第20講計數(shù)綜合四內(nèi)容概述了解對應(yīng)的思想，維夠建立起一類對象與另一類對象之間的對應(yīng)關(guān)系，并通過對后者的計數(shù)得到前者的答案；需要考慮對稱性的各種復(fù)雜計數(shù)問題，解題時要注意旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)對結(jié)果的影響．典型問題興趣篇1．在8×8的方格表中，取出一個如圖20-1所示的由3個小方格組成的“L”形，共有多少種不同的取法？2．冬冬媽媽每天讓冬冬吃1個雞蛋或者1個鴨蛋，那么冬冬吃完家里的4個雞蛋和4個鴨蛋共有多少種吃法？3．常吳與古力兩人進(jìn)行圍棋“棋圣”冠軍爭霸賽，比賽沒有平局，誰先勝4局即獲得比賽的勝利，請問：比賽過程一共有多少種不同的方式？4．10只相同的橘子放到3個不同的盤子里，每個盤子至少放1只，一共有多少種不同的放法？5．一部電視連續(xù)劇共8集，電視臺要在周一到周四這4天內(nèi)按順序播完，其中可以有若干天不播，共有多少種安排播出的方法？6．某班40名學(xué)生參加了一項關(guān)于“超市是否應(yīng)該提供免費塑料袋”的調(diào)查，每人均在“應(yīng)該提供”、“不應(yīng)該提供”和“無所謂”三個選項中做出了選擇．請問：三個選項的統(tǒng)計數(shù)字共有多少種不同的可能？7．海淀大街上一共有18盞路燈，區(qū)政府為了節(jié)約用電，打算熄滅其中的7盞．但為了行路安全，任意相鄰的兩盞燈不能同時被熄滅，請問：一共有多少種熄燈方案？8．?dāng)?shù)字和為9，而且不含數(shù)字0的三位數(shù)共有多少個？四位數(shù)共有多少個？9．有一批規(guī)格相同的均勻圓棒，每根劃分成相同的5節(jié)，每節(jié)用紅、黃、藍(lán)3種顏色中的一種來涂，相鄰兩節(jié)不能同色，那么可以染成多少種不同的圓棒？10．給一個正四面體的4個面染色，每個面只允許用一種顏色，且4個面的顏色互不相同．現(xiàn)有5種顏色可選，共有多少種不同的染色方式？（旋轉(zhuǎn)后是一樣的染色情況算是同一種方式）拓展篇1．在8×8的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個如圖20-2所示的由4個單位小正方形組成的“L”型？2．一次射擊比賽中，7個泥制的靶子掛成3列（如圖20.3）．一位射手按下列規(guī)則去擊碎靶子：先挑選一列，然后擊碎這列中尚未被擊碎的靶子中最下面的一個，若每次都遵循這一原則，則擊碎全部7個靶子共有多少種不同的順序？3．(1)一只青蛙沿著一條直線跳躍4次后回到起點．如果它每一次跳躍的長度都是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？(2)如果這只青蛙在一個方格邊長為1分米的方格紙上沿格線跳躍4次后回到起點，每次跳躍的長度仍是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？4．如圖20-4所示，有兩條平行線，如果每條直線上有3個點，連出3條線段，從圖中最多可以數(shù)出5個三角形；如圖20.5所示，如果每條直線上有4個點，連出4條線段，從圖中最多可以數(shù)出16個三角形，如果每條直線上有10個點，連出10條線段，從圖中最多可以數(shù)出多少個三角形？5．把20個蘋果分給3個小朋友，每個小朋友至少分1個，共有多少種分蘋果的方法？如果可以有小朋友沒有分到蘋果，共有多少種分法？6．冬冬有10塊大白兔奶糖，他從今天起，每天至少吃一塊，直到吃完．請問一共有多少種不同的吃法？7．美國眾議院435名議員對“拒絕繳納聯(lián)合國會費”的提案進(jìn)行投票，每名議員都可以選擇投贊同票、反對票和棄權(quán)票中的某一種，并且只要贊成票多于總票數(shù)的一半，提案就會被通過，否則不能通過．表決結(jié)果是拒絕繳納．試問共有多少種可能的三種票數(shù)的統(tǒng)計情況？8．有10個小朋友排成一列，要從中選出3個互不相鄰的小朋友，有多少種不同的選法？9．一次自助餐，共有10種菜，每個人都有4個盤子可以選菜，每個盤子只能放1種菜，但可以重復(fù)選菜，請問：共有多少種選菜方案？10．3個男生和7個女生站成一排，要求每2個男生之間至少有2個女生，共有多少種排列方法？如果站成一圈呢？11．一個長方體的各邊長都是整數(shù)，并且它的體積是2310，那么這樣的長方體有多少個？（如果兩個長方體經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以重合，則認(rèn)為它們是同一個長方體．）12．用4種顏色為一個正方體的6個面染色，要求每個面只能用1種顏色，且相鄰面的顏色必須不相同，如果將正方體經(jīng)過翻轉(zhuǎn)后顏色相同，就認(rèn)為是同一種染色方法，那么共有多少種不同的染色方法？超越篇1．某工廠生產(chǎn)一批玩具，玩具為一條圓環(huán)上均勻安裝著13個小球，其中3個是紅球，10個是白球．如果2個圓環(huán)通過翻轉(zhuǎn)后可以疊放在一起，使得紅球?qū)t球、白球?qū)Π浊颍@樣的兩個圓環(huán)就認(rèn)為是相同的．那么一共可以生產(chǎn)多少種不同的圓環(huán)？2．對于由1至6組成的無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進(jìn)行如下的1次操作：記首位數(shù)字為足，則將數(shù)字尼與第七位上的數(shù)字對換，例如，245136可以進(jìn)行兩次操作：245136→425136→125436.請問：可以進(jìn)行5次操作的六位數(shù)有多少個？3．大小形狀相同的紅、黃、藍(lán)三種顏色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，現(xiàn)在要將它們穿成一串，要求相同顏色的珠子不能柑鄰，共有多少種不同實質(zhì)的穿法？如果要穿成一個圈呢？4．有8個隊參加比賽，采用如圖20-6所示的淘汰制方式．問：在比賽前抽簽時，可以得到多少種實質(zhì)不同的比賽安排表？5．平面上8個點構(gòu)成一個凸八邊形，將這8個點中任意2個點之間連接一條線段，已知任意3條線段都沒有交于一點，請問：(1)八邊形內(nèi)共連接了多少條線段？(2)這些線段在八邊形內(nèi)共有多少個交點？(3)所形成的圖形中最多可以數(shù)出多少個三角形76．動物園的門票5元l張，每人限購1張．現(xiàn)在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友只有5元的鈔票，另外5個小朋友只有10元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢，請問：有多少種排隊方法，使售票員總能找得開零錢？7．經(jīng)理將要打印的信件交給秘書，每次給一封，且放在所有信件的最上面，秘書一有空就從最上面拿一封信來打．有一天共有7封信要打印，經(jīng)理按1號信，2號信，……，7號信的順序交給秘書，午飯時，秘書告訴同事，經(jīng)理已經(jīng)給了5封信，她已經(jīng)把5號信打好了，但未透露上午工作的其他情況，問：(1)如果上午秘書已經(jīng)把五封信打完了，那么上午打印信的順序有多少種可能？(2)如果上午秘書還沒有把信打完，那么下午打印信的順序有多少種可能？8．(1)將8個黑球和20個白球排成一圈，每2個黑球之間至少有2個白球的排列方法有多少種？(2)8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之問至少有2名男生．有多少種不同的站法？（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后相同的算作同一種排法，答案用階乘表示．）第20講計數(shù)綜合四興趣篇在88的格，取個如所的由3個格組“”，共少種不同的？分】個×2的塊有4種，有7=16。冬媽天冬吃1個雞或者1鴨蛋那冬吃家里的4個雞和4個鴨蛋共多種？答140種C分】共8個，其中4個為蛋， 4=70。C8昊古兩進(jìn)棋圣”冠爭，比賽有誰勝4局即得賽的勝利問：比過一共多種同方？答70種分】7比中選4盤作勝方有 4種；可以昊古勝，以共 4×C7 C72=0。10只同橘放到3個不的子里個子至放1一有少種同放法？答36種2分】用板，C92

