第2章數(shù)字信號(hào)處理的基本知識(shí)2.1模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換和數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換2.2離散傅立葉變換(DFT)與快速傅立葉變換(FFT)2.3濾波器2.4本章小結(jié)2.1模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換和數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換

2.1.1模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換在進(jìn)行模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換時(shí)，因?yàn)檩斎氲哪M信號(hào)在時(shí)間上是連續(xù)的而輸出的數(shù)字信號(hào)是離散的，所以轉(zhuǎn)換只能在一系列選定的瞬間對(duì)輸入的模擬信號(hào)采樣，然后再把這些采樣值量化為數(shù)字量輸出。

1.采樣定理為了能正確無(wú)誤地用采樣信號(hào)表示模擬信號(hào)，采樣信號(hào)必須有足夠高的頻率。我們列舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如圖2.1.1所示。圖2.1.1對(duì)輸入信號(hào)的模擬采樣為了保證能將原來(lái)的被采樣信號(hào)恢復(fù)，必須滿足：(2.1.1)公式(2.1.1)中，fs為采樣頻率，fi(max)為輸入模擬信號(hào)的最高頻率分量的頻率，這就是采樣定理。每次采樣的時(shí)間間隔稱之為采樣周期ts(=1/fs)。在滿足采樣定理的條件下，可以用低通濾波器將采樣信號(hào)還原為模擬信號(hào)。這個(gè)低通濾波器的電壓傳輸系數(shù)在低于fi(max)的范圍內(nèi)應(yīng)保持不變，而在fs-fi(max)以前，應(yīng)迅速下降為零，如圖2.1.2所示。圖2.1.2還原采樣信號(hào)所用濾波器的頻率特性因此，A/D轉(zhuǎn)換器工作時(shí)的采樣頻率必須滿足fs≥2fi(max)。采樣頻率提高以后，轉(zhuǎn)換的時(shí)間也相應(yīng)地縮短了，這就要求轉(zhuǎn)換電路必須具備更快的工作速度。因此，不能無(wú)限制地提高采樣頻率，通常取fs?=?(3～5)fi(max)來(lái)滿足要求。

一般說(shuō)來(lái)，采樣頻率還要取決于采樣對(duì)象的參數(shù)，例如對(duì)于控制系統(tǒng)，采樣頻率一般取在10Hz，對(duì)于生物信息的采樣在100Hz左右，對(duì)音頻信息的采樣，一般在1000Hz左右，而對(duì)于數(shù)字信號(hào)前端信息的采樣，一般在1MHz左右。

通過(guò)ADC可以將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)，如圖2.1.3所示。圖2.1.3通過(guò)ADC將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)

2.量化和編碼

數(shù)字信號(hào)不僅在時(shí)間上是離散的，而且數(shù)值大小的變換也是不連續(xù)的，這就是說(shuō)，任何一個(gè)數(shù)字量的大小只能是規(guī)定的最小數(shù)量單位的整數(shù)倍。在進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換時(shí)，必須把采樣電壓表示為這個(gè)最小單位的整數(shù)倍。這個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程叫做量化，所取的最小數(shù)量單位叫做量化單位，用表示。顯然，數(shù)字信號(hào)最低有效位(LSB)的1所代表的數(shù)量大小就等于。把量化的結(jié)果用數(shù)碼(可以是二進(jìn)制，也可以是其他進(jìn)制)表示出來(lái)，稱為編碼。這些數(shù)碼就是A/D轉(zhuǎn)換的結(jié)果。由于模擬電壓是連續(xù)的，電壓值不一定能被整除，因此量化過(guò)程便不可避免地出現(xiàn)誤差。這種誤差稱為量化誤差。以二進(jìn)制為例，將模擬電壓信號(hào)劃分為不同的量化等級(jí)時(shí)，通常有兩種方法，如圖2.1.4所示。圖2.1.4劃分量化電平的兩種方法圖示兩種量化電平的方法是以0～1V的模擬電壓信號(hào)轉(zhuǎn)換成3位二進(jìn)制代碼為例，圖2.1.4(a)所示為取Δ=1/8V，并規(guī)定所有數(shù)值在0～1/8V之間的模擬電壓都當(dāng)作0×V對(duì)待，用二進(jìn)制“000”表示；數(shù)值在1/8～2/8V之間的模擬電壓都當(dāng)作1×Δ對(duì)待，用二進(jìn)制數(shù)“001”表示，依此類推。由此可以看出，這種量化方法可能帶來(lái)的最大量化誤差為Δ，也就是1/8V。圖(b)是對(duì)圖(a)的改進(jìn)，即取量化電平Δ=2/15V，并將輸出數(shù)碼“000”對(duì)應(yīng)的模擬電壓范圍規(guī)定為0～1/15V，即0～1/2Δ，這樣可以將量化誤差減小到1/2Δ，即1/15V。2.1.2數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換

