專題06幾何體表面積體積與球切、接的問題（講）（文）1.三視圖的識(shí)別和簡(jiǎn)單應(yīng)用；2.簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積計(jì)算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時(shí)與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計(jì)算作為其中的一問.1．【2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）】在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側(cè)視圖為故選：D2．【2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）】在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D3．【2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)】已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.3．【2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)】正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.4．【2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.5.【2021年北京市高考數(shù)學(xué)】某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.6．【2021年北京市高考數(shù)學(xué)】定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個(gè)半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.7．【2021年天津高考數(shù)學(xué)】兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)椋裕?，所以，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.8．【2021年浙江省高考數(shù)學(xué)】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，該等腰梯形的上底為，下底為，腰長為1，故梯形的高為，故，故選：A.9．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則，由題意得，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選C．【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.10．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.一、考向分析： 一、空間 二、考向講解考查內(nèi)容解題技巧1．空間幾何體的三視圖(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：正(主)側(cè)(左)一樣高，正(主)俯一樣長，側(cè)(左)俯一樣寬；看不到的線畫虛線．2．用斜二測(cè)畫法畫幾何體的直觀圖的注意點(diǎn)(1)用斜二測(cè)畫法畫幾何體的直觀圖時(shí)，要注意原圖與直觀圖中的“三變”、“三不變”：①“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長度改變（減半），,圖形改變.))②“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不變，,與x軸平行的線段長度不變，,相對(duì)位置不變.))(2)對(duì)于直觀圖，除了了解斜二測(cè)畫法的規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系：S′＝eq\f(\r(2),4)S，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算．3．多面體的側(cè)面積和表面因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面積的和．形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式。（2）周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為eq\f(2π,ω)，4．4.轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)＝πrl，S表＝πr(r＋l)．(3)若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r′，r，則S側(cè)＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(4)若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.5.與球有關(guān)的組合體的常用結(jié)論1)長方體的外接球：①球心：體對(duì)角線的交點(diǎn)；②半徑：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長方體的長、寬、高)．(2)正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球：①外接球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長)；②內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長)；③與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(2),2)a(a為正方體的棱長)．(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)：①外接球：球心是正四面體的中心，半徑r＝eq\f(\r(6),4)a(a為正四面體的棱長)．②內(nèi)切球：球心是正四面體的中心，半徑r＝eq\f(\r(6),12)a(a為正四面體的棱長)．考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例1】(1)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A.2eq\r(17) B.2eq\r(5) C.3 D.2(2)某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為()A.6＋eq\r(3) B.6＋2eq\r(3)C.12＋eq\r(3) D.12＋2eq\r(3)答案(1)B(2)D解析(1)由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4.則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).(2)由三視圖知該幾何體為底面是邊長為2的正三角形，高為2的直三棱柱，S底＝2×eq\f(\r(3),4)×22＝2eq\r(3).S側(cè)＝3×2×2＝12，則表面積為2eq\r(3)＋12.探究提高1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓(xùn)練1】(1)(2021·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°，若其正視圖、俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的周長為()A.4＋2eq\r(2) B.2＋eq\r(2)＋eq\r(6)C.6 D.4＋eq\r(6)(2)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4答案(1)B(2)C解析(1)由題意知三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，其長度是2，得到的側(cè)視圖是一個(gè)直角三角形，∵AC＝BC＝CD＝2，∠ACB＝90°，∴側(cè)視圖的另一條直角邊長是2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，∴側(cè)視圖如圖，且斜邊長為eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6).∴其側(cè)視圖的周長為2＋eq\r(2)＋eq\r(6).(2)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P－ABCD，如圖.由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，分別是△PAD，△PCD，△PAB.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積考向1空間幾何體的表面積【例2】(1)過圓錐的軸作截面，如果截面為正三角形，則稱該圓錐為等邊圓錐.已知在一等邊圓錐中，過頂點(diǎn)P的截面與底面交于CD，若∠COD＝90°(O為底面圓心)，且S△PCD＝eq\f(\r(7),2)，則這個(gè)等邊圓錐的表面積為()A.2π＋eq\r(2)π B.3πC.2π＋eq\r(3)π D.π＋eq\r(3)π(2)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A.64π B.48π C.36π D.32π答案(1)B(2)A解析(1)如圖，連接PO，設(shè)圓錐的母線長為2a，則圓錐的底面圓的半徑為a，高為PO＝eq\r(3)a.由已知得CD＝eq\r(2)a，PC＝PD＝2a.