4.結論④正確.16.(22-23高三上·階段練習)已知max{a,b,c{表示a，b，c中的最大值，例如max{1,2,3{=3，若函數(shù)f(x(=max{-x2+4,-x+2,x+3{，則f(x(的最小值為()A.2.5B.3C.4D.5因為f(x(=max{-x2+4,-x+2,x+3{，所以f(x(的圖象如圖實線所示：由{可得A(-1,3(，由{)可得B,，由圖知f(x(在(-∞,-1(上單調遞減，在(-1,0(上單調遞增，在(0,上單調遞減，在,+∞(所以當x=-1時，y=-(-1(2+4=3，所以f(x(的最小值為3，a<b)17.(2024·廣東韶關·二模)定義maxa<b)則2x,3y,的值是((a,,min{a,(a,a<b,對于任意實數(shù)x>0,y>0，【詳解】設max{2x,3y,+{=M，則M≥2x,M≥3y,M≥+，設f(x)=x+2(x>0)，則f/(x)=1-3=x3x2，令f/(x)<0?0<x<32，f/(x)>0?x>32，12,即f(x)≥=22故f(x)min=f(12,即f(x)≥=22得f(2x)≥32,f(3y)≥32+=222所以3M≥2x+(2)2+3y+(3)2=f(2x)+f(3y+=222{max{2x,3y,42+92(=18.(2024·全國·模擬預測)設max{x,y,z{為x,y,z中最大的數(shù).已知正實數(shù)a,b，記M=max{(8a,2b,1則M的最小值為()A.1B.2C.2D.4所以M2≥4，M≥2，[a,b[x∈[a,b[19.(2024·湖北·一模)記max{f(x({，min{f(x({[a,b[x∈[a,b[m-[{[,[{|m+n-2n|{(L{=.【詳解】由|m+n-2n|=|(n-1)2+m-1|，設n為變量，{|m+n-2n|{=[,[{|(n-1(2+m-1|(L{，所以t=|(n-1)2+m-1|的最大值為max{|m-1|,|m+3|{，或者由|m+n-2n|=|(n-1)2+m-1|在n∈[0,9[時的最大值只可能在n=0或20.(2023·廣東廣州·模擬預測)歐拉函數(shù)φ(n((n∈N*(的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素的正A.3B.4C.5D.621.(2024·全國·模擬預測)(多選)歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內容．對于一個正整數(shù)n，歐拉函數(shù)φ(n(表示小于或等于n且與n互質的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說，φ(n(是所有不超過n且與n互素的數(shù)的總數(shù).A.φ(n(的定義域為N*，其值域也是N*B.φ(n(在其定義域上單調遞增，無極值點D.φ(n(≤n-1，當且僅當n是素數(shù)時等號成立n=M(xe,n)，x2和n求出x的值.(3)x=M(a0c,n).=2；X15=8.n+則φ(n(=n-1-(p-1(-(q-1(=(p-1((q-1(，由題知，M(sp-1,p(=M(tq-1,q(=1，又xp-1=(kp+s(p-1=(kp(p-1+C-1(kp(p-2s+???+C--kpsp-2+sp-1=N0p+sp-1(k,N0∈N+(，所以M(xp-1,p(=M(sp-1,p(=1，同理有M(xq-1,q(=1；于是記xq-1=kq+1(k∈N+(，xφ(n(=(kq+1(p-1=N1q+1(N1∈N+(，即M(ed,n(=x，即M([M(xe,n([d,n(=x；所以M(ed,n(=M(xde,n(=M(kepde,n(，又M(ke,n(=k1，M(pq-1,q(=1，所以M(ed,n(=M(pdeke,n(=pk1M(pkφ(n(,q(=xM([M(pq-1,q([k(p-1(,q(=xM(1,q(=x；1=3e2+12e=x3e+1，則M(x2e,n(=M(x3e+1,n(，則M(c,n(=M(xc,n(，+0=n，從而數(shù)列{nk{有且僅有k0+1項，考慮使aknk+1-ak+1nk=(-1(k(k∈N+,k≤k0(成立，令k=k0k+1=(-1(k-1，又由于n2，n3，?,nk及k0均由n0=n和n1=c確定，則數(shù)列{ak{的各項也可根據n和c確定，由上知M(a0c,n(=1，M(c,n(=M(xc,n(，則M(a0c,n(=M(xa0c,n(=M([M(x,n(?M(a0c,n([,n(=M(1?x,n(=x，即x=M(a0c,n(，其中a0是根據n和c唯一確定的.在1～2n-bn=--=，當n≤2時bn+1-bn>0，當n≥3時bn+1-bn<0，即b1<b2<b3>b4>b5>??,25.(23-24高三上·河南·階段練習)(多選)黎曼函數(shù)(Riemannfunction)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學A.R(B.黎曼函數(shù)的定義域為[0,1[C.黎曼函數(shù)的最大值為D.若f(x(是奇函數(shù)，且f(1-x(=f(x(，當x∈[0,1[時，f(x(=R(x(，則f((+f(+6(=因為p,q∈N*,是既約真分數(shù),0,1或(0,1(上的無理數(shù)，所以黎曼函數(shù)的定義域為[0,1[,B正確.