在數(shù)字信號(hào)處理中，數(shù)模轉(zhuǎn)換的過(guò)程是一個(gè)將數(shù)字信號(hào)恢復(fù)為原有模擬信號(hào)的過(guò)程。完全恢復(fù)為原有的模擬信號(hào)是不可能的，在工程上，常用的是零階保持器、一階保持器和高階保持器。這里我們只討論零階保持器及一階保持器的效果。所謂的零階保持，就是在兩個(gè)采樣值之間令輸出保持上一個(gè)采樣值，這種方法除了在采樣率遠(yuǎn)高于信號(hào)中最高頻率的情況下效果不錯(cuò)之外，通常帶來(lái)很大的誤差，如圖2.1.5所示。圖2.1.5數(shù)字信號(hào)通過(guò)DAC轉(zhuǎn)換恢復(fù)為模擬信號(hào)一階保持器是一個(gè)基于相鄰兩個(gè)采樣值的線性外推規(guī)律恢復(fù)離散信號(hào)的保持器。利用這種方法的信號(hào)恢復(fù)結(jié)果如圖2.1.6所示。圖2.1.6使用零階保持器及一階保持器恢復(fù)模擬信號(hào)的效果對(duì)比2.2離散傅立葉變換(DFT)與快速傅立葉變換(FFT)

2.2.1離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform,DFT)

首先，了解一下離散傅立葉級(jí)數(shù)。對(duì)于周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，所有的時(shí)域特征信息都在一個(gè)周期內(nèi)反映出來(lái)了，因此，響應(yīng)的頻域特征信息也可以通過(guò)一個(gè)周期的信號(hào)進(jìn)行分析。根據(jù)傅立葉理論，一個(gè)周期為的離散信號(hào)可以展開為個(gè)復(fù)正弦信號(hào)的疊加形式，即離散傅立葉級(jí)數(shù)如下：(2.2.1)其中是傅立葉系數(shù)，其計(jì)算公式如下：(2.2.2)可以證明公式(2.2.1)和公式(2.2.2)都滿足周期為的特性，即，，所以，傅立葉系數(shù)也具有周期性特征。公式(2.2.1)說(shuō)明一個(gè)周期為的離散信號(hào)可以用個(gè)復(fù)正弦函數(shù)的線性加權(quán)表示，而加權(quán)系數(shù)就是傅立葉系數(shù)。從頻域來(lái)看，公式(2.2.1)說(shuō)明周期信號(hào)共有如下個(gè)頻率成分：k=0～N?-1(2.2.3)(2.2.5)(2.2.6)圖2.2.1由8個(gè)頻域采樣點(diǎn)形成離散頻譜X(k)，k=0～7將公式(2.2.6)離散頻率點(diǎn)帶入公式(2.2.5)得到信號(hào)的離散頻譜：(2.2.7)見上式左邊以簡(jiǎn)約形式X(k)表示，則上式成為DFT變換式公式(2.2.4)。因此，離散傅立葉變換的含義是求有限長(zhǎng)信號(hào)的離散頻譜，嚴(yán)格地說(shuō)，是在0～2π一個(gè)周期內(nèi)的離散值。離散傅立葉的反變換(InverseDiscreteFourierTransform,IDFT)公式如下：(2.2.8)上式包含兩層意思，一是可以根據(jù)N個(gè)離散傅立葉變換所表示的離散傅立葉頻譜值X(k)恢復(fù)原始信號(hào)x(n)；二是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)信號(hào)可以用N個(gè)頻率分量的正弦信號(hào)的疊加來(lái)構(gòu)成，這也就反映了信號(hào)的頻譜一定是N個(gè)離散值。它說(shuō)明任何一個(gè)段式分布的信號(hào)(有限長(zhǎng))都可以通過(guò)正弦信號(hào)來(lái)合成。在實(shí)際應(yīng)用中，大部分情況下是運(yùn)用DFT正變換分析信號(hào)的頻譜特征的，需要IDFT反變換進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)和重構(gòu)的場(chǎng)合主要是通信和數(shù)據(jù)壓縮領(lǐng)域。(2.2.9)定義(2.2.10)則公式(2.2.9)可以轉(zhuǎn)化為：(2.2.11)圖2.2.28點(diǎn)DFT分解成兩個(gè)4點(diǎn)DFT圖2.2.34點(diǎn)DFT分解成兩個(gè)2點(diǎn)DFT圖2.2.42點(diǎn)DFT分解圖2.2.5基于時(shí)選的8點(diǎn)FFT算法圖2.2.6基于時(shí)選的FFT算法的改進(jìn)形式(2.2.12)令，則上式成為：(2.2.13)(2.2.14)(2.2.15)圖2.2.78點(diǎn)DFT分解成兩個(gè)4點(diǎn)DFT圖2.2.84點(diǎn)DFT的進(jìn)一步分解圖2.2.9基于頻選的8點(diǎn)FFT算法 2.3濾波器

