第六章三維圖形變換與三維觀察6.1三維幾何變換6.2投影變換6.3三維圖形裁剪6.4三維觀察體的規(guī)范化變換6.5三維觀察流程

6.1三維幾何變換

6.1.1平移

若三維空間中點P′(x′,y′,z′)是由點P(x,y,z)在

x，y和z軸方向分別移動距離tx，ty和tz得到的，則這兩點坐標間的關系為

x′=x+tx,y′=y+ty,z′=z+tz

(6.1)寫成矩陣形式為三維空間中物體的平移是通過平移物體的各個點來實現(xiàn)，對于一組多邊形面表示的物體，可將表面的各頂點作平移，然后繪制更新后的新位置。6.1.2縮放

設點P(x,y,z)相對于坐標原點經(jīng)縮放變換后得到點P′(x′,y′,z′)，則這兩點坐標間的關系為(6.4)縮放系數(shù)sx、sy和sz可以是任何正數(shù)。縮放系數(shù)值小于1時，物體的尺寸縮??；值大于1時，物體的尺寸放大；值等于1時，物體尺寸不變。當sx、sy和sz相等時，會產(chǎn)生保持物體相對比例的一致縮放；sx、sy和sz不等時，則會產(chǎn)生差值縮放。相對于一給定點(xf,yf,zf)的縮放變換可用下列變換序列來表示：

（1）平移給定點至原點。

（2）用式（6.4）相對于坐標原點縮放物體。

（3）平移給定點至原始位置。

任一點的縮放變換矩陣表示形式可以用“平移—縮放—平移”變換組合表示如下：(6.5)6.1.3旋轉(zhuǎn)

1．繞坐標軸旋轉(zhuǎn)

設旋轉(zhuǎn)角度為θ，繞坐標軸的逆時針旋轉(zhuǎn)為正向旋轉(zhuǎn)，如圖6.2所示。圖6.2旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸正半軸（1）繞z軸的旋轉(zhuǎn)表示式為(6.6（2）繞x軸的旋轉(zhuǎn)表示式為(6.7)（3）繞y軸的旋轉(zhuǎn)表示式為(6.8)2．一般三維旋轉(zhuǎn)圖6.3新坐標系它們分別對應的單位向量為根據(jù)右手規(guī)則，o

軸的方向向量為(6.9)(6.10)(6.11)參照上面所講的繞通過坐標原點的任意軸作旋轉(zhuǎn)變換的實現(xiàn)方法，根據(jù)式（6.6）、式（6.9）以及式（6.11），可得變換公式為(6.12)另一種思路是先確定任意軸的方向余弦與旋轉(zhuǎn)變換的關系，然后再用組合變換的思想實現(xiàn)繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換。如圖6.4所示，設有空間任意軸ON，其方向余弦分

別為

n1=cosα，n2=cosβ，n3=cosγ為實現(xiàn)空間點繞任意軸ON的旋轉(zhuǎn)變換，首先要把

ON軸繞z軸旋轉(zhuǎn)一個角度－θ2，再繞y軸旋轉(zhuǎn)一個角度

－θ1，以便使ON軸與z軸相重合，如圖6.4所示。此時，空間點繞ON軸的旋轉(zhuǎn)就變成和繞z軸的旋轉(zhuǎn)一樣。然后，再把ON軸反旋轉(zhuǎn)回原來的位置。其中轉(zhuǎn)角θ1和θ2的確定是關鍵，它們可通過方向余弦來求得。圖6.4繞任意組的旋轉(zhuǎn)在oz軸上取一單位向量［0011］T，將該單位向量先繞y軸旋轉(zhuǎn)θ1角，然后再繞z軸旋轉(zhuǎn)θ2角，使之與ON軸

線重合。這樣，便可以列出ON軸線的方向余弦與轉(zhuǎn)角θ1和轉(zhuǎn)角θ2之間的關系：于是，空間一點繞任意軸ON旋轉(zhuǎn)θ角的變換可分為三步進行：

（1）通過兩次旋轉(zhuǎn)變換，使ON軸與坐標系z軸重合。（2）繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角。

（3）通過兩次逆旋轉(zhuǎn)變換，使ON軸轉(zhuǎn)回到原來的位置。因此，整個變換過程是5次簡單基本變換的級聯(lián)。

(1)繞z軸旋轉(zhuǎn)－θ2角，其變換矩陣為：(6.14)

