2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期武漢市部分學(xué)校高一年級(jí)期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制2024.11.13本試題卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得B，利用交集的運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由得，即，所以.故選：B2.命題，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題，為全稱量詞命題，其否定為：，.故選：A3.下列關(guān)于冪函數(shù)的判斷：①定義域?yàn)?；②值域?yàn)镽；③是偶函數(shù)；④在上單調(diào)遞減.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性可得①②④，由函數(shù)的奇偶性可得③.【詳解】，對(duì)于①，定義域?yàn)?，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由冪函數(shù)的性質(zhì)可得值域?yàn)?,+∞，對(duì)于③，，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，故③正確；對(duì)于④，由冪函數(shù)圖象的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故④正確；所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：C4.下列不等式中成立是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合反例、作差法一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，若，則，但前述不等式等號(hào)不能同時(shí)成立，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：B5.已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C.[1，2] D.[1，4]【答案】B【解析】【分析】由的范圍得到的范圍，即可求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)閇1，2]，所以，所以，則，解得，故選：B6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若存在對(duì)稱中心，則（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意計(jì)算可得；【詳解】設(shè)，則為奇函數(shù)，可得，由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得即，,由可得，即，所以，故選：A.7.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù).，且，恒有.若，則不等式.的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義判定其單調(diào)性，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】不妨設(shè)，所以，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，所以，即也是偶函數(shù)，則其在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，則，所以，解之得.故選：D8.已知，關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將方程根看為兩個(gè)函數(shù)定區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)的問題，分別由反比例函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，即函數(shù)在上有交點(diǎn)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞減，所以要滿足題意需，即，解之得.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：將方程有解看為兩函數(shù)有交點(diǎn)，利用單調(diào)性列不等式組計(jì)算即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某智能手機(jī)生產(chǎn)廠家對(duì)其旗下的某款手機(jī)的續(xù)航能力進(jìn)行了一輪測(cè)試（一輪測(cè)試時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)），得到了剩余電量（單位:百分比）與測(cè)試時(shí)間（單位：）的函數(shù)圖象如圖所示，則下列判斷中正確的有（）A.測(cè)試結(jié)束時(shí)，該手機(jī)剩余電量為B.該手機(jī)在前內(nèi)電量始終在勻速下降C.該手機(jī)在內(nèi)電量下降的速度比內(nèi)下降的速度更快D.該手機(jī)在進(jìn)行了充電操作【答案】ACD【解析】【分析】由函數(shù)圖象逐一判斷即可；【詳解】對(duì)于A，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，所以測(cè)試結(jié)束時(shí)，該手機(jī)剩余電量為，故A正確；對(duì)于B，由圖象可得該手機(jī)在前內(nèi)電量下降不是一條直線，故不是勻速下降，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖象可得，在內(nèi)電量下降的速度為，在內(nèi)下降的速度為，由，故C正確；對(duì)于D，由圖象可得該手機(jī)在電量上升了，所以進(jìn)行了充電操作，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)關(guān)于的方程，下列判斷中正確的是（）A.時(shí)方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根B.方程至少有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根C.若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為D.若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐個(gè)判斷即可.【詳解】方程根的問題可以轉(zhuǎn)換成和圖象交點(diǎn)問題，對(duì)于A：由圖象可知：時(shí)方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，方程無(wú)解，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：由圖象可知和由3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為，故正確；對(duì)于D：假設(shè)，結(jié)合圖象可知，所以，故正確.故選：ACD11.已知正數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.