3/54第頁專題3-8拋物線中的八個?？级壗Y(jié)論與秒殺模型總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】OA⊥OB弦AB過定點（2p，0）【題型2】中點弦問題（點差法）【題型3】拋物線焦半徑角度型公式的應(yīng)用（重要）【題型4】焦點弦被焦點分為定比【題型5】過焦點的直線與準(zhǔn)線相交（結(jié)合相似）【題型6】拋物線與圓【題型7】阿基米德三角形模型（雙切線模型）【題型8】拋物線中的定點與定值問題模型（平移齊次化）題型題型匯編知識梳理與常考題型一、已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點則,.二、過焦點的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式①拋物線的焦點為F，是過的直線與拋物線的兩個交點，則有.②一般地，如果直線恒過定點與拋物線交于兩點，那么.③若恒過定點.④以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.⑤若的中點為，則(梯形中位線)⑥為定值.三、一般弦長設(shè)為拋物線的弦，，，（為直線的斜率，且）.【題型1】OA⊥OB弦AB過定點（2p，0）若恒過定點.（高二上·福建廈門·期中）如圖，已知直線l與拋物線交于兩點，且，AB上一點D的坐標(biāo)為，則l方程為________【答案】【簡析】利用二級結(jié)論得出AB過定點，再結(jié)合D點坐標(biāo)即可已知直線與拋物線交于兩點，且為原點），則拋物線方程為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】由消去x并整理得：，設(shè)，則，顯然，由，得，即，解得，所以拋物線方程為.【題型2】中點弦問題（點差法）設(shè)直線與拋物線相交所得的弦的中點M坐標(biāo)為，則證明：設(shè),,代入拋物線方程得，，將兩式相減，可得，整理可得已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出，的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點坐標(biāo)公式代入先求出直線的斜率，再利用點斜式方程即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，，由題意，因為，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點為，，，所以直線的方程為，化簡得.故答案為：.

（23-24高二上·湖南·期末）過拋物線的焦點的直線與拋物線C相交于A，B兩點，若線段中點的坐標(biāo)為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用點差法及中點與焦點坐標(biāo)分別表示直線的斜率，可建立關(guān)于的方程，求解可得.【詳解】設(shè)，，則，兩式作差得，，當(dāng)時，則中點坐標(biāo)為焦點，不滿足題意；當(dāng)時，得．設(shè)線段中點，因為坐標(biāo)，且過焦點，所以，則的斜率，解得．故選：A.直線與拋物線交于兩點，中點的橫坐標(biāo)為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】設(shè)，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解.【詳解】設(shè)，因為中點的橫坐標(biāo)為，則，可得，又由，兩式相減得到，可得，可得，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以.已知拋物線的一條弦恰好以點為中點，弦的長為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)，，得到，，結(jié)合“點差法”求得，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，列出方程，求得，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程．【詳解】設(shè)，，弦所在直線方程為，則，，也點A，B在拋物線上，可得，兩式相減可得，所以，即，所以弦所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.【答案】【分析】先根據(jù)焦半徑公式得到的關(guān)系，然后根據(jù)弦長公式求解出，結(jié)合兩點間斜率公式以及點在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.【詳解】設(shè)，因為，所以，所以，又因為，所以，因為都在第一象限，所以，又因為且，所以，所以，所以拋物線方程為（多選）已知拋物線上的兩個不同的點關(guān)于直線對稱，直線與軸交于點，下列說法正確的是（

）A．的焦點坐標(biāo)為 B．是定值C．是定值 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判定A選項；根據(jù)A、B關(guān)于直線對稱及點在拋物線上可得，，，聯(lián)立化簡可判定B、C選項；再利用AB中點在拋物線內(nèi)可得，結(jié)合直線方程可判定D選項.【詳解】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知拋物線的焦點坐標(biāo)為，即A正確；設(shè)A、B的中點為D，則，易得①，又②，且③，④，將③④代入②可得：，代入①可得，故B正確，C錯誤；所以A、B的中點坐標(biāo)為，則直線的方程為：，令得：，而位于拋物線內(nèi)部，即，可得，則．即D正確.【題型3】拋物線焦半徑角度型公式的應(yīng)用（重要）如圖，過拋物線焦點F的直角與拋物線交于，兩點，直線與x軸夾角為θ，則較長的焦半徑，較短的焦半徑，焦點弦，補充：

