4.2.1

指數(shù)函數(shù)的概念

對(duì)于冪ax(a>0),我們已經(jīng)把指數(shù)的范圍拓展到了任意實(shí)數(shù)，通過函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)和對(duì)冪函數(shù)的研究，我們掌握了研究函數(shù)的一般方法：背景概念圖像與性質(zhì)應(yīng)用從這節(jié)課開始，我們將給大家介紹兩個(gè)的基本初等函數(shù)——指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。溫故知新問題１隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數(shù)不斷增加，Ａ，Ｂ兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，Ａ地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而Ｂ地則取消了景區(qū)門票．下表給出了Ａ，Ｂ兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．新課引入比較一下兩地景區(qū)旅游人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？為了便于觀察，可以先根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)，然后用光滑的曲線將離散的點(diǎn)連接起來.

為了有利于觀察規(guī)律，根據(jù)表，分別畫出Ａ，Ｂ兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖.分析：為了便于觀察，可以先根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)，然后用光滑的曲線將離散的點(diǎn)連接起來.觀察圖像和表格，可以發(fā)現(xiàn)：A景區(qū)的游客人次近似于直線上升(線性增長)，年增加量大致相等(約為10萬人次).分析：為了便于觀察，可以先根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)，然后用光滑的曲線將離散的點(diǎn)連接起來.觀察圖像和表格，可以發(fā)現(xiàn)：B景區(qū)的游客人次是非線性增長，年增加量越來越大，難從圖像和年增加量都難看出變化規(guī)律.【探究】我們知道，年增加量是對(duì)相鄰兩年的游客人次做減法得到的.那么能否通過對(duì)B景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？增加量=變后量-變前量從2002年起，將B景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到【結(jié)論】結(jié)果表明，B景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù).……增長率=增加量變前量變后量-變前量=變前量=變前量變后量-1【總結(jié)】B景區(qū)的游客人次的年增長率都約為0.11.增長率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長，因此，B景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長.B景區(qū)：2001年的游客人次為278萬；1年后，游客人次是2001年的1.11倍；2年后，游客人次是2001年的1.112；3年后，游客人次是2001年的1.113；············x年后，游客人次是2001年的1.11x；如果設(shè)x

年后的游客人次是2001年的y

倍，那么y=1.11x(x∈[0,+∞))這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量.問題２

當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1-p);死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1-p)2

;……設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么死亡x年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1-p)x

;如果設(shè)

x

年后生物體內(nèi)碳14含量為y

，那么y=(1-p)x

(x∈[0,+∞))死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1-p)5730;設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么如果設(shè)

x

年后生物體內(nèi)碳14含量為y

，那么y=(1-p)x

(x∈[0,+∞))

和y=1.11x，x∈[0，+∞)如果用字母a代替底數(shù)和1.11，則得“y=ax”形式.

一般地，函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù).其中x是自變量,函數(shù)的定義域是

R.觀察指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn):新課講授系數(shù)為1底數(shù)a為正數(shù)且不為1自變量x在指數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與冪函數(shù)

y=xa有什么區(qū)別和聯(lián)系？

01a

當(dāng)a<0時(shí)，ax有些會(huì)沒有意義，如

當(dāng)a=0時(shí)，ax有些會(huì)沒有意義，如為了便于研究，規(guī)定：a>0，且

a≠1為什么概念中明確規(guī)定a>0，且

a≠1？當(dāng)a=1時(shí)，ax

恒等于1，沒有研究的必要.判斷下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)？練習(xí)例1

已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，

求f(0)，f(1)，f(-3)的值.

例題講解

1.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過

點(diǎn)(2，16)，求f(0)，f(2)的值.練習(xí)鞏固訓(xùn)練2.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）鞏固訓(xùn)練1、指數(shù)函數(shù)概念