2024年高二數(shù)學(xué)期中考試試題一、單選題（共40分）1向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意可得，所以，則．故選：C.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率可確定直線的傾斜角.【詳解】由得，所以該直線的斜率為：.設(shè)直線傾斜角為，則，且，所以.故選：C3.在所有棱長(zhǎng)均為2的平行六面體中，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】先將用表示，然后再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，從而，即的長(zhǎng)為．故選：C.4.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零求坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求模長(zhǎng)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．5.如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】=故選：A.6.已知直線過(guò)點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線的方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)與不過(guò)原點(diǎn)兩種情況求解可得直線的方程.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論:①直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)直線的方程為，即；②直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，解可得，此時(shí)直線的方程為，故直線的方程為或.故選：D.7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，下列說(shuō)法正確的是（）A.平面與平面的距離為 B.三棱錐外接球的表面積為C. D.直線BC與平面所成的角為【答案】A【解析】【分析】D選項(xiàng)，作出輔助線，由線面垂直得到⊥，故⊥平面，直線與平面所成的角為，且，故D錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B選項(xiàng)，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，從而求出外接球半徑，得到外接球表面積；A選項(xiàng)，先證明出平面平面，利用點(diǎn)到平面距離向量公式得到答案.【詳解】D選項(xiàng)，如圖1，連接，與相交于O點(diǎn)，因?yàn)椤推矫妫移矫?，所以⊥，又因?yàn)椤?，，平面，所以⊥平面，即直線與平面所成的角為，且，故D錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖2，連接，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，則，所以⊥平面，又因?yàn)槠矫?，則⊥，故C錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)其外接球的半徑為R，則，即，所以，故B錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，如圖3，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，由B選項(xiàng)可知，平面的一個(gè)法向量為，且，則兩平面間的距離，故A正確.故選：A8.已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩條直線和的交點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直線所過(guò)定點(diǎn)和兩直線垂直得到點(diǎn)的軌跡，再設(shè)，結(jié)合輔助角公式求出即可；【詳解】由題意可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)，且兩直線的斜率之積為，所以兩直線相互垂直，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.二、多選題（共20分）9.如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】運(yùn)用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運(yùn)算規(guī)則可解.【詳解】，即，故A錯(cuò)誤、B正確；，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.已知向量，則在上的投影向量為B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.若直線的方向向量為平面的法向量，則直線【答案】ABC【解析】【分析】利用投影向量的定義判斷A，利用空間四點(diǎn)共面，滿足，其中判斷B，根據(jù)向量基底的概念判斷C，利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以在上的投影向量為，故A對(duì)；因，且，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，因?yàn)?，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B對(duì)；是空間的一組基底，若，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故C對(duì)；因?yàn)橹本€的方向向量為平面的法向量，且，則直線或，故D錯(cuò)；故選：ABC11.由正四棱錐P-ABCD和正方體ABCD-A1B1C1D1組成的多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則（）A.平面 B.平面平面C.與平面所成角的余弦值為 D.點(diǎn)P到平面的距離為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，判斷與平面的一個(gè)法向量是否垂直即可判斷A；根據(jù)平面和平面的法向量是否垂直判斷出B；由線面夾角的正弦的公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可判斷C；由點(diǎn)到平面的距離公式即可判斷D．【詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接，與交點(diǎn)為，連接，則平面，因?yàn)檎睦忮F和正方體的所有棱長(zhǎng)均為，所以，，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，又，，，，，對(duì)于A：，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取得，因?yàn)椋耘c平面不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由A得平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取得，因?yàn)?，即，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C：由A得平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)與平面所成角為，則，所以，即與平面所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由A得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離，故D正確；故選：BD．12.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.平面C.直線與平面所成的角為D.三棱錐外接球表面積為【答案】AD【解析】【分析】由線面垂直的判定及性質(zhì)即可判斷A；由線面關(guān)系即可判斷B；由線面角的定義即可判斷C；由球的表面積公式即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，連接，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B，連接，由正方體得，，又，所以，因?yàn)槠矫?，即與平面不平行，所以與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知，是直線與平面所成的角，且，所以直線與平面所成的角不是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正方體得，平面，且，，所以三棱錐外接球的直徑，所以，外接球表面積為，故D正確；故選：AD．三、填空題（共20分）13.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】因?yàn)槭钦襟w，建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，．故答案為：．14.設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：15.已知，，若點(diǎn)Px,y在線段上，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的形式，可轉(zhuǎn)化為線段AB上點(diǎn)與連線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】的幾何意義是點(diǎn)Px,y與點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)Px,y在線段上，由圖知，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以，故答案為：16.如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).設(shè)D是線段上的（包括兩個(gè)端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為_______.【答案】【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法計(jì)算異面直線所成角的余弦值，即可得到方程，解得，從而得解．【詳解】解：如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：則設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為所以，即，解得或（舍去），所以，故答案為：．四、解答題（共70分）17.如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)椋?，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?8.在三角形中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，三角形的面積為，求三角形的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出.(2)由三角形的面積公式可得，結(jié)合及余弦定理即可求出，即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因，所以，因此，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長(zhǎng)為.19.如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）與平面所成的角的正弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問(wèn)2詳解】連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)椋?，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20.已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）若邊上的中線所在的直線方程為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，即可求出實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】解：由條件知邊上的高所在的直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因?yàn)?，所以直線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在軸上．所以設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，所以，得，即，又點(diǎn)在直線上，所以，解得．21.在四棱錐中，四邊形是直角梯形，且平面，，點(diǎn)在棱上．（1）當(dāng)時(shí)，求證:平面;（2）若直線與平面所成的角為，二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接，利用幾何性質(zhì)證明，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，求出平面的法向量,用表示出平面的法向量，利用向量的夾角公式計(jì)算，即可求得答案.小問(wèn)1詳解】證明：連接交于點(diǎn)O，連接，由知，，∴，∵，∴，∴，又平面，平面，∴平面．【小問(wèn)2詳解】∵平面，∴為與底面所成的角，即，∴，又四邊形是直角梯形，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)平面法向量為，則，即，令，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椤?，解得，∴?2.在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．（1）已知．①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號(hào)0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號(hào)為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨(dú)立．（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率，求的取值范圍．【答案】（1）①；②證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算可得；②記事件為“第三次收到的信號(hào)為1”，事件為“三次收到的數(shù)