利用MATLAB設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)舉例考慮倒立擺控制系統(tǒng)，如圖5.13所示。在該例中，我們僅討論擺和小車在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的情形。希望盡可能地保持倒立擺垂直，并控制小車的位置。例如，以步進(jìn)形式使小車移動(dòng)。為控制小車的位置，需建造一個(gè)I型伺服系統(tǒng)。安裝在小車上的倒立擺被控系統(tǒng)沒有積分器(0型系統(tǒng))。因此，將位置信號(hào)y(表示小車的位置)反饋到輸入端，并且在前饋通道中插入一個(gè)積分器，如圖5.14所示（將該系統(tǒng)與5.4節(jié)討論的系統(tǒng)進(jìn)行比較，后者沒有輸入作用于小車上）。假設(shè)擺的角度和角速度很小，以致于，和。又假設(shè)M、m和l的值與5.4節(jié)討論的系統(tǒng)的對應(yīng)數(shù)值相同。也就是說M=2千克，m=0.1千克，l=0.5米圖5.13倒立擺控制系統(tǒng)圖5.14倒立擺系統(tǒng)(當(dāng)被控對象不含積分器時(shí)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng))參照5.4節(jié)（式（5.21）和（5.22）），該倒立擺控制系統(tǒng)的方程為 (5.118) (5.119)代入給定的數(shù)值，式（5.118）和（5.119）成為(5.120)(5.121) 定義狀態(tài)變量為因此，參照式（5.120）和（5.121）和圖5.14，且考慮作為系統(tǒng)輸出的小車位置x，可得該系統(tǒng)的方程為(5.122)(5.123) (5.124) (5.125)式中對于I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)，我們得到用式（5.114）給出的狀態(tài)誤差方程為(5.126)式中及由式（5.115）給出的控制輸入為這里現(xiàn)用極點(diǎn)配置方法確定所需的狀態(tài)反饋增益矩陣，即采用式（5.13）確定矩陣。下面首先介紹一種解析方法，然后再介紹MATLAB解法。在進(jìn)一步討論前，必須檢驗(yàn)矩陣的秩，其中即(5.127)易知，該矩陣的秩為5。因此，由式（5.126）定義的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，并可任意配置極點(diǎn)。相應(yīng)由式（5.126）給出的系統(tǒng)的特征方程為因此為了使設(shè)計(jì)的系統(tǒng)獲得適當(dāng)?shù)捻憫?yīng)速度和阻尼（例如，在小車的階躍響應(yīng)中，約有4~5秒的調(diào)整時(shí)間和15%~16%的最大超調(diào)量），選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)為(i=1,2,3,4,5)，其中這是一組可能的期望閉環(huán)極點(diǎn)，也可選擇其他的。因此，期望的特征方程為于是下一步求由式（5.4）給出的變換矩陣P這里Q和W分別由式（5.5）和(5.6)給出，即于是矩陣P的逆為參見式（5.13），矩陣計(jì)算為因此且1所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性確定了狀態(tài)反饋增益矩陣K和積分增益常數(shù)，小車位置的階躍響應(yīng)可通過下列狀態(tài)方程求得，即(5.128)由于式（5.128）可寫為 (5.129)或圖5.15給出了x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t)和ξ(t)(=x5(t))對t的響應(yīng)曲線。圖中，作用在小車上的輸入r(t)為單位階躍函數(shù)，即r(t)=1米。注意，x1=θ、x2=、x3=x和x4=。所有的初始條件均等于零。圖5.15x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t)和x5(t)對t的響應(yīng)曲線x3(t)(=x(t))的階躍響應(yīng)正如所希望的那樣，調(diào)整時(shí)間約為4.5秒，最大超調(diào)量約為11.8%。在位置曲線（x3(t)對t的曲線）上，有一點(diǎn)很有趣，即最初的0.6秒左右，小車向后移動(dòng)，使得擺向前傾斜。然后，小車在正方向加速運(yùn)動(dòng)。x3(t)對t的響應(yīng)曲線清晰地顯示了x3()趨于r。同樣地，x1()=0、x2()=0、x4()=0和=1.1。這一結(jié)果可由以下分析方法予以證實(shí)。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，由式（5.122）和（5.125）可得將其合并為由于已求出矩陣的秩為5，所以矩陣的逆存在。因此參照方程(5.127)，可得因此從而由于或可得由于，故由式(5.125)可得從而因此，對r=1，可得如圖5.15所示。應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，在任意的設(shè)計(jì)問題中，如果響應(yīng)速度和阻尼不十分滿意，則必須修改期望的特征方程，并確定一個(gè)新的矩陣。必須反復(fù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，直到獲得滿意的結(jié)果為止。2用MATLAB確定狀態(tài)反饋增益矩陣和積分增益常數(shù)MATLABProgram5.10可用于設(shè)計(jì)倒立擺控制系統(tǒng)。