定積分

上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出§5.1定積分的概念§5.4定積分的計(jì)算§5.3微積分基本公式§5.2定積分的性質(zhì)§5.5廣義積分§5.6定積分的幾何應(yīng)用§5.7定積分的物理應(yīng)用

定積分的概念5.1.2定積分的定義5.1.1定積分的實(shí)際背景5.1.3幾何意義例1

求曲邊梯形的面積5.1.1定積分的實(shí)際背景abxyo定義5.1曲邊梯形：設(shè)在區(qū)間上非負(fù)、連續(xù).由曲線及直線所圍成的圖形.如何求這個(gè)圖形的面積？（1）分割：在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)整個(gè)曲邊梯形相應(yīng)地被直線分成個(gè)小曲邊梯形，區(qū)間被分成個(gè)小區(qū)間，第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度（2）近似：對(duì)于第個(gè)曲邊梯形面積來說，當(dāng)其底邊長(zhǎng)足夠小時(shí)，其高度的變化也是非常小的，這時(shí)它的面積可以用小矩形的面積來近似．在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，用作為第個(gè)小矩形的高,則第個(gè)小曲邊梯形面積的近似值為

.（3）求和：將個(gè)小曲邊梯形的面積相加，得到整個(gè)曲邊梯形面積的近似值（4）取極限：當(dāng)分點(diǎn)越密時(shí)，小矩形的面積與小曲邊面積，即.曲邊梯形的面積也會(huì)越接近，記，當(dāng)梯形的面積就會(huì)越接近，因而和式與曲邊時(shí)，和式的極限即為曲邊梯形的例2求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度

是時(shí)間

分割近似求和取極限

間隔上t的連續(xù)函數(shù)，且

，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程.思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值.（1）分割：在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)（2）近似：在時(shí)間間隔上的路程的近似值為，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度其中為區(qū)間依次為上的任意一點(diǎn).（3）求和：整個(gè)時(shí)間段上路程

的近似值為（4）取極限：記，當(dāng)時(shí)，和式的極限即為物體在時(shí)間間隔內(nèi)所走過的路程，即.上述的兩個(gè)例子具有兩個(gè)共同點(diǎn)：(1)求解的方法步驟基本相同，都是按照分割、近似、求和、(2)所求量最終都表示為和式極限的形式.

取極限這樣幾個(gè)步驟進(jìn)行.5.1.2定積分的定義將這些問題高度抽象，就可以得出定積分的概念.各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為中任意插入個(gè)分點(diǎn)在區(qū)間定義5.2設(shè)函數(shù)上有界，在把區(qū)間分成

個(gè)小區(qū)間

，再做求和在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)

怎樣取法，記如果不論對(duì)怎樣積分（簡(jiǎn)稱積分），記作

，

即：只要當(dāng)時(shí)，和總趨于確定的極限，這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)

在區(qū)間上的定其中稱為被積函數(shù)

，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間.需要注意的是，當(dāng)和式的極限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)

及積分區(qū)間

有關(guān)，而與積分如果

在區(qū)間

上的定積分存在，則稱

在上可積。相應(yīng)的和式也稱為積分和.定積分有以下幾個(gè)充分條件:

以上函數(shù)稱為：可積函數(shù)類.*定理5.3

設(shè)

在區(qū)間

上單調(diào)函數(shù)，則在上可積.定理5.2

設(shè)

在區(qū)間

上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積.定理5.1設(shè)

在區(qū)間

上連續(xù)，則

在上可積.利用定積分的定義，前面所討論的實(shí)際問題可以分別表述如下：由曲線，

軸及兩函數(shù)在區(qū)間上的定積分．即.條直線所圍成的曲邊梯形的面積A,等于物體以變速

作直線運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻定積分的分割、近似、求和、取極限的數(shù)學(xué)思想不但可以求定積分，而且可以用來求極限、近似計(jì)算等等.函數(shù)

在區(qū)間上的定積分，即到時(shí)刻，物體經(jīng)過的路程

等于解在區(qū)間

內(nèi)插入

個(gè)分點(diǎn)，分成

等份，分析被積函數(shù)在積分區(qū)間

上連續(xù)，連續(xù)函數(shù)可積，因此，可以考慮分割近似的

方法.分點(diǎn)為這樣，每個(gè)

小區(qū)間

的長(zhǎng)度.

例5.1.1

利用定積分定義計(jì)算于是，有和式

當(dāng)即時(shí)，取極限可得：取*例5.1.2

將下列極限轉(zhuǎn)化為定積分．分析

以上極限可以看作是和式極限的形式，因此可以

適當(dāng)變形，湊成定積分定義.1.;2..解（1）所以不難看出，其中的和式相當(dāng)于函數(shù)在區(qū)間上的積分和，即：將等分，（2）解5.1.3幾何意義梯形的面積；1.時(shí)，表示由曲線，

兩條直線與

軸所圍成的曲邊時(shí)，表示由曲線，兩條直線與

軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值.例5.1.3

利用定積分