與可以相等【答案】ABD【解析】【分析】利用條件等式得出，結(jié)合基本不等式可判定A，靈活運(yùn)用“1”可判定B，由條件等式消元轉(zhuǎn)化結(jié)合基本不等式可判定C，直接消元解方程可判定D.【詳解】由可知，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故A正確；易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故B正確；由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而此時(shí)，與前提矛盾，故C錯(cuò)誤；若與可以相等，則（舍去）或，所以與可以相等，此時(shí)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)則______.【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)依次計(jì)算即可.【詳解】由題意可知.故答案為：13.已知函數(shù)，若，則____________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算即可.【詳解】易知，即fx為奇函數(shù)，所以.故答案為：.14.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b定義當(dāng)實(shí)數(shù)x，y變化時(shí)，令，則的最大值為____________.【答案】【解析】【分析】由題意得到，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，必有，故要使得取得最大值，必須當(dāng)，此時(shí)，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”成立的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解不等式求出集合，再求、；（2）根據(jù)充分條件的定義可得集合是集合的子集，分、兩種情況討論，由此可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，，或，求；【小問2詳解】，若“”是“”成立的充分條件，則，若，則，解得，滿足；若，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】【分析】（1）直接利用奇偶性的定義證明即可；（2）利用單調(diào)性的定義證明即可.【小問1詳解】函數(shù)fx由知其定義域?yàn)?，而，則為奇函數(shù)；【小問2詳解】單調(diào)遞增，設(shè)，則，所以，即函數(shù)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增.17.（1）對(duì)于正實(shí)數(shù)求證:;（2）已知函數(shù)，利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)的最小值，并求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.【答案】（1）證明見解析；（2）最小值，此時(shí)【解析】【分析】（1）作差，結(jié)合基本不等式求解即可；（2）由條件可得，再化為，結(jié)合（1）的結(jié)論求解即可；【詳解】（1），①因?yàn)橛谡龑?shí)數(shù)所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以①，即.（2）由題意可得，解得，，因?yàn)?，所以，故，即，由?）可得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，又，所以，此時(shí).18.在日常生活中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們通常將函數(shù)的邊際函數(shù)定義為.現(xiàn)已知某高科技企業(yè)每月生產(chǎn)某種特殊設(shè)備最多11臺(tái)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：生產(chǎn)臺(tái)這種特殊設(shè)備的月收入函數(shù)為（單位：千萬(wàn)元），其月成本函數(shù)為（單位：千萬(wàn)元）.求：（1）月收入函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值;（2）月成本函數(shù)的邊際函數(shù)的定義域及最大值（精確到0.01千萬(wàn)元）；（3）生產(chǎn)臺(tái)這種特殊設(shè)備的月利潤(rùn)的最小值.（月利潤(rùn)=月收入-月成本）【答案】（1）當(dāng)時(shí)，（千萬(wàn)元）（2）定義域?yàn)?，最大值為（千萬(wàn)元）（3）當(dāng)時(shí)，（千萬(wàn)元）【解析】【分析】（1）利用基本不等式求函數(shù)的最小值即可得到結(jié)果.（2）求出邊際函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值.（3）求出利潤(rùn)函數(shù)的解析式，換元后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求解最值．【小問1詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)時(shí)，（千萬(wàn)元）.【小問2詳解】∵,∴,由得函數(shù)定義域?yàn)?由題意得，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值（千萬(wàn)元）.【小問3詳解】由題意得，，令，則函數(shù)可化為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，由可知當(dāng)時(shí)，，（千萬(wàn)元）.19.對(duì)于定義在上的函數(shù)，若其在區(qū)間上存在最小值和最大值，且滿足，則稱是區(qū)間上的“聚集函數(shù)”.現(xiàn)給定函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值，并判斷是否是“聚集函數(shù)”；（2）若函數(shù)是上的“聚集函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）已知，若函數(shù)是上的“聚集函數(shù)”，求的最大值.【答案】（1）最小值，最大值為；是（2）（3）8【解析】【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求得；（2）根據(jù)題意，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，，，，分別求得即可；（3）根據(jù)題意，在對(duì)稱軸取得最小值，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的最大值，再根據(jù)和，分別求得.【小問1詳解】根據(jù)題意：，則，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，即函數(shù)為上的“聚集函數(shù)”.【小問2詳解】①若，則，，根據(jù)題意：，無(wú)解；②若，則，，根據(jù)題意：，解得：；③若，則，，根據(jù)題意：，解得：；④若，則，，根據(jù)題意：，解得：無(wú)解；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為：.【小問3詳解】因?yàn)?，則，①若，則由圖象可得：，，設(shè)，即求的