大題狂練(五)1．某網(wǎng)校推出試聽的收費標準為每課時100元，現(xiàn)推出學員優(yōu)惠活動，具體收費標準如下（每次聽課1課時）：第次課第1次課第2次課第3次課第4次課或之后收費比例0.90.80.70.6現(xiàn)隨機抽取100位學員并統(tǒng)計它們的聽課次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：聽課課時數(shù)1課時2課時3課時不少于4課時頻數(shù)50201020假設(shè)該網(wǎng)校的成本為每課時50元．（1）估計1位學員消費三次及以上的概率；（2）求一位學員聽課4課時，該網(wǎng)校所獲得的平均利潤．【答案】（1）；（2）平均利潤為（元）．【解析】（1）根據(jù)聽課課時數(shù)表和古典概率公式可求得所求的概率．（2）分別計算出第1課時、第2課時、第3課時、第4課時聽課利潤，從而可求出這4個課時聽課獲得的平均利潤．【詳解】解：（1）根據(jù)聽課課時數(shù)表．估計1位學員聽課三次及以上的概率．（2）第1課時聽課利潤（元）；第2課時聽課利潤（元）；第3課時聽課利潤（元）；第4課時聽課利潤（元），這4個課時聽課獲得的平均利潤為（元）．【點睛】本題考查由頻數(shù)計算概率，統(tǒng)計的數(shù)字特征求實際問題中的平均利潤，屬于中檔題.2．在中，角，，的對邊分別為，，，其面積為，且．（1）求角的大??；（2）若且，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】已知等式利用余弦定理及三角形面積公式化簡，整理求出的值，即可確定出A的度數(shù)；由正弦定理和三角形的面積公式可求得答案．【詳解】解：（1）由，得，所以，所以．又，所以．（2）由正弦定理，得，解得．由正弦定理得，，所以．【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．3．在四棱錐中，四邊形是邊長2的菱形，和都是正三角形，且平面平面．（1）求證：；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）1．【解析】（1）先證明平面，得到，再證明，則可證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得；（2）由原幾何體的特點可知，而點到底面的距離等于點到底面的距離，即.【詳解】（1）證明：取的中點，連接和．因為是正三角形，所以．同理．又，，平面，所以平面．又平面，所以，因為四邊形是邊長2的菱形，所以，又，，平面，所以平面．因為平面，所以．（2）因為，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離就是到平面的距離，即，所以三棱錐的體積為．【點睛】本題考查空間垂直關(guān)系的判定及證明，考查利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，考查棱錐體積的求解，難度一般.4．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；以原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求直線和曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)直線和曲線交于，兩點，直線，，的斜率分別為，，，求證：．【答案】（1）直線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）證明見解析．【解析】（1）由代入中，可得直線的直角坐標方程，消參可得曲線的直角坐標方程．（2）將曲線的參數(shù)方程代入直線的直角坐標方程，得．由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的意義可得證．【詳解】（1）解：由，得，則直線的直角坐標方程為；曲線的直角坐標方程為．（2）證明：將代入，得．由直線和曲線交于、兩點且，得；設(shè)方程的兩根分別為，，則；而表示曲線上的點與原點連線的斜率，所以，，所以．又直線的斜率為，所以．【點睛】本題考查極坐標方程向直角坐標方程轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程向普通方程轉(zhuǎn)化，以及直線與拋物線的位置關(guān)系之交點問題，注意理解參數(shù)的意義，屬于中檔題.5．已知函數(shù)．（1）當時，解不等式．（2）若對任意的，總存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當時，，即為．分，，三種情況分別求解不等式，可得原不等式的解集；（2）將問題轉(zhuǎn)化為．①，即總存在，使得成立，由不等式的恒成立的思想可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）當時，，即為．當時，不等式變?yōu)椋獾?；當時，不等式變?yōu)椋瑹o解；當時，不等式變?yōu)?，解得．綜上，不等式的解集是．（2）要使對任意的，不等式成立，只需．①而，所以①可轉(zhuǎn)化為．②即總存在，使得成立，即總存在，使得成立．而當時，；當時，，所以當時，，所以，故實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查運用分類討論的方法解絕對值不等式，不等式的恒成立問題，屬于中檔題.6．已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的動直線交橢圓于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使得無論直線如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析．【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率，以及橢圓的定義及性質(zhì)，列出方程組求解，即可得出，，，進而可求出橢圓方程；（2）由題意可得，直線的方程為，設(shè)，，由題意得到將直線的方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理，即可得到.【詳解】（1）由橢圓定義可得，則，又橢圓的離心率為，，則，因此，橢圓的標準方程為.（2）當直線不與軸重合時，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，設(shè)點的坐標為，聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，由韋達定理得，，由于以為直徑的圓恒過點，則，，，，由于點為定點，則為定值，所以，解得，此時，符合題意；當直線與軸重合時，則為橢圓的短軸，此時，點與點或點重合，合乎題意．綜上所述，直線恒過定點．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程，考查橢圓中存在定點滿足某條件的問題，熟記橢圓的標準方程及橢圓的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7．己知函數(shù)．（1）當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，求b的取值范圍；（2）若方程的兩個根分別為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由在上是減函數(shù)，可知對恒成立，然后分離參數(shù)得，所以只要即可；（2）由已知得，即，兩式相減得，由知，設(shè)，可得，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性可得結(jié)論【詳解】（1）∵在上遞