【證明】：別過，作x軸的垂線，垂直為H，M，易知AHTP，BMTQ為矩形在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；在△中，由拋物線定義可得：，則，解得已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），（為坐標(biāo)原點），，則．【答案】【分析】根據(jù)二級結(jié)論，先求得，再求即可.【詳解】作拋物線的準(zhǔn)線，記準(zhǔn)線與軸的交點為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過作軸的垂線，垂足分別為，如下所示：

設(shè)，在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；由題可知：，，解得；則.（23-24高二上·浙江紹興·期末）傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點，其中點A位于第一象限，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)Ax1【詳解】由，可得焦點F1,0，設(shè)Ax，，，由題可知直線的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=聯(lián)立直線與拋物線方程：，化簡整理可得，由韋達(dá)定理可得，故，解得，且點A位于第一象限，，∴的值為．在平面直角坐標(biāo)系中，，為拋物線上兩個不同的點，為拋物線的焦點，若，則的面積為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，求出直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到AB，再由點到直線的距離公式，求出的高，即可求得的面積．【詳解】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線AB的斜率為正，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點作AD垂直于且交于點，過點作垂直于且交于點，過點作垂直于AD且交AD于，則，所以直線AB的傾斜角為60°，又F1,0，故直線AB的方程為，聯(lián)立，消整理得，即，解得或，則，，所以，又原點到直線AB的距離為，所以，當(dāng)直線AB的斜率為負(fù)，即直線AB的傾斜角為時，同理可求．（23-24高二上·江蘇南通·期末）已知拋物線的焦點為，圓以為圓心，且過坐標(biāo)原點．過作斜率為1的直線，與交于點，，與圓交于點，，其中點，均在第一象限，，則．【答案】【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】由題意，則直線的方程為，聯(lián)立，消得，則恒成立，設(shè)Ax1,y1則，因為，所以，即，所以.(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，直線的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點D，若|AF|＝4，則以下結(jié)論正確的是()A．p＝2 B．F為AD中點C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2【答案】A、B、C【詳解】如圖，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直線l的斜率為eq\r(3)，則直線方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))))得12x2－20px＋3p2＝0.解得xA＝eq\f(3,2)p，xB＝eq\f(1,6)p，由|AF|＝eq\f(3,2)p＋eq\f(p,2)＝2p＝4，得p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x.xB＝eq\f(1,6)p＝eq\f(1,3)，則|BF|＝eq\f(1,3)＋1＝eq\f(4,3)，|BD|＝eq\f(|BF|,cos60°)＝eq\f(\f(4,3),\f(1,2))＝eq\f(8,3)，∴|BD|＝2|BF|，|BD|＋|BF|＝eq\f(4,3)＋eq\f(8,3)＝4，則F為AD中點，∴運算結(jié)論正確的是A、B、C.（23-24高二上·江蘇常州·期中）（多選）已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線交于點兩點（點在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點，若，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．為中點【答案】BCD【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識來判斷各選項命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，設(shè)，，由，則，可得，所以，,解得所以,所以B正確.，得，A選項錯誤；所以,滿足,所以C正確.而,所以D正確.已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為.【答案】16【簡析】設(shè)，則則，而，乘“1”即可（多選）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和焦半徑公式求出弦長，由點到直線的距離公式結(jié)合的面積求解，從而利用焦半徑公式求解，逐項判斷即可.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)過焦點的直線方程為設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得消元得，由韋達(dá)定理可得，，所以，又點到直線的距離是，所以，得，所以，故選項A錯誤，B正確；由知，解得，所以，故選項C正確；，故選項D正確；故選：BCD.已知過拋物線焦點的直線交于，兩點，點，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】首先求直線的傾斜角和直線方程，再聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示弦長，即可求解.【詳解】如圖，過點作，由條件可知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，由，，所以,即