因為f(1-x(=f(x(，所以f(-x(=f(x+1(.所以f(-x-1(=f(x+2(.因為f(x(是奇函數(shù)，所以f(-x-1(=-f(x+1(=-f(-x(=f(x(，所以f(x(=f(x+2(，即f(x(是以2為周期的周期函數(shù)，所以(+f(+6(=-,D錯誤.故選:BC.26.(2024·北京石景山·一模)黎曼函數(shù)在高等數(shù)學中有著廣泛應用，其一種定義為：x∈[0,1[時，R(x(=+,∴n=1n+1=n+2=對于ai=a1+a2+a3+?+an=，(n≥2(，構造函數(shù)g(x(=ex-x-1，(x>0(，則g/(x(=ex-1>0，g(x(單調遞增，x>x+1，e>+1,e>+>+1，f(x0))處的曲率，其中f/是f的導函數(shù)，f//(x(是f/(x)的導函數(shù)．則拋物線x2=2py(p>0)上的各點處的曲率最大值為()A.2pB.pC.=， 率表示曲線的彎曲程度.設函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為f/(x),f/(x證明：函數(shù)g=tanx,x圖象的曲率K(x)的極大值點位于區(qū)間.11-,yⅡ=-.11-,yⅡ=-.3((241-((2、,fⅡ(2)=-2,、,fⅡ(2)=-2,22=2|fⅡ(x0(|=.3=2|fⅡ(x0(|=.3((2[1+(f/(x0((((2y2y2+4(2)由g(x)=tanx=(x)=2sinx3x 2x(x)=2sinx3x 2x==2x,2sinx=cos3x2sinx=cos2sinx=cos3x2sinx=cos3x,33cos4x+1cos4x+14(1-cos2x(cos64(1-cos2x(cos6x(cos4x+1(3∴K2(x(===(cos4x+1(3,cos4x+,cos4x+1t)=.令m(t(=2t3-3t2-4t+3,m/(t(=6t2-6t-4<0，((=-4>0,m∴m((=-4>0,m ,4 ,4/(t)<0.,t0(/(t)<0.(,4,42x(,4,42x, 29.(22-23高三上·山東·階段練習)(多選)曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲,其中fⅡ(x(是f/(x(的導函數(shù)．下面說法正確的是()率,其中fⅡ(x(是f/(x(的導函數(shù)．下面說法正確的是()[1+(f/(x((2[1.5A.若函數(shù)f(x)=x3，則曲線y=f(x)在點(-a,-a3)與點(a,a3)處的彎曲程度相同B.若f(x)是二次函數(shù)，則曲線y=f(x)的曲率在頂點處取得最小值C.若函數(shù)f(x)=sinx，則函數(shù)K(x)的值域為[0,1]D.若函數(shù)f(x)=(x>0)，則曲線y=f(x)上任意一點的曲率的最大值為又K(x)=K(-x)，所以K(x)為偶函數(shù)，曲線在兩點的彎曲長度相同，故A正確；對于C，f/(x)=cosx，fⅡ(x)=-sinx，t≤1時，y=t單調遞增且y>01.5單調遞增且m>0，根據復合函數(shù)的單調性知y=(2-t2(1.5在0<t≤1時單調遞減，所以可知p(t)=在0<t≤1時單調遞增，對于D，f/(x)=-，fⅡ(x)=，K(x)==≤=，=f(x(在點x0處左可導.當函數(shù)y=f(x(在點x0處既右可導也左可導且導數(shù)值相等，則稱函數(shù)y=f(x(在點x0處可導.(2)已知函數(shù)f(x(=x2eax+1-x3sinx-ex2.(ⅰ)求函數(shù)g(x(=eax+1-xsinx-e在x=0處的切線方程；=-1，又g/(x(=2axeax+1-sinx-xcosx，則k=g/(0)=0，(ⅱ)f(x(=x2eax+1-x3sinx-ex2=x2(eax+1-xsinx-e(，，故f(x(與g(x(同號，g(x(=eax+1-xsinx-e，先考察g(x(的性質，由于g(x(為偶函數(shù)，只需分析其在(0,+∞(上的性質即可，/(x(=2axeax+1-sinx-xcosx，g/(0(=0,，設m(x(=2axeax+1-sinx-xcosx,x∈(0,+∞(，則m/(x(=(2a+4a2x2(eax+1-2cosx+xsinx，m/(0(=2ae-2，則必存在一個區(qū)間(0,m(，使得m/(x(<0，則g/(x(在(0,m(單調遞減，又g/(0(=0，則g/(x(在區(qū)間(0,m(內小于0，則g(x(在(0,m(單調遞減，又g(0(=0，故g(x(在區(qū)間(0,m(內小于0，故f(x(在區(qū)間(0,m(內小于0，則x=0不可能為f(x(的極小值點.②當a≥時，g(x(=eax2+1-xsinx-e≥ex2+1-xsinx-e， 令h(x(=ex2+1-xsinx-e，h/(x(=ex2+1-sinx-xcosx，令s(x(=ex2+1-sinx-xcosx，/(x(=+x2x2+1-2cosx+xsinx，易知y=+x2x2+1在區(qū)間(0,+∞(上單調遞增，對y=-2cosx+xsinx，y/=2sinx+sinx+xcosx=3sinx+xcosx，則y/=3sinx+xcosx在區(qū)間(0,上大于0，故y=-2cosx+xsinx在區(qū)間(0,上單調遞增./(x(=+x2x2+1-2cosx+xsinx在區(qū)間(0,上單調遞增.