=6。部視續(xù)共8集電臺在一周這4內(nèi)順播，中可有干天不播有少安播出方法？答165種C分】似分子題加4，共2，然后板， 3=165。C11班40名生加一項“超是應(yīng)提供費料調(diào)每均“應(yīng)該提供“不該”“無謂三個項做出了。請三選項的計數(shù)字有少不的能？答861種C分】0人到3選項，以選不，插； 2C42

=6。淀街上有18盞路政為節(jié)用打熄其的7為行路安，任相的盞不能時滅請：共有少熄方？答792種C分其中6作滅7燈間先掉然在12盞選7盞， 792。C12字為，且數(shù)字0的位共多個位共多個？答28個6個分】似板， 228； 356。C8 C8一規(guī)相的圓棒，每劃成同的5，每用黃藍(lán)3種色的一種，相兩不同那可染多種不的棒？分】的32212種，不對的2-12=6種，3621=3。1一正面的4個面每面允用一顏色且4面顏色相現(xiàn)有5顏可有少種同染方式（旋轉(zhuǎn)是樣染情算是種方）C分】5種色選4， 45種，C5選的種色下置下3種色排有2：時和時。共210種。拓展篇在88的方棋一可以出少如所的由4個位正形成L”形？答336個分】個×3的形，有4“”，共7=18，方向168×=336個次擊賽中7泥制靶成3（圖一射按列去擊靶子：先挑選一后碎列中未擊的子最下的個。若次遵循一原則擊部7靶共有少不的序？答210種P分】7個子序 7種；于第1列的3個第2列的2個第3列的2，能P772有一順，以共 P7 21072PPP PPP3 2 23 2C7C47打的序選3個作第1列3選2個作第2。