(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)－θ1角，其變換矩陣為：(6.15)

(3)繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角，其變換矩陣為：(6.16)

(4)繞y軸旋轉(zhuǎn)θ1角，其變換矩陣為：(6.17)

(5)繞z軸旋轉(zhuǎn)θ2角，其變換矩陣為：(6.18)6.1.4對稱

(1)關于坐標平面xoy的對稱，其變換公式是(6.19)

(2)關于坐標平面xoz的對稱，其變換公式是(6.20)

(3)關于坐標平面yoz的對稱，其變換公式是(6.21)6.1.5錯切

（1）沿x軸方向含y的錯切指錯切平面沿x軸方向錯移并且離開y軸。變換矩陣為(6.22)（2）沿x軸方向含z的錯切指錯切平面沿x軸方向錯移并且離開z軸。變換矩陣為(6.23)（3）沿y軸方向含x的錯切指錯切平面沿y軸方向錯移并且離開x軸。變換矩陣為(6.24)（4）沿y軸方向含z的錯切指錯切平面沿y軸方向錯移并且離開z軸。變換矩陣為(6.25)（5）沿z軸方向含x的錯切指錯切平面沿z軸方向錯移并且離開x軸。變換矩陣為(6.26)（6）沿z軸方向含y的錯切指錯切平面沿z軸方向錯移并且離開y軸。變換矩陣為(6.27)6.1.6復合變換

和二維變換一樣，我們用變換序列中的各次運算的矩陣乘積來形成復合變換。該合并從右到左實現(xiàn)，其中最右邊的矩陣是第一個作用于物體的變換，最左邊的變換是最后一個變換。一系列基本的三維幾何變換組合成了一個復合變換矩陣，然后用它來對物體的坐標進行定義。

6.2投影變換

6.2.1透視投影及其分類

透視投影變換由投影平面和投影中心所確定。物體投影的大小和投影中心到物體的距離成反比。任何一束不平行于投影平面的平行線，其透視投影后將會聚到一點，該點稱為滅點（VanishingPoint）。在三維空間中平行線只會在無窮遠點處相交，所以滅點也可看作是無窮遠點的透視投影。在所有滅點中，平行于三個坐標軸之一的直線束的滅點稱為主滅點（PrincipalVanishingPoint），主滅點最多只能有三個。透視投影可按主滅點的數(shù)目分為一點透視、兩點透視和三點透視。

（1）一點透視。投影平面只和一個坐標軸相交，即投影平面與坐標面平行。所生成的物體投影圖真實感較差。

（2）兩點透視。投影平面和二個坐標軸相交，即投影平面與一個坐標軸平行。所生成的物體投影圖具有較好

的真實性，比較容易構(gòu)造。常用于建筑工程、工業(yè)設計和廣告等領域。

（3）三點透視。投影平面和三個坐標軸相交，這類透視投影的構(gòu)造比兩點透視難一些，用的較少。6.2.2透視投影的確定

令z′=0，得代入式（6.28）的前兩式，可求得點Q

的透視投影為(6.29)寫成矩陣形式，則透視投影變換為(6.30)投影平面上投影點的非齊次坐標為(6.31)有時為了三維裁剪或消隱的目的，常常要把一個對象的透視投影圖看成是另一個對象在同一投影平面上的正視圖，且要求兩個對象對應點的z坐標分量排序一致。此外，還要求原對象上的直線在另一個對象上也是直線，那么后一個對象可以通過前一個對象做射影變換得到。該射影變換由式（6.31）和式（6.32)構(gòu)成。式(6.32)如下：其中A、B為常數(shù)。顯然，射影變換把三維空間的直線也變成了直線。(6.32)6.2.3平行投影及其分類

1.正平行投影

（1）正投影。投影平面垂直于某一坐標軸，因此，該坐標軸方向就是投影方向。最常見的正投影有六種：前(主)視圖、后視圖、左(側(cè))視圖、右視圖、頂(俯)視圖、底(仰)視圖，工程制圖中常用前視圖、側(cè)視圖和頂視圖三種。正投影能較好地描述物體的一個面，但卻丟失了物體