又s/(x(≥0，故h/(x(在區(qū)間(0,上單調遞增，又h/(0(=0，故h/(x(≥0，故h(x(在區(qū)間(0,則g(x(=eax2+1-xsinx-e≥h(x(>0，x∈(0,，故x=0為f(x(的極小值點，所以a的取值范圍為a≥.31.(2024·貴州·模擬預測)定義：設f/(x)是f(x)的導函數(shù)，fⅡ(x(是函數(shù)f/(x)的導數(shù)，若方程fⅡ(x)=0有實數(shù)解x0，則稱點(x0,f(x0((為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2-x+a圖象的對稱中心為(0,1)，則下列說法中正確的有()A.a=1，b=0B.函數(shù)f(x)C.函數(shù)f(x)有三個零點D.y=f(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減【詳解】由f(x)=x3+bx2-x+a，可得f/(x(=3x2+2bx-1，fⅡ(x(=6x+2b，因為函數(shù)f(x)=x3+bx2-x+a圖象的對稱中心為(0,O1(，由以上過程可知f(x)=x3-x+1，f/(x(=3x2-1，且當x<-或x>時，f/(x(>0；當-<x<時，f/(x(<0.于是f(x)在(-∞,-和,+∞(上都是增函數(shù)，在(-,(上是減函數(shù)，故選項D錯誤；因為f(x)=x3-x+1關于點(0,1(對稱，所以f(x)的極大值與極小值之和為2，故選項B正確；因為函數(shù)f(x)極小值f=>0，32.(2024·河南·三模)設函數(shù)f(x(的導函數(shù)為f/(x(,f/(x(的導函數(shù)為fⅡ(x(,fⅡ(x(的導函數(shù)為f川(x(.若f(x0(=0,f(x0((為曲線y=f(x(的拐點.(2)已知函數(shù)f(x(=ax5-5x3，若,f為曲線y=f(x(的一個拐點，求f(x(的單調區(qū)間與極值.(2)單調遞增區(qū)間為(-∞,-1(,(1,+∞(；單調遞減區(qū)間為[-1,1[，極大值為2，極小值為-2.(2)解：由函數(shù)f(x(=ax5-5x3，可得f/(x(=5ax4-15x2,fⅡ(x(=20ax3-30x=10x(2ax2-3(，因為,f為曲線y=f(x(的一個拐點，所以fⅡ=0，≠0，所以f/(x(=15x4-15x2=15x2(x2-1(.當x<-1或x>1時，f/(x(>0，則f(x(的單調遞增區(qū)間為(-∞,-1(,(1,+∞(；當-1≤x≤1時，f/(x(≤0，且f/(x(=0不恒成立，則f(x(的單調遞減區(qū)間為[-1,1[，x-1的極限即為01696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限)D.2【詳解】l=l=l=2，=.f(x(≥f成立，且3<cosx，x(2)l1+=e【詳解】(1)設F(x(=f(x(-f=x3-x，由于F(1(=-<0，所以f(x(≥f不成立，故f(x(=x3-3x不是區(qū)間[0,3[上的2階無窮遞降函數(shù).(2)設g(x(=(1+g(x(=ln(1+x(=，設h(x(=，則ll=l=1，f=，所以=?=-=>1，t(>f，所以f(t(>f>?>f，因為l=lcosx=1，要方法，其含義為：若函數(shù)f(x(和g((2)函數(shù)f(x(=1+x+++?+-(n≥2，n∈N*)，判斷并說明f(x(的零點個數(shù)；1,x=0.1,x=0.(2)f(x(=1+x+++?+-，f′(x(=1+x+++?+-，所以f′(x(-f(x(=--，=′=-.nsin2nsin， x即g(x(=sin x1,x=0.數(shù)為“不動點”函數(shù)．函數(shù)f(x)=2x-sinx+【詳解】令f(x)=2x-sinx+cosx=x，即x-sinx+cosx=0，由題意可知即求函數(shù)g(x)=x-sinx+cosx的零點個數(shù)，當x≥時，g(x)=x-、2sin(x-≥-、2>0，此時不存在零點；當x≤-π時，g(x)=x-、2sin(x-≤-π+、2<0，此時不存在零點；令g/令g/故g(x)在(-π,上有且僅有一個零點，綜上所述，f(x)=2x-sinx+cosx僅有一個不動點.37.(2024·廣東廣州·二模)若x0是方程f(g(x((=g(f(x((的實數(shù)解，則稱x0是函數(shù)y=f(x(與y=g(x(的“復合穩(wěn)定點”．若函數(shù)f(x(=ax(a>0且a≠1)與g(x(=2x-2有且僅有兩個不同的“復合穩(wěn)定點”，則a的取值范圍為()A.(0,,1(C.(1,2(D.(2,+∞(2x-2=2ax-2即(ax(2-2a2ax+2a2=0有兩個不同實根，令t=ax，則t2-2a2∴a2x-2=2ax-2，即(ax(2-2a2ax2-2a2t+2a2=0在(0,+∞(上有兩個不同實根，空間并構成了一般不動點定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡單地講0為該函數(shù)的不動點.