學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1求過三點A(1,12）、B(7,10)、C（—9，2)的圓的方程，并求出圓的圓心與半徑,作出圖形.思路分析:因為圓過三個定點，故可以設(shè)圓的一般式方程來求圓的方程。解:設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，依題意有圖2—3—(1，2)-1解得D=—2,E=-4，F(xiàn)=-95。于是所求圓的方程為x2+y2—2x-4y-95=0。將上述方程配方得（x—1）2+(y—2)2=100.于是,圓的圓心D的坐標(biāo)為（1，2），半徑為10，圖形如圖2—3-(1，2）-1所示。綠色通道：求過三個定點的圓的方程往往采用待定系數(shù)法求解。利用圓經(jīng)過不在同一直線上的三點的條件,由待定系數(shù)法求出圓的一般式方程，并由此討論圓的幾何性質(zhì)。對于由一般式給出的圓的方程，研究其幾何性質(zhì)(圓心與半徑等)時,?？捎门浞椒ɑ蚬椒右郧蠼?變式訓(xùn)練1已知圓C與圓（x-1)2+y2=1關(guān)于直線y=-x對稱,則圓C的方程為（)A。(x+1)2+y2=1B。x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+（y-1）思路解析：求出圓心（1,0）關(guān)于直線y=—x的對稱點為（0,-1)，得到圓C的圓心。故選C。答案：C例2求下列圓的方程:(1)圓心在直線y=-2x上，且與直線y=1-x相切于點(2,-1）；（2)圓心為C(0，3）,且截直線y=x+1所得弦長為4.思路分析：利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓心和半徑的方程組來求解。解:(1)設(shè)圓心（a,—2a），圓的方程為(x-a）2+（y-2a）2=r2由解得∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=2.(2）設(shè)圓的方程為（x-3)2+y2=r2,利用點到直線的距離公式可以求得d=|=,再根據(jù)垂徑定理可知r=?！嗨髨A的方程為（x-3)2+y2=12.綠色通道：在解決與圓相關(guān)的問題時，如果涉及到圓心和半徑，或者截得的弦長等問題，一般選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來解題.變式訓(xùn)練2已知圓的半徑為,圓心在直線y=2x上，圓被直線x—y=0截得的弦長為，求圓的方程。解：設(shè)圓的方程為（x—a)2+（y—b）2=r2,由圓心在直線y=2x上，得b=2a.①由圓被直線x-y=0截得的弦長為,將y=x代入（x-a)2+(y—b）2=10,整理得2x2-2（a+b）x+a2+b2—10=0.由弦長公式得.化簡得a—b=±2.②解①②得a=2，b=4或a=—2，b=-4,∴所求圓的方程為(x-2)2+（y-4）2=10或（x+2)2+（y+4)2=10.例3如圖2-3—（1,2）-2所示，已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD中兩對角線AC、BD互相垂直,垂足為E,又F是BC的中點,試用坐標(biāo)法證明EF⊥AD.圖2—3-(1，2)-2思路分析：題中兩對角線互相垂直，不妨就選它們?yōu)樽鴺?biāo)軸，此時四個頂點的坐標(biāo)表示較為簡捷。證明：建立如圖2.3(1。2）2所示的直角坐標(biāo)系xOy,并設(shè)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（0，—a）,(b,0),（0,c),（-d，0）（a、b、c、d＞0)。于是BC中點F的坐標(biāo)為（,),故kEF=。又kAD=,故kEF·kAD=.由圓的相交弦定理得AE·EC=DE·EB,即ac=bd?！鄈EF·kAD=-1.∴EF⊥AD。黑色陷阱：用坐標(biāo)法處理平面幾何問題的關(guān)鍵是建立好坐標(biāo)系,此題若不以兩對角線為坐標(biāo)軸，處理起來相當(dāng)麻煩。在建立坐標(biāo)系時，要使盡量多的點落在坐標(biāo)軸上，或利用圖中現(xiàn)有的垂直關(guān)系.變式訓(xùn)練3在△AOB中,|OB|=3，|OA|=4,|AB｜=5，點P是△AOB內(nèi)切圓上的點，求|PA|2+｜PB｜2+|PC｜2的最大值與最小值。圖2-3—（1，2)-3解：如圖2-3-（1,2）-3建立直角坐標(biāo)系,使A、B、O三點坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3)、（0,0).設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則有2r+｜AB|=｜OA|+|OB｜，∴r=1。故內(nèi)切圓方程為（x-1)2+(y—1）2=1?；癁閤2+y2—2x-2y+1=0,①設(shè)點P（x，y），又∵｜PA|2+｜PB|2+|PC｜2=3x2+3y2-8x-6y+25，②由①知x2+y2—2y=2x—1，代入②得｜PA｜2+|PB|2+|PC|2=3（2x—1）-8x+25=-2x+22。∵x∈[0,2],∴｜PA|2+|PB|2+｜PC|2最大值為22，最小值為18。例4判斷下列方程是否表示圓，如果是,求出圓心和半徑;如果不是,請說明理由。(1）x2+y2+4x—2y+12=0；(2）x2+y2-11x+3y-30=0；（3）3x2+2y2+3x-3y+5=0。