已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是.【答案】【詳解】如下圖示：

【簡析】由結(jié)論可知，故已知拋物線EQy\S\UP6(2)＝16x的焦點為F，過點F作直線l交拋物線于M，N兩點，則__________；的最小值為__________.【答案】，【解析】（1）（2）由，則（多選）拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點（點在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則中點到軸的距離為4B．弦的中點的軌跡為拋物線C．若，則直線的斜率D．的最小值等于9【答案】BCD【分析】根據(jù)焦半徑公式及中點坐標(biāo)公式判斷A，設(shè)直線方程為并聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，利用中點坐標(biāo)關(guān)系表示出中點坐標(biāo)，消去可得軌跡判斷B，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算求出點的坐標(biāo)，然后利用兩點式斜率公式求解判斷C，由題可得，然后根據(jù)基本不等式求解判斷D.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，對于A，依題意，，解得，線段中點的橫坐標(biāo)，該點到軸的距離為，A錯誤；對于B，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線：，由消去x得，，則，，，設(shè)線段中點坐標(biāo)為，則，消去可得，因此弦中點的軌跡為拋物線，B正確；對于C，顯然，由，得，，由選項B知，有，又，則，，因此直線的斜率，C正確；對于D，由選項B知，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，D正確.故選：BCD（23-24高三上·廣東深圳·期末）（多選）已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于、兩點（其中），與的準(zhǔn)線交于點，若，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．為中點【答案】BD【分析】由拋物線的焦點坐標(biāo)可求出的值，可判斷A選項；設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理，求出的值，求出點的縱坐標(biāo)，求出，可判斷B選項；求出點的縱坐標(biāo)，求出、，可判斷C選項；計算出、，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為拋物線的焦點，則，可得，A錯；對于B選項，如下圖所示：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由A選項可知拋物線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，不妨設(shè)，由圖可知，，則，所以，，解得，則，所以，，B對；對于C選項，由B選項可知，，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，所以，，，則，C錯；對于D選項，因為，則為的中點，D對.(多選)如圖拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（）A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷B，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；連接，因為，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，，當(dāng)與重合時，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時取等號，故此時；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故D正確.【題型4】焦點弦被焦點分為定比圓錐曲線中焦點弦被焦點分成定比若，則 （注：拋物線默認(rèn)e=1）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于，，，兩點，且，則；若直線與拋物線相交于，兩點，滿足，則．【解答】解：由已知設(shè)直線的方程為：，代入拋物線方程可得：，則，所以由，解得，所以拋物線的方程為：，設(shè)，，，，因為，則由拋物線的定義可得：，即，，又，，所以，所以解得，，所以，故答案為：2，．已知拋物線，過焦點F的弦交拋物線于A，B兩點，且有，準(zhǔn)線與x軸交于點C，作A到準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則當(dāng)四邊形的面積為時，p的值為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線焦半徑的性質(zhì)，結(jié)合向量關(guān)系，即可求解直線傾斜角，根據(jù)面積公式即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，過作軸，則，所以，同理可得，因為，，則，由于，所以，同時可得，，因此四邊形的面積，解得．已知是拋物線上兩動點，為拋物線的焦點，則直線過焦點時，最小值為________，直線過焦點且傾斜角為時（點在第一象限），________，若中點的橫坐標(biāo)為3，則最大值為_______.【答案】4，，【解析】（1）直線過焦點，當(dāng)垂直于軸時，取最小值，（2）由題可知：，（3）由于為兩動點，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點時等號成立【補充】【題型5】過焦點的直線與準(zhǔn)線相交（結(jié)合相似）一、結(jié)合銳角三角函數(shù)與相似二、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離的等價轉(zhuǎn)化．即看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線已知是拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線與交于兩點，與的準(zhǔn)線交于點（點在線段上），，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意畫出圖形，通過做輔助線，結(jié)合特殊角解直角三角形以及拋物線的定義即可求解.【詳解】如圖，分別過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，分別過點作，垂足分別為，設(shè)交軸于點，準(zhǔn)線與軸交于點.由題知的傾斜角為，所以，從而，則，又.（23-24高二上·湖北武漢·期末）過拋物線焦點的直線與此拋物線交于兩點，且．拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，過點作于點．若四邊形的面積為，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】過點作于點，過點作于點，交軸于點，設(shè)，結(jié)合拋物線定義可得，由表示四邊形的面積求出可得答案.【詳解】如圖，不妨假定A在第一象限，過點作于點，過點作于點，交軸于點，設(shè)，則，所以，，因為，所以，可得，，可得，所以，則四邊形的面積為，解得，即.故選：A.（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知拋物線的焦點，準(zhǔn)線為是上一點，是直線與的交點，若，則（