(1)求函數(shù)f(x)=2x+x-3的不動點;(2)若函數(shù)g(x)=lnx-b有兩個不動點x1,x2，且x1<x2，若x2-x1≤2，求實數(shù)b的取值范圍.(1)log23(2)ln-≤b<-1(1)根據不動點定義求解即可；(2)根據題意問題轉化為方程b=lnx-x有兩個不等的實數(shù)根x1,x2，令φ(x(=lnx-x，利用導數(shù)判斷單調性所以函數(shù)f(x(的不動點為log23.(2)函數(shù)g(x(有兩個不動點x1,x2，即方程lnx-b=x，即b=lnx-x有兩個不等的實數(shù)根x1,x2，令φ(x(=lnx-x，則φ/(x(=-1=，x(<0，所以函數(shù)φ(x(在(0,1(上單調遞增，在(1,+∞(上單調遞減，所以b<-1，且x2-x1的值隨著b的值減小而增大，當x2-x1=2時，有兩式相減得ln=x2-x1=2，x2-x1=2，解得x1=，所以此時b=ln-，所以滿足題意的實數(shù)b的取值范圍為ln-≤b<-1.函數(shù)f(x(=ex-2x+ae-x(x≥0(.，證明>ln(n+1(.*【詳解】(1)當a=-1時，有f(x(=ex-2x-e-x(x≥0(，所以f/(x(=ex+-2(x≥0(，所以f/(x(=ex+-2≥2ex?-2=0所以f(x(≥f(x(min=f(0(=0，所以f(x(≥0得證.x-2x=x(x≥0(解的個數(shù)即為函數(shù)f(x(的不動點的個數(shù)，化ex-2x=x(x≥0(為ex-3x=0(x≥0(，令g(x(=ex-3x(x≥0(，xln3(ln3,+∞(x(-0+g(x(3-3ln3所以g(x(在[0,ln3(上有唯一一個零點，又g(5(=e5-15>25-15=17>0，所以g(x(在(ln3,+∞(上有唯一一個零點，x-2x-e-x>0,x∈(0,+∞(，令x=lns,s>1，則s-2lns-s-1>0，即s->2lns,s>1，-1+1-n11+1nn1+1n>ln(1+，n2+n所以1>ln=ln(n+1(-n2+n所以1+1+?+1>ln2-ln1+ln3-ln2+?+ln(n+1)-lnn=ln(n+1(，即2+12+12+21+1+?+1>ln(n+1(.2+12+12+20為函數(shù)f(x)的一(2)若f(x(=(a+1(x-+(a>-1)，討論集合B的子集的個數(shù).(1)令g(x)=f(x)-x=e-x，求導得g(x)=e-1，所以g(x)min=g(e)=0，所以g(x)有唯一零點，所以集合A={x|f(x)=x{中有且僅有一個元素；(2)當a>-1時，由函數(shù)f(x)=(a+1)x-+，可得導函數(shù)f(x)=(a+1)++×>0，所以f(x)在(0，+∞)上即f(x)穩(wěn)定點與f(x)的不動點等價，故只需研究f(x)=(a+1)x-+的不動點即可；令F(x)=f(x)-x=lnx+ax-,(x>0)，且F(e2)=lne2+a×e2->0，所以此時f(x)有唯一不動點；故F(x)max=F(x1)=lnx1+ax1-=lnx1--，設h(x)=lnx--，則h(x)在(0，+∞)上單調遞增，且h(e2)=lne2--，又a=-×-在x1∈(0,+∞)時單調遞增，故(i)當F(x)max=lnx1--=0時，即x1=e2，(ii)當F(x)max=lnx1--<0，即x1<e2，此時-1<a<-，方程F(x)=0無解，即f(x)無不動點，所以集合B的子集有1個；(iii)當F(x)max=lnx1-->0時，即x1>e2，此時-<a<0，方程F(x)=0有兩個解，即f(x)有當-<a<0時，集合B的子集有4個.x,x>00x>0x<0x,x>0x<0Lx+a,f(x+1(=1恰有3個不等實數(shù)根，①當x>0時，x+1>0，方程f(x(f(x+1(=1可化為e2x+1=1，解得x=-，這與x>0不符，因此在(0,+∞(內f(x(f(x+1(=1沒有實數(shù)根；②當-1<x<0時，x+1>0，方程f(x(f(x+1(=1可化為=1，該方程又可化為a=ex+1-x.設k(x(=ex+1-x，則k/(x(=ex+1-1，f(x(f(x+1(=1在(-1,0(內恰有一個實數(shù)根；f(x(f(x+1(=1在(-1,0(內沒有實數(shù)根.③當x=-1時，x+1=0,f(x+1(沒有意義，所以x=-1不是f(x(f(x+1(=1的實數(shù)根.?x+ax+a+1④當x<-1時，x+1<0，方程?x+ax+a+1化為x2+(2a+1(x+a2+a-1=0，于是此方程在(-∞,-1(內恰有兩個實數(shù)根，1+則有{-2a1<-1，解得a>(2a+1(21+則有{-2a1<-1，解得a>1-(2a+1(+a2+a-1>0因此當a>1+25時，方程f(x(f(x+1(=1在(-∞,-1(內恰有兩個實數(shù)根，當0<a≤時，方程f(x(f(x+1(=1在(-∞,-1(內至多有一個實數(shù)根，x,h(x)=x+a(a>0).-3,-1(；即(2+a((2-2+a(=1，整理a2+(22-2(a+1-22=0，即(a+22-1((a-1(=0，解得a=1，xx(=ex(x+1)2+2ex(x+1(=ex(x+1((x+3(，x>0x<0x,x>0x<0Lx+a,+1(=1恰有3個不等實數(shù)根，①當x>0時，x+1>0，方程ω(x(ω(x+1(=1可化為e2x+1=1，解得x②當-1<x<0時，x+1>0，方程ω(x(ω(x+1(=1可化為=1，該方程又可化為a=ex+1-x.