注意，在程序中，用符號(hào)A1、B1和KK分別表示、和，即MATLABProgram5.10%-----Designofaninvertedpendulumcontrolsystem------%*****InthisprogramweuseAckermann’sformulafor%poleplacement*****%*****Thisprogramdeterminesthestatefeedbackgainmatrix%K=[k1k2k3k4]andintegralgainconstantKI*****%*****EntermatricesA,B,C,andD*****A=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0];B=[0;-1;0;0.5];C=[0010];D=[0];%*****EntermatricesA1andB1*****A1=[Azeros(4,1);-C0];B1=[B;0];%*****DefinethecontrollabilitymatrixQ****Q=[B1A1*B1A1^2*B1A1^3*B1A1^4*B1];%****ChecktherankofmatrixQ*****rank(Q)ans=5%****SincetherankofQis5,thesystemiscompletely%statecontrollable.Hence,arbitrarypoleplacementis%possible*****%****Enterthedesiredcharacteristicpolynomial,which%canbeobtainedbydefiningthefollowingmatrixJand%enteringstatementpoly(J)*****J=[-1+sqrt(3)*i 0 0 0 0; 0 -1-sqrt(3)*i 0 0 0; 0 0-5 0 0; 0 0 0 -5 -5; 0 0 0 0 -5];JJ=poly(J)JJ=1.000017.0000109.0000335.0000550.0000500.0000%****EntercharacteristicpolynomialPhi*****Phi=polyvalm(poly(J),A1);%*****StatefeedbackgainmatrixKandintegralgainconstant%KIcanbedeterminedfrom*****KK=[0 0 0 0 1]*(inv(Q))*PhiKK=-157.6336-35.3733-56.0652-36.746650.9684k1=KK(1),k2=KK(2),k3=KK(3),k4=KK(4),KI=-KK(5)k1=-157.6336k2=-35.3733k3=-56.0652k4=-36.7466KI=-50.9684 3所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性 一旦確定了反饋增益矩陣K和積分增益常數(shù)，小車的位置對階躍的響應(yīng)就可通過求解式（5.129）求得，現(xiàn)將其重寫為 (5.130)該系統(tǒng)的輸出為x3(t)，即 (5.131)將由式（5.130）和（5.131）給出的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣）、控制矩陣、輸出矩陣及直接傳輸矩陣分別記為AA、BB、CC和DD。MATLABProgram5.11可用于給出所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。注意，為了求得對單位階躍的響應(yīng)，需輸入命令圖5.16給出了x1、x2、x3(=輸出y)、x4對t，以及x5（=ξ）對t的響應(yīng)曲線（在圖5.15中，這些響應(yīng)曲線均表示在同一個(gè)圖上）。MATLABProgram5.11%------Stepresponseofthedesignedsystem------%****Thefollowingprogramistoobtainstepresponse%oftheinvertedpendulumsystemjustdesigned*****%*****Enternecessarymatrices*****A=[0100;20.601000;0001;-0.4905000];B=[0;-1;0;0.5];C=[0010];D=[0];K=[-157.6336-35.3733-56.0652-36.7466];KI=-50.9684;AA=[A-B*KB*KI;-C0];BB=[0;0;0;0;1];CC=[C0];DD=[0];%****Next,enterthefollowingcommand****t=0:0.02:6;[y,x,t]=step(AA,BB,CC,DD,1,t);plot(t,x)gridtitle(‘ResponseCurvesx1,x2,x3,x4,x5versust’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘x1,x2,x3,x4,x5’)text(1.3,0.04,’x1’)text(1.5,-0.34,’x2’)text(1.5,0.44,’x3’)text(2.33,0.26,’x4’)text(1.2,1.3,’x5’)%*****TheaboveresponsecurveswerepresentedinFigure5.15*****%*****Toobtainresponsecurvesx1versust,x2versust,%x3versust,x4versust,andx5versust,separately,enter%thefollowingcommand*****x1=[1 0 0 0 0]*x’;x2=[0 1 0 0 0]*x’;x3=[0 0 1 0 0]*x’;x4=[0 0 0 1 0]*x’;x5=[0 0 0 0 1]*x’;subplot(3,2,1);plot(t,x1);gridtitle(‘x1versust’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘x1’)subplot(3,2,2);plot(t,x2);gridtitle(‘x2versust’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘x2’)subplot(3,2,3);plot(t