）A．4 B． C．或 D．或4【答案】C【分析】由得或，利用平面向量坐標(biāo)的線性運算可求出點的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的焦半徑公式可求得的值.【詳解】依題意，焦點，準(zhǔn)線，設(shè)點,，由得或，，當(dāng)時，，即，則；當(dāng)時，，，即，則..綜上所述，的值為或.（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數(shù).【答案】【分析】由題設(shè)共線，作，垂足分別為，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)知：共線，且，如下圖，作，垂足分別為，則，所以，又，則，所以，即，故.過拋物線的焦點F的直線交E于點A，B，交E的準(zhǔn)線l于點C，，點D為垂足．若F是AC的中點，且，則（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題中的幾何關(guān)系分別求出拋物線與直線的方程，進(jìn)而聯(lián)立兩個方程，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點M．由拋物線的定義知．因為F是線段AC的中點，所以，所以，得，故拋物線E的方程為.由，得，（接下來也可以用焦點弦公式）所以直線AF的斜率，又，所以直線AF的方程為.聯(lián)立，消去y并整理，得，設(shè)，，則，所以.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，若，則此拋物線方程為．【答案】【分析】作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，結(jié)合求得，進(jìn)而求出，即可求得拋物線方程.【詳解】如圖，作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，，故，在直角三角形中，因為，，所以，從而得，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線交于點D，若且，則.【答案】3【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設(shè)，因為，所以，∴.設(shè)，所以，所以已知F是拋物線的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若，則【答案】4【分析】先求出準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義把焦半徑轉(zhuǎn)化為焦點到準(zhǔn)線距離，在直角梯形中由平行線得比例線段，從而可得，即，從而可得．【詳解】易知焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因為，，，所以，又由定義知，所以.

已知拋物線：的焦點為，點在軸上，線段的延長線交于點，若，則．【答案】4【分析】做準(zhǔn)線于點，軸于點可得，，再由拋物線定義可得答案.【詳解】如圖，做準(zhǔn)線于點，軸于點，所以，因為，所以，所以，解得.

（2023·廣東茂名·三模）已知為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點（其中點在之間），若.則的面積是.【答案】【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結(jié)合圖形依次求得與，從而求得直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點線距離公式求得與，從而得解.【詳解】過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點，如圖，

則，在中，，所以，所以，故在中，，所以，則.又軸，，所以，又拋物線，則，所以，（不聯(lián)立亦可）所以拋物線，點.因為，所以直線的斜率，則直線，與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡得，易得，設(shè)點，則，則，又直線，可化為，則點到直線的距離，所以.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點處反射等效于在這點處切線的反射），過拋物線上一點作其切線交準(zhǔn)線于點，，垂足為，拋物線的焦點為，射線交于點，若．則，．

【答案】【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知平分，又，所以，所以，由得，設(shè)準(zhǔn)線交軸于點，則，且，且，所以，所以．【題型6】拋物線與圓設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.（多選）已知拋物線的焦點在直線上，直線與拋物線交于點（為坐標(biāo)原點），則下列說法中正確的是（

）A．B．準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【分析】由直線過定點，得到，可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定B錯誤；過點作準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點，因為拋物線的焦點在直線上，可得，則，所以A正確；對于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B錯誤；對于C中，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點為點，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.

