第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合的概念高中數(shù)學(xué)/人教A版/必修一1.1集合的概念在小學(xué)或初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合．例如，自然數(shù)的集合，同一平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（即圓）等．為了更有效地使用集合語言，我們需要進(jìn)一步了解集合的有關(guān)知識．下面先從集合的含義開始．例（1）中，我們把1~10之間的每一個偶數(shù)作為元素，這些元素的全體就是一個集合；同樣地，例（2）中，把立德中學(xué)今年入學(xué)的每一位高一學(xué)生作為元素，這些元素的全體也是一個集合．思考上面的例（3）到例（6）也都能組成集合嗎？

一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合（set）（簡稱為集）．給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么一個元素在或不在這個集合中就確定了．例如，“1~10之間的所有偶數(shù)”構(gòu)成一個集合，2，4，6，8，10是這個集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素；“較小的數(shù)”不能構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的．一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．集合中元素具的有幾個特征⑴確定性－因集合是由一些元素組成的總體，當(dāng)然，我們所說的“一些元素”是確定的．⑵互異性－即集合中的元素是互不相同的，如果出現(xiàn)了兩個(或幾個)相同的元素就只能算一個，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．⑶無序性－即集合中的元素沒有次序之分．解:(1)不能.“體重很重”的標(biāo)準(zhǔn)不明確。(2)能.橫坐標(biāo)小于0且縱坐標(biāo)大于0的點(diǎn)都是第二象限的點(diǎn).(3)不能.“某些”指哪些？標(biāo)準(zhǔn)不明確.(4)能.就是小于或等于5的數(shù).(5)能.該方程的有理數(shù)解為x=0我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．?dāng)?shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法

例

:用符號或填空3.14___Q

π____Q

0

____N*

____Ｚ____Ｑ＿＿Ｒ練習(xí)：用符號或填空１＿＿Ｎ０＿＿Ｎ－３＿＿Ｎ０.５＿＿Ｎ＿＿Ｎ１＿＿Ｚ０＿＿Ｚ－３＿＿Ｚ０.５＿＿Ｚ＿＿Ｚ１＿＿Ｑ０＿＿Ｑ－３＿＿Ｑ０.５＿＿Ｑ＿＿Ｑ１＿＿Ｒ０＿＿Ｒ－３＿＿Ｒ０.５＿＿Ｒ＿＿Ｒ從上面的例子看到，我們可以用自然語言描述一個集合．除此之外，還可以用什么方式表示集合呢？“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝；像這樣把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝”括起來表示集合的方法叫做列舉法．列舉法由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關(guān)，因此一個集合可以有不同的列舉方法．例如，例1(1)的集合還可以寫成思考你能用這樣的方法表示偶數(shù)集嗎？課堂小結(jié)集合的含義元素與集合之間的關(guān)系集合中元素的三個特征練習(xí)（第5頁）1．判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由：（1）與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)；（2）高中學(xué)生中的游泳能手．（1）是，即線段AB的垂直平分線．（2）不是，因?yàn)橛斡灸苁峙c不是能手沒有具體的劃分標(biāo)準(zhǔn)．習(xí)題1.1（第5頁）｛指南針，活字印刷，造紙術(shù)，火藥｝5．集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的．當(dāng)時，康托爾在解決涉及無限量研究的數(shù)學(xué)問題時，超過“數(shù)集”限制，提出了一般性的“集合”概念．希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一”，羅素描述其為“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作”