設k(x(=ex+1-x，則k/(x(=ex+1-1，x(ω(x+1(=1在(-1,0(內沒有實數(shù)根.③當x=-1時，x+1=0,ω(x+1(沒有意義，所以x=-1不是ω(x(ω(x+1(=1的實數(shù)根.化為x2+(2a+1(x+a2+a-1=0，于是此方程在(-∞,-1(內恰有兩個實數(shù)根，則有{-2<-1，解得a>2，-4(a2+a-1則有{-2<-1，解得a>2，1-(2a+1(+a2+a-1>043.(2024·貴州貴陽·一模)英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：ex=1+x+++?++?其中n!=1×2×3×4×?×n,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828??.以上公式稱為泰勒公式.設f(x(=x≥1+x；<g(x(；≥h(0(=0，即ex≥1+x.x=1+x+++++?++?,①于是e-x=1-x+-+-+?+(-1)n+?,②f(x(==x+++?+-+?,g(x(==1+++?+-+?,即<g(x(.所以當a≤1時，G/(x(≥1-a≥0，所以F/(x(在R上單調遞增.lna(=(-a=-a(<0，x(在(-lna,lna(上單調遞減.所以當-lna<x<0時，F(xiàn)/(x(>0；當0<x<lna時，F(xiàn)/(x(<0.所以F(x(在(-lna,0(上單調遞增，在(0,lna(上單調遞減.性.可導，則有如下公式xn=ffⅡf川x3+?+ex=1+x+x4+?x,e-xf(n((x(=ex,f(n((0(=1，由泰勒展開式可得ex=1+x+x2+x3+x4+?;x=1+x+x2+x3+x4+x5?,e-x=1-x+x2-x3+x4-x5+?,所以f(x(=2+x2+x4+x6+?+1-ax2，則f/(x(=x+x3+x5+?-2ax=x+x2+x4+?-2a(，則當x在0的附近時，+x2+x4+?-2a≥0即可，x=1+x+x2+x3+x4+x5?,所以e2=1+2+122+123+124+5+6+4+5+6+7+=(7+t(4，3++C?0.3843++C?0.414所以k=30.f(x(的四階導數(shù)??,一般地，函數(shù)f(x(的n-1階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)f(x(的n階導數(shù)，記作f(n((x(=[fn-1(x([,，n≥4；f(x0(+(x-x0(+(x-x0(2+?+(x-x0(n+?,我們將g(x(稱為函數(shù)f(x(在點x=x0處的泰勒展開式.例如f1(x)=ex在點x=0處的泰勒展開式為g1(x)=1+x+x2+?+xn+?(1)求出f(x)=cosx在點x=0處的泰勒展開式g(x(；?(1-((1+試求的值.【答案】(1)cosx=1-+-+?++?(3)由(1)可得-sinx=-+-+?+-+?,進而可得++?,結合已知可得結論.(x)=-sinx，f''(x(=-cosx，?,所以f(0)=cos0=1，f,(0)=-sin0=0，f''(x(=-cos0=-1，?,所以cosx=1-+-+?++?(2)由(1)可得cos0.3=1-+-+?++?≈1-+=1-0.045+(3)因為=(1-1+1-1+1-1+?=(1-1-??①,對cosx=1-+-+?++?,兩邊求導可得：-sinx=-+-+?+-+?,鍵在于用n階泰勒展開式表示.展開式為：f(x(=f(0(+f/(0(x+x2+?+xn+?=xn，其中f(n((0(表示f(x(的n階導數(shù)在0處的取值，我們稱xn為f(x(麥克勞林展開式的第n+1項．例如：ex=1+(2)數(shù)學競賽小組發(fā)現(xiàn)ln(1+x(的麥克勞林展開式為ln(1+x(=x-這意味著：當x>0時，ln(1+x(>x-你能幫助數(shù)學競賽小組完成對此不等式的證明嗎？當x≥1時，若ex+lnx++mx，求整數(shù)m的最大值.3x(=cosx,f(2((x(=-sinx,f(3((x(=-cosx,所以第2項x1=x,x3=-因為x>0,所以g/(x(=>0,g(x(單調遞增，所以g(x(>g(0(=ln1-0+0=0，所以ln(1+x(>x-.1+ln1+>+m成立，得出m<e+，m的最大整數(shù)不超過3.當m=3時，因為x≥1，所以ex>1+x++，所以ex+lnx+--3x>1+x+++lnx+--3x=+lnx+-2x，所以ex+lnx+>+3x，故當x≥1時，ex+lnx+>+3x，所以整數(shù)m的最大值為3.47.(2024·河南周口·模擬預測)已知函數(shù)f(x(=(x-1(ln(1-x(-x-cosx.(1)求函數(shù)f(x(在區(qū)間(0,1(上的極值點的個數(shù).(2”是一個求和符號，例如i=1+2+?+n，=2x+2x2+?+2xn，等等．