（多選）已知拋物線的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（其中點A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】ACD【分析】由弦長公式計算可得選項A、B；C、D選項，可以利用圓的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點，設(shè)直線,聯(lián)立，，，同理可得，，，故A選項正確；，故弦AB的長度最小值為4，B選項錯誤；記中點，則點M到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線的性質(zhì)，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項正確；，記中點，則點N到拋物線的準(zhǔn)線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項正確.（多選）已知是拋物線上的兩動點，是拋物線的焦點，下列說法正確的是（

）A．直線過焦點時，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切B．直線過焦點時，的最小值為6C．若坐標(biāo)原點為，且，則直線過定點D．與拋物線分別相切于兩點的兩條切線交于點，若直線過定點，則點在拋物線的準(zhǔn)線上【答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對于B：設(shè)方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對于C：設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對于D：可知拋物線在點處的切線方程為，根據(jù)切線方程求交點坐標(biāo)，結(jié)合選項B分析判斷.【詳解】對于選項A：如圖1，設(shè)中點為，分別過點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，

則由拋物線的定義可得，，.因為中點為，所以有，所以以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故A正確；對于選項B：由拋物線，可得，由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則恒成立。可得，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值6，故B正確；對于選項D：先證拋物線在點處的切線方程為，聯(lián)立方程，消去x得，可知方程組只有一個解，即直線與拋物線相切，可知拋物線在點處的切線方程分別為，，聯(lián)立方程，解得，即點，結(jié)合選項B可得：，所以點在拋物線的準(zhǔn)線上，故D正確；對于選項C：由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，，則，，若，則，解得或（舍去），聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則，解得，此時，符合題意，所以，則直線過定點，故C錯（多選）點在拋物線上，為其焦點，是圓上一點，，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為.B．周長的最小值為.C．當(dāng)最大時，直線的方程為.D．過作圓的切線，切點分別為，則當(dāng)四邊形的面積最小時，的橫坐標(biāo)是1.【答案】BD【分析】A選項：通過拋物線方程計算可得；B選項：運用拋物線定義，將轉(zhuǎn)換為到準(zhǔn)線的距離即可求出周長最小值；C選項：將最大問題，轉(zhuǎn)換為的最大值問題，再討論；D選項：結(jié)合A選項得到的結(jié)論，判斷四邊形的面積最小時點坐標(biāo).【詳解】對于A選項，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時或，所以，，故A選項錯誤；對于B選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖1，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足記為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值，即，此時，又，所以周長的最小值為，故B選項正確；對于C選項，如圖2，當(dāng)與圓相切時，且時，取最大．連接，，由于，，，所以，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C選項錯誤；對于D選項，如圖3，連接，，由A選項知，，且當(dāng)或時，，此時四邊形的面積最小，的橫坐標(biāo)是1，所以D選項正確，故選：BD．