的許多三維信息，即使使用所有的六種正視圖，有時也難以重構(gòu)該物體的三維結(jié)構(gòu)。（2）正軸側(cè)投影（AxonometricOthographicProjection)。投影平面與任一坐標軸不垂直，因而，它所描述的不僅是物體的一個面，有時是兩個面或多個面，所以具有一定的立體感。在正軸側(cè)投影中，線的平行性保持不變，平行于同一坐標軸的線段均以相同的比例縮放，其縮放系數(shù)與投影方向有關，但正軸側(cè)投影中的角度經(jīng)投影后將發(fā)生變化。（3）等軸側(cè)投影（IsometricProjection）。它是最常用的正投影之一，投影平面和三個坐標軸的截距相同，或者說投影方向與三個坐標軸的夾角相等。若投影平面的法向量為(a，b，c)，則|a|=|b|=|c|，所以有八種等軸側(cè)投影。它們組成四對，每對中的兩個投影平面法向相反，得到的投影圖互相對稱（未消隱）。在等軸側(cè)投影中，沿三個坐標軸方向物體有相同的變形系數(shù)，即沿著軸向的量度具有相同的比例系數(shù)，三個坐標軸投影之間的夾角為120°。

2.斜平行投影

在斜平行投影中，投影方向和投影平面不垂直，兩種最常用最重要的斜平行投影為：斜等側(cè)投影（AvalierProjection）和斜二側(cè)投影（Cabinet）。

（1）斜等側(cè)投影的投影平面和一坐標軸垂直，投影方向和投影平面成45°角，因此，與投影平面垂直的直線段的投影與該直線段本身等長。

(2)斜二側(cè)投影的投影平面和一坐標軸垂直，投影方向和投影平面成arctg1/2度角，因此，與投影平面垂直的直線段的投影長度為實際長度的1/2。因而，該軸向的變形系數(shù)為1/2，這可使物體的立體感更好一些，與人的視覺經(jīng)驗較一致。6.2.4平行投影的確定

(6.33)令z′=0，則有t=－z/zd，代入式（6.33）的前兩式，可得點Q的平行投影為(6.34)寫成矩陣形式，則平行投影變換為(6.35)投影平面上投影點的非齊次坐標為(6.36)6.2.5一般投影變換

垂直的平面(圖6.5)。圖6.5觀察坐標系

2.坐標系變換公式

設觀察坐標系oxyz的原點o

在用戶坐標系oxyz中的坐標為(x0，y0，z0)，坐標軸ox、oy

和oz

的單位方向向量

的用戶坐標分別為(a11，a12，a13)、(a21，a22，a23)和(a31，a32，a33)，那么由觀察坐標系的確定可知(6.38)

oz

軸的單位方向向量為(6.39)而ox軸的方向和向量U×N一致，所以(6.40)根據(jù)右手規(guī)則，oy軸的單位方向向量為(6.41)從而，從用戶坐標系到觀察坐標系的坐標變換公式是(6.42)寫成齊次坐標表示，則有其中(6.43)(6.44)

3.透視投影變換公式

設透視中心C在用戶坐標系oxyz中的坐標為(xc，yc，zc)，那么由式（6.43）可知，C在觀察坐標系中的坐標

(xc，yc，zc)確定式為(6.45)由透視變換公式（6.30）、式（6.31）和坐標變換公式（6.43）可知(6.46)寫成非齊次坐標表示，則有(6.47)考慮到式（6.31）和式（6.32）確定的射影變換公式，同樣可以建立從三維空間oxyz到三維空間oxyz

的射影變換公式為6.48)其非齊次坐標表示為6.4９)

4.平行投影變換公式

因此，D的觀察坐標系坐標由下式確定(6.50)根據(jù)平行投影變換公式（6.35）和坐標變換公式（6.43），可得平行投影變換公式為(6.51)相應的非齊次坐標表示為(6.52)同透視變換一樣，利用式（6.36）和式（6.43）也可確定從三維用戶空間到三維觀察空間的射影變換式：其非齊次坐標表示為(6.54)

6.3三維圖形裁剪

6.3.1三維觀察體

在攝影中，照相機所使用的鏡頭類型是決定進入膠片的攝入景物多少的一個因素，廣角鏡頭比一般鏡頭所攝入的景物多。同樣，在三維觀察中，觀察平面中的矩形觀察窗口或投影窗口的使用具有與相機鏡頭相同的效果。投影平面中觀察窗口的邊平行于x