英國數(shù)學家布典應用. ,在構造相應函數(shù)多次求導即可得解由lnn=可將原問題x(=ln(1-x(+(x-1(×-×(-1(-1+sinx=ln(1-x(+sinx，令g(x(=ln(1-x(+sinx，則g/(x(=--+cosx，則f/(x(<f/(0(=ln1-0=0，令h(x(=，其中n→+x>0，=-1+x2(-1)n+令m(x(=μ/(x(=-sinx+x++-，則m/(x(=-cosx+1++-，故m/(x(≥0恒成立，即m(x(在(0,+∞(上單調遞增，故m(x(>m(0(=-sin0+0+0+0=0，即μ/(x(>0在(0,+∞(上恒成立，即μ(x(在(0,+∞(上單調遞增，故μ(x(>μ(0(=1-1+0+0+0=0，即h/(x(>0在(0,+∞(上恒成立，故h(x(在(0,+∞(上單調遞增，則h(x(>h(0(=0，即=ln(1-x(+sinx<0， 故只需證sin>-，令n(x(=sinx-x+，x∈(0,+∞(，則n/(x(=cosx-1+，x(=cosx-1+即cosx-1+>0，即n/(x(>0，故n(x(在(0,+∞(上單調遞增，故n(x(=sinx-x+>n(0(=0，即sin即得證.函數(shù)h(x(=，得到h/(x(=cosx-1+即可借助導數(shù)求單48.(2024·全國·模擬預測)已知函數(shù)f(x(=(x-a(e-x+x2-2x,g(x(=xe-x-ex-1-x3+ax2-f(x(，且f(x(在x=0處取得極大值.(1)求a的值與f(x(的單調區(qū)間.(1)a=1，f(x(的單調遞增區(qū)間為(-∞,0(和(2,+∞(，單調遞減區(qū)間為(0,2(.(2)猜想f/(c(=，m=(1)根據f(x(在x=0處取得極大值得f/(0(=0，求出a=1，利用導數(shù)求出函數(shù)f(x(的單調區(qū)間；由f(x(=(x-a(e-x+x2-2x，得f/(x(=(a+1-x(e-x+x-2.則f/(x(=(2-x(e-x+x-2=(x-2((1-e-x(.令f/(x(>0，即(x-2((1-e-x(>0，解得x∈(-∞,0(∪(2,+∞(，令f/(x(<0，即(x-2((1-e-x(<0，解得x∈(0,2(，所以f(x(在(-∞,0(和(2,+∞(上分別單調遞增，在(0,2(上單調遞減.所以a=1滿足題意，f(x(的單調遞增區(qū)間為(-∞,0(和(2,+∞(，單調遞減區(qū)間為(0,2(.=.因為k=表示f(x(的圖像上兩端點A,B在該點處的切線與f(x(的圖像上兩端點A=f/(c(，-x-ex-1-x3+x2+2x，則g/(x(=-(e-x+ex-1(-x2+x+2=-(e-x+ex-1(-(x-2+≤-2e-x?-0+=-，又g/(x(≤-,所以kAB=g/(c(≤-.lnx+b2(x-4)eax-x3+x2.<x2<x3，求證【詳解】(1)當a=-1,b=0時f(x(=x2則f(x0(===15，即f(x0(=x0=15，解得x0=4(2)當a=-1,b=1時f(x)=(x-4(e-x-x3+3x2，不妨設A(x4,f(x4((，B(x5,f(x5((，x4<x5，則kAB=，又f(x)=(5-x(e-x-x2+6x，令F(x(=f(x)=(5-x(e-x-x2+6x，則F(x(=(x-6(e-x-x+6=(x-6((e-x-1(，-x-1<0恒成立，所以當0<x<6時F(x(>0，當x>6時F(x(<0，所以F(x(在(0,6(上單調遞增，在(6,+∞(上單調遞減，所以F(x(在x=6處取得極大值，即最大值，所以F(x(≤F(6(=18-e-6，所以f(x(≤18-e-6，由拉格朗日中值定理可知必存在c∈(x4,x5(使得f(c)=，即f(c)=kAB，又f(x(≤18-e-6，所以kAB≤18-e-6，即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)圖象上任意兩點A，B連線的斜率不大于18-e-6；(3)當a=1,b=-1時f(x)=lnx+(x-4)ex-x3+x2，∈(x2,x3(，使得f(c1)=，f(c2)=，所以只需證明f(c1)≥f(c2)，即證明f(x(在,1(上單調遞減，又f(x)=xlnx+(x-3)ex-x2+2x，令G(x(=f(x)=xlnx+(x-3)ex-x2+2x，則G(x(=lnx+(x-2)ex-x+3，令m(x(=G(x(=lnx+(x-2)ex-x+3，則m(x(=+(x-1)ex-1=(x-1((ex-，令n(x(=ex-，x∈,1(，則n(x(=ex+>0，則n(x(在,1(上單調遞增，又n=e，n(1(=e-1>0，∈,1(使得n(x0(=0，所以當x∈,x0(時n(x(<0，則m(x(>0，即m(x(單調遞增，1(時n(x(>0，則m(x(<0，即m(x(單調遞減，所以m(x(在x0處取得極大值，即最大值，所以m(x(≤m(x0(=lnx0+(x0-2(ex0-x0+3=-x0+-x0+3-2x+4x0-2x0x0即f(x(在,1(上單調遞減，命題得證.(2)構造新的函數(shù)h(x(；(3)利用導數(shù)研究h(x(的單調性或最值；題.50.(23-24高二下·江西九江·階段練習)已知函數(shù)f(x(=x2-3x+alnx，a∈R.(1)當a=1時，求函數(shù)f(x(的在點(1,f(1((處的切線；(2)若函數(shù)f(x(在區(qū)間[1，2[上單調遞減，求a的取值明理由.