【題型7】阿基米德三角形模型（雙切線模型）一、阿基米德焦點三角形性質(zhì)（弦AB過焦點F時）性質(zhì)1：MF⊥AB性質(zhì)2：MA⊥MB性質(zhì)3：MN∥x軸性質(zhì)4：S△ABM最小值為p2對于點A，B:①拋物線焦點弦與拋物線的交點②由準(zhǔn)線上一點向拋物線引兩條切線所對應(yīng)的切點對于點M③過焦點弦的一個端點所作的切線與準(zhǔn)線的交點④過焦點弦的兩個端點所作兩條切線的交點滿足以上①③或①④或②③或②④的三個點所組成的三角形即為“底邊過焦點的阿基米德三角形”二、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點F時）【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對稱軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點拋物線內(nèi)部的定點，則點P的軌跡為直線記，，，M為弦AB的中點，點C為拋物線內(nèi)部的定點半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則，則，下略【性質(zhì)3】若P點軌跡為直線，且該直線與拋物線沒有公共點，則定點.設(shè)P點坐標(biāo)，半代入得出切點弦AB的直線方程，進(jìn)而得出定點C的坐標(biāo)【性質(zhì)4】阿基米德三角形的面積的最大值為.【性質(zhì)5】，已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】A【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得直線與直線的方程，進(jìn)而得到點的坐標(biāo)，結(jié)合點在直線上，得，即,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算化簡后即可得解．【詳解】設(shè)，由求導(dǎo)得，則直線方程為，即，同理可得直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，由點在直線上，得，即故選：A．已知點是拋物線準(zhǔn)線上的一點，過點作的兩條切線，切點分別為，則原點到直線距離的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】設(shè)，且，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，得到，同理可得，結(jié)合和，兩種情況求得原點到直線距離，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由題意可知且的斜率存在且不為0，不妨設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，由直線與拋物線相切可得，解得，所以，又因為在直線上，所以有，同理可得，若，則，即的直線方程為，則到的距離為1；若，則，兩式聯(lián)立消，可得，所以，所以，整理得，所以到直線距離，綜上可得，即原點到直線距離的最大值為.故選：D.設(shè)拋物線的焦點為F,過F的直線交C于A,B兩點,分別以A,B為切點作C的切線，，若與交于點P，且滿足，則|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【簡析】因為弦AB過焦點，故點P在準(zhǔn)線上，勾股求出P點到x軸距離，進(jìn)而可知∠PFO=30°，又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦點弦公式可得.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與交于A，B兩點，C在A處的切線與C的準(zhǔn)線交于P點，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____【答案】【簡析】如圖，則有PF⊥AB，PA⊥PB，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等已知點，從拋物線的準(zhǔn)線上一點引拋物線的兩條切線，，且，為切點，則點到直線的距離的最大值是（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，進(jìn)而抽象出直線的方程，即可推理作答.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點，對函數(shù)，直線的方程為，即，亦即，同理，直線的方程為，而點為直線、的公共點，則，因此點，的坐標(biāo)都滿足方程，即直線的方程為，從而直線恒過定點，所以點到直線的距離的最大值.已知是拋物線：的焦點，點，過點的直線與交于，兩點，是線段的中點．若，則直線的斜率．【答案】2【簡析】因為AM=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在準(zhǔn)線上，且PM⊥準(zhǔn)線，PF⊥⊥AB故（多選題）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于兩點，在第一象限，過分別作拋物線的切線，且相交于點，若交軸于點，則下列說法正確的有（

）A．點在拋物線的準(zhǔn)線上 B．C． D．若，則的值為【答案】ACD【詳解】由題意知，故l：，與拋物線聯(lián)立，可得，則，設(shè)，，則．對于A，由拋物線可得，所以直線的斜率，則直線的方程為，同理可得直線的方程為，聯(lián)立解得．又，故點P在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對于B，，故，故B錯誤；對于C，直線l的方程為，則，直線的方程為，可得所以，故則FQ⊥BQ，故C正確；對于D，由，直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，解得，則，則，得，故D正確．（多選）拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)是拋物線上兩個不同的點，以為切點的切線交于點.若弦過點，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則點處的切線方程為C．存在點，使得D．面積的最小值為4【答案】ABD【分析】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定A正確；求得，得到切點坐標(biāo)，得出切線方程，進(jìn)而可判定B正確；由直線的斜率為，直線的斜率為，得到，可判定C錯誤；由過點的切線方程為，結(jié)合弦長公式，得到，可D正確.【詳解】對于A中，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，再設(shè)，則，所以A正確；對于B中，由拋物線.可得，則，則過點的切線斜率為，且，即，則切線方程為：，即，若時，則過點的切線方程為：，所以B正確；對于C中，由選項可得：直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以，即，所以C錯誤；對于D中，由選項B可知，過點的切線方程為，聯(lián)立直線的方程可得，所以，，，則，當(dāng)時，有最小值為，所以D正確.（多選）已知拋物線：，過其準(zhǔn)線上的點作的兩條切線，切點分別為，，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4【答案】ABD【詳解】對A，易知準(zhǔn)線方程為，∴，：，故選項A正確.對B，設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項B正確.對C，設(shè)，，其中，.則：，即.代入點，得，同理可得，故：，故.