210。只蛙著直線躍4次回起果每次跳的度是1米，那么只蛙有少可能跳？（果只蛙個方邊為1分的格紙沿線躍4次回到，每次跳的度是1分那這青共多種可的法？C分（）青跳方向前，則4跳必是2前2后， 26；C4）令蛙的向后左右，Cⅰ 2前2后， 26；C4Cⅱ 2左2右， 26；C4ⅲ 1前1后1左1右224。共36。圖1示有條行線如每直有3點連出3條，從圖最可以數(shù)出5三形；如圖2所示如每直有4個連出4線，從中最多可出16個角如果條線有0點出10條從最多以數(shù)出少三？分】有2直線每3構(gòu)一三形。C組成 3220個角平加1直不構(gòu)三形，2010210。C12把20個果給3小朋每小朋至分1共多少分果的法果可以小友有到果，有少分？分】板：

2C92

171借3個蘋果，

2C222

231。冬有0大兔糖從天起天少吃塊直吃問一有少種不同吃法？分】把10糖成排，有9個隙選其中一空插板然后隔的糖按序天。9空隙插不有2種選，共912個。國議院35議對“絕納合會”的案行票每議員可選擇投贊票反對和權(quán)票中某種且要贊成多總票的半提就會被通，則不通表決果拒絕納。試問共多種可的種票數(shù)統(tǒng)計情況？分】絕納說贊成多一半不于218票。先從減217票成么成至少1票再加權(quán)反各1票這兩種也少1，變普插板。43-21720。2C92

2381有10小友成列從出3互相鄰小友有少不同選法？答56種分】間的2個掉10＝，C剩下8選3， 356。C8次助餐共有10種每人有4個子可選個子能放1種但可以復(fù)，請有多種菜案？答715種C分】重選： 4210C0CC重復(fù)1種： 1CC10

2309C重復(fù)2種： 245C0CC1種復(fù)3次： 1CC10

190911種復(fù)4次：1

C10

10共715種13個生和7女成一排求每2男之間有2女生有多種列方？如站一？P分】排7女中選4個為生間并排序， 4種，P76剩下3男3女意序：P6種。6PP共 4PP7

66480種。6P圈3排： 3，P3女必分成，2共3組，選3排序 3種下4選2排序 2，P7 P4P剩下2人序 2，P2PPP共 3 3PPP3 7

2 23240種。P4 2P一正方體各邊都是整數(shù)，并且的體是231那么樣的體有多少？（如兩長體過轉(zhuǎn)可重，認(rèn)它是同長）答41個分】21=3××共5不的子。用數(shù)，，）一條含a質(zhì)子第2條邊含b個因第3條邊含c個質(zhì)因，么（0）有1，4（1）有C54

5種，C（2）有 310種，C5C（1）有 310種，C5CC（2）有 CC5

225種，3共41。1用4種色為個方的6面色要每個只用1種色且相面色必須不同如果正體經(jīng)過轉(zhuǎn)顏色同，就認(rèn)為同種染方，那么有多少不的色？答230種3分】取3顏色C43

4種。C取4顏，然兩種各1面兩顏色染面。 26種。C4共10。超越篇工生一玩具玩具一圓上勻裝著3小，中3個是10個是。如果2個通過轉(zhuǎn)可疊在，得球紅、球?qū)η?，這樣兩圓就為相同。么共以產(chǎn)多種同圓環(huán)？答14種分】照球數(shù)類。10 442433541532

550640631622

730721820811

910000共14。于由1至6成無重數(shù)的位數(shù)果它首數(shù)不是那么以行如下的1操作首字為k，則數(shù)字k與第k位的數(shù)對。如2456可以進(jìn)兩操作：24536251612536。請可進(jìn)行5次作位數(shù)多少？分】推去1以和何位換5，記過的是11了第1位和a1位都，有3…，共有×××=10種。大形相的黃藍(lán)種顏的子有223現(xiàn)要將們成一，求同顏的子不能鄰共有少不同實的？果穿成一圈呢？答21種2種分】舉按藍(lán)位置，位對的考慮。（3）共×24種（3）共×24種（3） 2種（4）共×24種（4） 3種（4） 4種共21。排成藍(lán)間間是1，，時有2種。有8個參比用如所的汰方。問在賽抽時可以到少種實不的賽排表？答315種P分】8隊序共 84030，P8但第1層4場賽間換順無響，第2層2比交順無影，第3層1比交順無影。40322÷÷=35。上8個構(gòu)一凸八形這8個任意2點間接線段已任意3線都有于點，問：（邊內(nèi)連多少線段？（些段八內(nèi)共多個點？（形的形多可數(shù)多個角形？答120條（0個（64個C分（） 228中8是八形邊C8所以88=20）由4個組的形生1交點。C共 40個邊，有70個。C8）三形分4類3三頂為頂：C83

56，C兩頂為頂：4C

420，8C一頂為頂：每5個點應(yīng)5， 55280，C8C都是頂：每6頂點應(yīng)1， 628，C8共664個。421442514282591412345物園的票5元1每限購1張在有0個朋排購中5小友只有5元鈔外5個小友有0的票售員有備請問有多少種隊421442514282591412345答60400種分】圖以右格表1個1去隊，向上格表1個2元排。排隊有42，小