2.3.1無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(IIR)

1.直接Ⅰ型

IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為(2.3.1)對(duì)應(yīng)的差分方程為圖2.3.1N階IIR系統(tǒng)直接Ⅰ型流圖(2.3.2)

2.直接Ⅱ型

直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)又稱為典范型結(jié)構(gòu)。前文討論的直接Ｉ型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)可被看成是兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，結(jié)構(gòu)上為兩個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，若交換其級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，即總的輸入/輸出關(guān)系不變。對(duì)于圖2.3.1，如果把零點(diǎn)和極點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的次序?qū)Q一下，即先實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)再實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)，且把延時(shí)單元合并成一個(gè)公用的，則構(gòu)成了圖2.3.2所示的形式，稱為直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。圖2.3.2N階IIR系統(tǒng)直接Ⅱ型流圖

3.級(jí)聯(lián)型

如果將N階IIR系統(tǒng)函數(shù)分解成二階因式連乘積，則可得到級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)：(2.3.3)這樣，整個(gè)系統(tǒng)將由M個(gè)二階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成。具體地，將公式(2.3.1)的分子和分母都進(jìn)行因式分解，得到：(2.3.4)(2.3.5)(2.3.6)式中，N3表示的最大整數(shù)，且(2.3.7)稱為濾波器的二階基本節(jié)。圖2.3.3二階子系統(tǒng)的直接Ⅱ型實(shí)現(xiàn)

4.并聯(lián)型

IIR濾波器的并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式是基于對(duì)H(z)的部分分式展開來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)公式(2.3.4)的H(z)用部分分式展開，有：(2.3.8)(2.3.9)圖2.3.4IIR系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式

5.轉(zhuǎn)置型

如果將網(wǎng)絡(luò)中所有支路的方向加以反轉(zhuǎn)，支路增益保持不變，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)不會(huì)改變。

利用網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)置定理，將以上討論的幾種結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)置，可以得到幾種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，例如，對(duì)圖2.3.1的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置得到如圖2.3.5所示的結(jié)構(gòu)，畫成輸入在左，輸出在右的習(xí)慣形式，則如圖2.3.6所示。圖2.3.5直接Ⅱ型的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置圖2.3.6將圖2.3.5畫成輸入在左，輸出在右的習(xí)慣形式2.3.2有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(FIR)

FIR是一種非遞歸系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)序列，其系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為：(2.3.10)式中：h(k)為因果序列；H(k)是的N-1次多項(xiàng)式，它的N-1個(gè)極點(diǎn)全部位于z=0處，所以一個(gè)FIR系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。它的零點(diǎn)分布可以處于有限z平面內(nèi)的任何位置，當(dāng)全部零點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)部時(shí)，就成為最小相位系統(tǒng)。H(n)是有限時(shí)寬序列，因而還可以用DFT技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波。FIR系統(tǒng)的最大特點(diǎn)就是能夠做成嚴(yán)格的線性相位，這在圖像處理等應(yīng)用領(lǐng)域中非常重要。

1．直接型

式(2.3.10)對(duì)應(yīng)的FIR系統(tǒng)的差分方程為：由式(2.311)可以畫出FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)形式，如圖2.3.7所示?？梢钥闯觯?2.3.11)就是線性時(shí)不變系統(tǒng)的卷積和公式，所以直接型結(jié)構(gòu)又稱為卷積型結(jié)構(gòu)，有時(shí)還稱為橫截濾波器結(jié)構(gòu)。將轉(zhuǎn)置定理用于圖2.3.7，可得到圖2.3.8的轉(zhuǎn)置直接結(jié)構(gòu)形式。圖2.3.7FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)圖2.3.8FIR系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置直接結(jié)構(gòu)

2.級(jí)聯(lián)型

圖2.3.9FIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)2.3.3IIR濾波器與FIR濾波器的比較

下面對(duì)IIR和FIR兩種濾波器進(jìn)行比較，以便在實(shí)際應(yīng)用中選用它們，如表2.3.