(1)y=-2(2)a≤-2f(x(不是(1)利用導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)f(x(的在點(1,f(1((處的斜率即可求解；(2)利用導數(shù)的幾何意義可得f(x(=≤0在[1，2[上恒成立，參變分離可得a≤(-2x2+3x(min(3)假設函數(shù)f(x(是“拉格朗日中值函數(shù)”，設A(x1,y1(，B(x2,y2(是f(x(上不同的兩點，且0<x1<x2，代入(1)由題意可知當a=1時，f(x(=x2-3x+lnx，f(1(=1-3+0=-2，f(x(=2x-3+，所以函數(shù)f(x(的在點(1,-2(處切線的斜率k=f(1(=2-3+1=0，所以函數(shù)f(x(的在點(1,-2(處的切線為y=-2.(2)由題意可得f(x(=2x-3+=，即a≤-2x2+3x在x∈[1,2[恒成立，只需a≤(-2x2+3x(min即可，又因為當x∈[1,2[時y=-2x2+3x∈[-2,1[，所以a≤-2.2(是f(x(上不同的兩點，且0<x1<x2，由題意可得f(x1(=x-3x1+alnx1，f(x2(=x-3x2+alnx2，則kAB==-=x2+x1-3+，函數(shù)f(x(在拉格朗日平均值點處的切線斜率k=f/=x1+x2-3+，令=t(t>1(，上式化為lnt==2-，即lnt+=2，所以在(1,+∞(上不存在t使得lnt+=2，即不存在這樣的A,B兩點使得f/=；f/(c((b-a(成立．設f(x(=ex+x-4，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828．易知，f(x(在實數(shù)集Rf(x(<1；(2)從圖形上看，函數(shù)f(x(=ex+x-4的零點就是函數(shù)f(x(的圖象0作為r的初始近似值，使得0<f(x0(<，然后在點(x0,f(x0((處作曲線y=f(x(1是r的一次近似值；在點(x1,f(x1((處作曲線y=f(x(的,?,xn,?.①當xn>r時，證明：xn>xn+1>r；證明：0<xn-r<.又由f(r)=0，得f(x)=f(x)-f(r)，根據拉格明日中值定理，存在c∈(r,x)，f(x)=f(x)-f(r)=f/(c)(x-r)<f/(c)=(ec+1)，因為r∈(1,，所以c<x<r+<+<2，(ec+1)<(e2+1)<1，所以0<f(x)<1.(2)①先證xn>xn+1，在(xn,f(xn))處，曲線y=f(x)的切線方程為y-f(xn(=f/(xn((x-xn(，令y=0，得x=xn-，即xn+1=xn-，由于xn>r，f(x)在R上單調遞增，則f(xn(>f(r(=0，而f/(x(=ex+1>0，則有>0，所以xn+1=xn-<xn，即xn>xn+1；n+1>r，由于f(x)在R上單調遞增，只需證f(xn+1(>f(r(=0，曲線y=f(x)的切線方程為y-f(xn(=f/(xn((x-xn(，即y=f(xn(+f/(xn((x-xn(，根據xn+1的定義，f(xn(+f/(xn((xn+1-xn(=0，令h(x(=f(x(-f(xn(-f/(xn((x-xn(，x∈[xn+1,xn[，hx(=f/(x(-f/(xn(=ex-ex<0，x∈[xn+1,xn[，于是h(x)在[xn+1,xn]上單調遞減，而h(xn(=f(xn(-f(xn(-f/(xn((xn-xn(=0，因此h(xn+1(>0，又h(xn+1(=f(xn+1(，即f(xn+1(>0，所以xn+1>r，綜上xn>xn+1>r.②由f(x)在R上單調遞增，0<f(x0(<，得x0>r，則x0>x1>x2>?>xn>?>r>1，由①0<f(xn(<1x(====<<<，n+1-r=φ(xn(-φ(r(=φ/(c)(xn-r(<(xn-r(，n∈N，0-r820-r82-r11-r<8即<，于是<，累乘得<，所以xn-r<(x0-r(<1-r<8|???n-1-r8n-1-r8程為：y-f(x0)=f/(x0)(x-x0).ff(x(=ln(x+1(在x=0處的[1,1[階帕德近似為R(x(=.注：fⅡ(x(=[f/(x([/,f川(x(=(4(x=[f川(x([/,f(5(x=[f(4(x[/...(2)求證：(x+b(f>1；bb=等式.x(=∵f(x(=ln(x+1(，則f/(x(=，fⅡ(x(=-t(=-=>0t>1∴(x+ln(1+>1成立，即(x+b(f>1成立.x<e<(1+x+成立，則至少有1+>0，即x>0或x<-1首先考慮e<(1+x+(1+x+>1，即(x+ln(1+>1，再考慮(1+x<e，該不等式等價于xln(1+<1，'(x(<0當x∈(-∞,-1(時由ln(1+<，可知xx<e<(1+x+的解集為(0,+∞(.算機數(shù)學中有著廣泛的應用.已知函數(shù)f(x)在x=0處的[m,n[階帕德近似定義為：R(x)=中f(2)(x)=[f/(x)[/，f(3)(x)=[f(2)(x)[/，?,f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)[/.