故選項C不正確.對D，同C，切線方程：；：，代入點有，，故直線的方程為，即，聯(lián)立有，則，故，又到的距離，故，故當(dāng)時的面積小值為，故D正確（多選）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，直線與交于、兩點，且，，若過點、分別作的兩條切線交于點，則下列各選項正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過點【答案】ACD【簡證】第一步：由性質(zhì)一可得AR∥y軸，故A點橫坐標(biāo)為4第二步：由性質(zhì)2可得:點所在直線為，故A正確，故B錯；而A點在準(zhǔn)線上，可得C對，D對附：【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點拋物線內(nèi)部的定點，則點P的軌跡為直線.若焦點在y軸上的拋物線，則軌跡方程為【詳解】拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，拋物線的方程為，設(shè)、，由可知為的中點，所以，且，，由可得，所以，直線的斜率為，則直線的方程為，可得，聯(lián)立可得，所以，，對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，切線的方程為，即，同理可知，切線的方程為，聯(lián)立可得，即點，易知拋物線的焦點為，所以，，A對；因為直線過點，所以，，B錯；因為，，所以，，所以，故C正確；因為，且為的中點，所以，，因此，以為直徑的圓過點，故D正確. （多選）已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點作直線交于、兩點，則（

）A．拋物線的方程是 B．C．當(dāng)時， D．【答案】ABD【分析】求出的值，可得出拋物線的方程，可判斷A選項；設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷B選項；根據(jù)平面向量的線性運算，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，再結(jié)合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項；計算出直線、的斜率之和，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為點在拋物線的準(zhǔn)線上，則，可得，所以拋物線的方程為，A對；對于B選項，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，B對；對于C選項，因為，即，則，因為，可得，則，則，此時，，C錯；對于D選項，，同理可得，所以，所以，D對.過向拋物線引兩條切線，切點分別為,又點在直線上的射影為，則焦點與連線的斜率取值范圍是.【答案】.【簡證】半代入得切點弦QR方程為，故QR過定點，所以點的軌跡為以為直徑的圓點與圓相切時斜率取到最值【常規(guī)法詳解】設(shè)，不妨設(shè)，由，可得，可得，則，可得切線的方程為因為點在直線上，可得，同理可得：，所以直線的方程為，可得直線過定點，又因為在直線上的射影為，可得且，所以點的軌跡為以為直徑的圓，其方程為，當(dāng)與相切時，由拋物線，可得，設(shè)過點與圓相切的直線的斜率為，可得切線方程為，則，解得或，所以實數(shù)的范圍為.故答案為：.

（多選）已知拋物線，過其準(zhǔn)線上的點作的兩條切線，切點分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點【答案】BD【分析】根據(jù)為準(zhǔn)線上的點列方程，解方程即可得到可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過點，的切線斜率，可得到，為方程的解，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理得到，即可判斷B；利用韋達(dá)定理和斜率公式求即可判斷C；聯(lián)立和得到，同理可得，即可得到直線的方程為，可判斷D.【詳解】因為為準(zhǔn)線上的點，所以，解得，故A錯；根據(jù)拋物線方程得到，則，設(shè)切點坐標(biāo)為，，則，整理得，同理得，所以，為方程的解，，所以，則，故B正確；由B選項得，所以，故C錯；由B選項得，又，聯(lián)立得，同理得，所以直線AB的方程為，恒過點，故D正確．

【題型8】拋物線中的定點與定值問題模型（平移齊次化）常見定點問題與定值問題的常見條件有數(shù)量積為定值，斜率和或積為定值，其中數(shù)量積可以化為坐標(biāo)運算再代入韋達(dá)定理，斜率和積為定值時可以考慮平移齊次化來解決定點問題.1、過拋物線上的一定點作兩條斜率之和為的直線，，分別交拋物線于，兩點，則直線必過定點2、過拋物線上的一定點作兩條斜率之積為的直線，，分別交拋物線于，兩點，則直線必過定點以上稱為手電筒模型，注意點P不在曲線上時，上式并不適用，常數(shù)也需要齊次化乘“12”【坐標(biāo)平移+齊次化處理】（左加右減，上減下加為曲線平移）Step1：平移點P到原點，寫出平移后的曲線方程，設(shè)出直線方程，并齊次化處理Step2：根據(jù)斜率之