思路解析：本題首先要觀察各題目二次項系數(shù)是否相等，判定方程是否滿足表示圓的條件,再依據(jù)公式得出圓心和半徑.答案:(1）x2+y2+4x-2y+12=0可以轉(zhuǎn)化為(x+2）2+（y—1)2=-7,所以該方程不是圓的方程。(2)在x2+y2—11x+3y-30=0中,-=,—=-,D2+E2—4F=250＞0,所以該方程表示圓心為（,-),半徑為的圓。（3）在3x2+2y2+3x-3y+5=0中，因二次項系數(shù)不相等,所以該方程不是圓的方程。綠色通道：對于這類問題，首先看題中所給方程是否能化為圓的方程的一般式形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0，在D2+E2—4F＞0的情況下，則有（-,-）為圓心，為半徑.不必死記這個公式,要掌握通過配方將圓的一般式轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)式的方法.變式訓(xùn)練4方程ax2+ay2—4（a-1）x+4y=0表示圓,求實數(shù)a的取值范圍,并求出其中半徑最小的圓的方程.解：原方程可化為[x-］2+(y+）2=,∵a2—2a+2＞0，∴當(dāng)a≠0且a∈R時,原方程表示圓.又∵=+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時等號成立.∴a=2時圓的半徑最小,此時圓的方程為（x—1)2+(y+1)2=2。問題探究問題1探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的異同點.導(dǎo)思:求圓的方程一般采用待定系數(shù)法,探究求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的異同點就是確定待定系數(shù)個數(shù)是否相同,待定系數(shù)的特征是否相同，需要具備什么樣的已知條件才能分別求出這兩種圓的方程.探究：相同點:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程中都有三個未知量(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個待定系數(shù):a、b、r，圓的一般方程中有三個待定系數(shù):D、E、F），故確定一個圓需要三個獨立的條件，一般利用待定系數(shù)法確定，基本步驟為：(1）根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的方程；（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；（3）解方程組,求出a、b、r或D、E、F的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去，就可得到所求圓的方程。不過針對具體問題，通過數(shù)形結(jié)合的思想，有時利用圓的幾何性質(zhì)解題，會有更簡捷的解題途徑.不同點：一是待定系數(shù)的含義不同,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個待定系數(shù)有明確的幾何特征，而圓的一般方程中的三個待定系數(shù)沒有明確的幾何特征；二是要根據(jù)具體題目中的已知條件確定是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是求圓的一般方程.當(dāng)題目中已知圓心和半徑的條件時，要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)題目中已知圓上的三個點的時候，要求圓的一般方程.問題2圓的一般方程是一個二元二次方程，試探究圓的一般方程與二元二次方程的關(guān)系.導(dǎo)思：圓的一般方程是一個特殊的二元二次方程,也就是說只有當(dāng)二元二次方程滿足特定的條件時，這個二元二次方程才能表示圓，這就需要我們把圓的一般方程和普通的二元二次方程寫出來，分析它們的具體特征和限制條件.探究:比較圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系數(shù)和二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系數(shù)可以發(fā)現(xiàn),圓的一般方程是當(dāng)二元二次方程的系數(shù)滿足以下三個條件時的特殊情況。（1）x2、y2項的系數(shù)相等且不為零，即A=C≠0；（2)沒有xy項,即B=0;(3）D2+E2—4AF＞0。由此，我們可以發(fā)現(xiàn)二元二次方程不都表示圓，只有滿足上面三個條件的二元二次方程才可以表示圓,但是，所有圓的方程都是二元二次方程，圓的方程只是二元二次方程中的一類特殊的方程.問題3一些圓的位置比較特殊，它們的方程有何特點?導(dǎo)思：圓的方程由圓心坐標(biāo)和半徑唯一確定.當(dāng)圓與x軸相切時,圓心到x軸的距離等于圓的半徑，此時圓心的縱坐標(biāo)等于圓的半徑或半徑的相反數(shù)；當(dāng)圓與y軸相切時，圓心到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑，此時圓心的橫坐標(biāo)等于圓的半徑或半徑的相反數(shù);當(dāng)圓心在某一直線上時,圓心坐標(biāo)滿足圓的方程。探究:當(dāng)圓心在原點時,x2+y2=r2（a=b=0)；當(dāng)圓與x軸相切時,(x-a)2+（y-b）2=b2（b≠0）；當(dāng)圓與y軸相切時，