則S△PCD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\r(\f(7,2))a＝eq\f(\r(7),2)，從而a＝1.圓錐的表面積為πa×2a＋πa2＝3π.(2)如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.探究提高1.求空間幾何體的表面積，首先要掌握幾何體的表面積公式，其次把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則的幾何體.2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.(3)若題目給出三視圖，關(guān)鍵是確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小，還原成幾何體的直觀圖.【訓(xùn)練2】(2021·西安質(zhì)檢)如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷、佛像而主持修建的，是我國現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個(gè)正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為45°，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為()A.eq\r(3)∶2 B.eq\r(2)∶2 C.eq\r(3)∶3 D.eq\r(3)∶4答案D解析設(shè)塔頂是正四棱錐P－ABCD(如圖)，PO是正四棱錐的高.設(shè)正四棱錐底面邊長為a，則底面面積S1＝a2，因?yàn)锳O＝eq\f(\r(2),2)a，∠PAO＝45°，所以PA＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)a＝a，所以△PAB是正三角形，其面積為S2＝eq\f(\r(3),4)a2，所以S2∶S1＝eq\f(\r(3),4)a2∶a2＝eq\r(3)∶4.考點(diǎn)三空間幾何體的體積【例3】(1)(2021·濟(jì)南聯(lián)考)正四面體ABCD的體積為4，O為其中心，正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，則這兩個(gè)正四面體公共部分的體積為()A.3 B.eq\f(8,3) C.2 D.eq\f(4,3)(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位線EF折起，使得∠AEB為直角，連接AB，CD，則所得的幾何體的體積為________.答案(1)C(2)6解析(1)如圖，點(diǎn)I，J，K，L，M，N分別是邊AB，AC，AD，BC，CD，DB的中點(diǎn)，這兩個(gè)正四面體公共部分為多面體IJKLMN.三棱錐A－IJK是正四面體，其棱長為正四面體ABCD棱長的一半，則VA－IJK＝eq\f(1,8)VA－BCD＝eq\f(1,2)，這兩個(gè)正四面體公共部分的體積為VA－BCD－4VA－IJK＝4－4×eq\f(1,2)＝2.(2)法一過C作截面CMN，如圖(1)，截面CMN把這個(gè)幾何體分割為直三棱柱ABE－MCN和四棱錐C－MNFD.圖(1)又因?yàn)橹比庵鵄BE－MCN的體積為V1＝S△ABE·AM＝eq\f(1,2)×2×2×2＝4，四棱錐C－MNFD的體積為V2＝eq\f(1,3)S四邊形MNFD·BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋2)×2×2＝2.所以所求幾何體的體積為V1＋V2＝6.法二如圖(2)，連接AC，EC，則幾何體分割為四棱錐C－ADFE和三棱錐C－ABE.圖(2)因?yàn)閂C－ADFE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋4,2)×2))×2＝eq\f(14,3)，VC－ABE＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(4,3)，所以幾何體的體積為VC－ADFE＋VC－ABE＝eq\f(14,3)＋eq\f(4,3)＝6.法三如圖(3)，延長BC至點(diǎn)M，使得CM＝2，延長EF至點(diǎn)N，使得FN＝1，連接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE－DMN，所以幾何體的體積等于直三棱柱ABE－DMN的體積減去四棱錐D－CMNF的體積.圖(3)因?yàn)閂ABE－DMN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×4＝8，VD－CMNF＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2,2)×2))×2＝2，所以幾何體的體積為VABE－DMN－VD－CMNF＝8－2＝6.探究提高1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積：常采用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.【訓(xùn)練3】(1)(2021·晉中二模)已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為()A.eq\f(\r(3),3)π B.eq\f(\r(3),3) C.eq\r(3)π D.eq\r(3)(2)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE⊥BC，將△CDE沿DE折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P－ABDE，則四棱錐P－ABDE的體積的最大值為________.答案(1)A(2)eq\f(\r(3),27)解析(1)設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由πl(wèi)＝2πr，得l＝2r，又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，所以r2＝1，解得r＝1，所以圓錐的高為h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.(2)設(shè)CD＝DE＝x(0<x<1)，則四邊形ABDE的面積S＝eq\f(1,2)(1＋x)(1－x)＝eq\f(1,2)(1－x2)，當(dāng)平面PDE⊥平面ABDE時(shí)，四棱錐P－ABDE的體積最大，此時(shí)PD⊥平面ABDE，且PD＝CD＝x，故四棱錐P－ABDE的體積V＝eq\f(1,3)S·PD＝eq\f(1,6)(x－x3)，則V′＝eq\f(1,6)(1－3x2).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時(shí)，V′>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))時(shí)，V′<0.∴當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，Vmax＝eq\f(\r(3),27).考點(diǎn)四多面體與球的切、接問題【例4】(經(jīng)典母題)(2021·長沙檢測(cè))在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________.答案eq\f(9,2)π解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.【母題遷移1】若將本例的條件變?yōu)椤霸谒睦忮FP－ABCD中，底面ABCD為矩形，體積為eq\f(16,3)，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2”，則四棱錐P－ABCD的外接球體積的最小值是()A.eq\f(25,6)π B.eq\f(20\r(5),3)π C.125π D.eq\f(160\r(5),3)π答案B解析設(shè)底面矩形ABCD的長和寬分別為x，y，依題意，eq\f(1,3)xy·2＝eq\f(16,3)，則xy＝8.將四棱錐補(bǔ)成長方體，則外接球的直徑2R＝eq\r(x2＋y2＋22)，又x2＋y2≥2xy＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2eq\r(2)取等號(hào)，∴2R＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5)，則R≥eq\r(5).故四棱錐P－ABCD的外接球的體積最小值為V＝eq\f(4,3)π(eq\r(5))3＝eq\f(20\r(5)π,3).【母題遷移2】若將本例的條件變?yōu)椤耙阎忮FP－ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若該棱錐的體積為1，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°”，則此球的表面積等于()A.4eq\r(3)π B.eq\f(32,3)π C.12π D.16π答案D解析AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以在三角形ABC中，由余弦定理得：BC＝eq\r(AB2＋AC2－2·AB·AC·cos60°)＝eq\r(3).設(shè)三角形ABC的外接圓的半徑為r，則2r＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以r＝1.又因?yàn)閂P－ABC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)AB·AC·sin60°·PA＝eq\f(\r(3),6)PA＝1，所以PA＝2eq\r(3).由題意，三棱錐的外接球的球心是過底面外接圓的圓心垂直于底面與中截面的交點(diǎn)，設(shè)外接球的半徑為R，則R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))eq\s\up12(2)＝1＋3＝4，所以外接球表面積S＝4πR2＝16π.探究提高1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球