已知f(x)=ln(x+1)在x=0處的[2,2[階帕德近似為R(x)=a+bx+2.1+x+2(2)設h(x(=f(x(-R(x(，證明：xh(x)≥0； λ(3)設x1<x2<x3≤0及λ>0進行討論，結合函數(shù)單調性與零點的存在性定理計算可得當且=，(2)依題意，h(x)=f(x)-R(x)=ln(1+x)-，h/(x)=-=≥0，(3)不妨設x1<x2<x3，令t(x)=lnx-λ(x-，tI(x)=-λ(1+=(x>0)，當λ>0時，令s(x)=-λx2+x-λ,其判別式Δ=1-4λ2，若Δ=1-4λ2>0，即0<λ<，tI(x)=0存在兩個不等正實根r1,r2(r1<r2(，r1,r2(r2,+∞(r1(<0,t(r2(>0，所以t(λ4(=lnλ4-λ(λ4->2--λ5+=(2-λ5(+-2(>0，t(x1(=0，又因為t=ln-λ-x(=-lnx+λ(x-=-t(x)，故當且僅當0<λ<時，lnx=λ(x-存在三個不等實根，且滿足x1<x2=1<x3，且x1=，因此，lnx>(x>1)，故lnx3=λ(x3->，化簡可得：<=x3+4+=x1+x2+x3+3，函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x(在x=0處的[m,n[階帕德近似定義為：R(x(=x(=[f/(x([/，f川(x(=[fⅡ(x([/，f(4((x(=[f川(x([/，f(5((x(=[f(4((x([/，??已知函數(shù)f(x(=ln(x+1(.②若f(x(-m+1(R(x(≤1-cosx恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.O②由已知令h(x(=ln(x+1(-mx+cosx-1，且h(0(=0，所以x=0是h(x(的極大值點，求導得到h/(x(=-m-sinx，故h/(0(=1-m=0，m=1，得到m之后寫出h(x(=ln(x+1(-x+cosx-1，然后求由f(0(=R(0(得a0=0，所以R(x(=，所以ln1.1=f(0.1(≈R(0.1(==≈0.095.因為F/(x(=-=<0，所以F(x(在x∈(-1,0(及(0,+∞(上均單調遞減.-1,0(，F(xiàn)(x(>F(0(=0，即>ln(x+1(， ln(x+1(ln(x+1(，ln(x+1(ln(x+1(，②由f(x(-m+1(R(x(≤1-cosx得ln(x+1(-mx+cosx-1≤0在(-1,+∞(上恒成立，令h(x(=ln(x+1(-mx+cosx-1，且h(0(=0，所以x=0是h(x(的極大值點，又h/(x(=-m-sinx，故h/(0(=1-m=0，則m=1，當m=1時，h(x(=ln(x+1(-x+cosx-1，所以h/(x(=-sinx-1=-sinx-，-1,0(時，-sinx>0，->0，則h/(x(>0，故h(x(當x∈(0,+∞(時，h(x(=[ln(x+1(-x[+(cosx-1(，令φ(x(=ln(x+1(-x，因為φ/(x(=-1<0，所以φ(x(在(0,+∞(上單調遞減，故當x∈(0,+∞(時，h(x(=[ln(x+1(-x[+(cosx-1(<0，綜上，當m=1時，f(x(-m+1(R(x(≤1-cosx恒成立.(1)直接構造函數(shù)法：證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))轉化為證明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<55.(23-24高二下·湖北·期中)帕1+b1x+?+bnxn,,,a0+a1x+?+amxm，且滿足：f(0(=R(0(f/(0(=R/(0(fⅡ(01+b1x+?+bnxn,,,fx(=[f/(x([/，f川(x(=[fⅡ(x([/,f(4((x(=[fⅡ(x([/,f(5((x已知f(x(=ln(x+1(在x=0處的[1,1[階帕德近似為g(x(=.≥g(x(；0(列方程組求解可得；(1)由f(x(=ln(x+1(,g(x(=，有f(0(=g(0(，可知fl(x(=,fⅡ(x(=-,gl(x(=,gⅡ(x(=，令φ(x(=f(x(-g(x(=ln(x+1(-(x≥0(，則φl(x(=-=≥0，所以φ(x(在其定義域(-1,+∞(內為增函數(shù)，又φ(0(=f(0(-g(0(=0，∴x≥0時，φ(x(=f(x(-g(x(≥φ(0(=0，得證.(3)h(x(=f(x(-g(x(=ln(x+1(-的定義域是(-1,+∞(，hl(x(=-=.①當a≤2時，hl(x(≥0，所以h(x(在(-1,+∞(上單調遞增，且h(0(=0，所以h(x(在(-1,+∞(上存在1個零點；(x(=x2+(4-2a((x+1(=x2+(4-2a(x+(4-2a(，由t(x(=0，得x1=(a-2(-、a2-2a〈0,x2=(a-2(+a2-2a〈0.又因為t(-1(=1>0,t(0(=4-2a<0，所以x1∈(-1,0(,x2∈(0,+∞(.x(-1,x1(x1(x1,x2(x2(x2,+∞(hl(x(+0-0+h(x(極大值h(x1(極小值h(x2(,x2(時，因為h(0(=0，所以h(x(在(x1,x2(上存在1個零點，且h(x1(>h(0(=0,h(x2(<h(0(=0；當x∈(-1,x1(時，因為h(e-a-1(=lne-a-=-<0，-1<e-a-1<0，而h(x(在(-1,x1(單調遞增，且hl(x1(=0，而h(e-a-1(<0，故-1<e-a-1<x1，所以h(x(在(-1