軸和y

軸，觀察邊界位置由觀察坐標給出，如圖6.6所示。觀察窗口可以位于觀察平面的任何位置。圖6.6觀察平面上的窗口描述給出觀察窗口描述后，我們可以利用窗口邊界來設置觀察體。只有在觀察體中的物體才能在輸出設備中顯示或繪制，其他所有物體均被裁剪掉。觀察體的大小依賴于窗口的大小，而觀察體的形狀則取決于生成顯示的投影類型。不管何種情況，觀察體的四側(cè)面都是過窗口邊界的平面。對平行投影而言，觀察體的四側(cè)面會形成無限長的管道，如圖6.7所示。對透視投影來說，觀察體是頂點在投影中心的四棱錐（圖6.8）。圖6.7平行投影觀察體圖6.8透視投影觀察體

兩個平面都必須在投影中心的同一側(cè)，后平面與投影中心的距離遠于前平面的距離，所產(chǎn)生的觀察體包括前后平面共6個平面，如圖6.9所示。在平行投影里，6個面形成一平行六面體，透視投影中，前后平面將無限四棱錐截成四棱臺。圖6.9前、后平面和頂、底及側(cè)面圍成的觀察體6.3.2三維裁剪

三維的規(guī)范化觀察體分為兩種，對于平行投影，規(guī)范化觀察體為一單位立方體，由x=0，x=1，y=0，y=1，z=0，z=1六個平面圍成。透視投影時，其規(guī)范化觀察體

由平面x=±z，y=±z和z=zmin，z=1所圍成（圖6.10）。圖6.10規(guī)范化觀察體

1.Sutherland-Cohen算法

三維圖形裁剪的Sutherland-Cohen算法和二維裁剪一樣，對窗口的六個面所分的27個區(qū)域進行編碼。每一個區(qū)域的點采用同一編碼，編碼由六位組成。編碼規(guī)則如下：直線段和觀察體的邊界面交點計算時采用參數(shù)方程，例如，對于起點和終點分別為P0=(x0，y0，

z0)、P1=

(x1，y1，z1)的直線段，其參數(shù)方程為：

x=x0+(x1－x0)t，y=y0+(y1－y0)t，z=z0+(z1－z0)t，0≤t≤1和規(guī)范化觀察體的邊界面求交時，例如邊界面為y=1，可由y0+(y1－y0)t′=1求得交點參數(shù)t′=(1－y0)/(y1－y0)，代入直線段參數(shù)方程，即可求出交點的坐標。和平面x=z求

交點時，其交點參數(shù)則為代入直線段參數(shù)方程即可求得交點坐標。（6.55）

2.梁友棟-Barsky算法

三維圖形裁剪的梁友棟-Barsky算法也是對二維圖形裁剪的推廣。當規(guī)范化觀察體為立方體時，可直接得出這種推廣，即：當規(guī)范化觀察體為棱臺時，則

6.4三維觀察體的規(guī)范化變換

6.4.1平行投影情況下的變換

第一步：將點P1移至坐標原點，變換的矩陣為(6.56)圖6.11平行投影的觀察體圖6.12平行六面體在二坐標平面上的投影第二步：對平行六面體沿x

方向和y方向做錯切變換，以其使變?yōu)殚L方體，其錯切變換的變換矩陣是：(6.58)第三步：將第二步的長方體變?yōu)閱挝涣⒎襟w，這個變換的變換矩陣為(6.59)6.4.2透視投影下的變換

第一步：將投影中心移至坐標原點，其變換的矩陣為

(6.61)圖6.13透視投影的觀察體變換后，棱臺oxz平面和

oyz

平面上的投影如圖6.14

所示。圖6.14棱臺在二坐標平面上的投影第二步：沿x

方向和方向y

做錯切變換，把經(jīng)過

TR變換后的棱臺變成正棱臺，該變換矩陣為(6.62)第三步：做縮放變換，使正棱臺變?yōu)橐?guī)范化觀察體，其變換矩陣是(6.63)6.5三維觀察流程

考慮到實時動態(tài)圖形在實時模擬等方面的重要性以及圖形系統(tǒng)的完整性，一般地，三維圖形的顯示流程如圖6.15所示。觀察圖6.15所示流程，除