第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山西省大同市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋物線y2=?4x的準線方程是(

)A.y=1 B.y=?1 C.x=1 D.x=?12.直線x?3y+3=0的傾斜角是A.π6 B.5π6 C.π33.如圖，在四面體O?ABC中，OA=a,OB=b,OC=cA.?13a+23b+14.若點A(1,2)在圓x2+y2+2x?4y+a=0外，則實數(shù)A.a>1 B.1<a<5 C.a<5 D.2<a<65.如圖所示的幾何體為兩個正方體組成的正四棱柱，記集合A={x|x=AB?APi,i=1,2,…,9}，則集合A.3

B.4

C.6

D.96.已知a>b>0，雙曲線y2a2?x2b2=1的兩個焦點為F1A.y=±23x B.y=±32x7.已知實數(shù)a，b，c，d滿足3a?4b+3=0，3c?4d?7=0，則(a?c)2+(b?d)A.1 B.2 C.3 D.48.橢圓是軸對稱圖形，亦是中心對稱圖形，因其對稱性，受到一些藝術(shù)制品設(shè)計者的青睞.現(xiàn)有一工藝品，其圖案的基本圖形由正方形和內(nèi)嵌其中的“斜橢圓”組成(如圖).在平面直角坐標系xOy中，將標準方程表示的橢圓繞著對稱中心旋轉(zhuǎn)一定角度，可得“斜橢圓”.已知一“斜橢圓”C的方程為x2+y2?xy=9，則該“斜橢圓”C的離心率為A.63 B.23 C.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知曲線C：mx2+ny2=1(m,nA.若m>0，n>0，則曲線C為橢圓

B.若mn<0，則曲線C為雙曲線

C.對任意實數(shù)m、n，曲線C都不會是拋物線

D.存在實數(shù)m、n，使得曲線C是由直線組成的圖形10.在正方體ABCD?A1B1C1A.若x+y=1，則點P的軌跡為線段AD1

B.若x=12，則點P的軌跡為連接棱AD的中點和棱A1D1中點的線段

C.若x=y，則三棱錐P?A1BC11.已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，A，B是拋物線C上的兩點，O為坐標原點，則(

)A.若A的縱坐標為2，則|AF|=3

B.若直線AB過點F，則|AB|的最小值為4

C.若OA?OB=?4，則直線AB恒過定點(2,0)

D.若BB′垂直C的準線于點B′，且|BB′|=2|OF|，則四邊形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓x26+y2m=1的焦距為13.若圓C：x2+y2=r214.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于一條漸近線的直線交C四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

(1)求兩焦點分別為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，且過點A(52,?32)16.(本小題15分)

已知圓C：x2+y2?4x+2y?5=0和點M(1,?5)．

(1)過點M作一條直線與圓C交于A，B兩點，且|AB|=6，求直線AB的方程；

(2)過點M作圓C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)17.(本小題15分)

如圖，在以P為頂點的圓錐中，點O是圓錐底面圓的圓心，AB是圓錐底面圓的直徑，C，D為底面圓周上的兩點，且△ACD為等邊三角形，E是母線PB的中點，PO=AB=4．

(1)求平面ADE與平面ACE的夾角的余弦值；

(2)設(shè)AE與PO交于點M，求直線CM與平面ADE所成角的正弦值．18.(本小題17分)

已知點A，B是橢圓C：x2+y24=1的上、下頂點，點P滿足|PB|=2|PA|．

(1)求點P的軌跡方程；

(2)是否存在點P，使得過點P的動直線l交橢圓C于M，N兩點，且BM與19.(本小題17分)

已知動點P到直線x=?2的距離比到點F(1,0)的距離大1，記動點P的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)過原點O的一條直線與圓E：(x+3)2+y2=r2(r>0)相切，交曲線C于另一點Q，且|OQ|=23，求圓E的方程；

(3)已知直線l與曲線C交于參考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.A

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.BCD

11.BC

12.5或7

13.{14.1315.解：(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

兩焦點分別為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，橢圓過點A(52,?32)，

依題意c=2c2=a2?16.解：(1)圓C的標準方程為(x?2)2+(y+1)2=10，圓心為C(2,?1)，半徑為r=10，

所以圓心C到直線AB的距離為d=r2?(|AB|2)2=10?32=1，

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=1，

此時圓心C到直線AB的距離為|2?1|=1，符合題意；

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y+5=k(x?1)，即kx?y?k?5=0，

由題意可得d=|2k+1?k?5|k2+1=|k?4|k2+1=1，解得k=158，

此時直線AB的方程為y+5=158(x?1)17.解：(1)

如圖，以O(shè)為原點，垂直于面PAB的直線，OB所在的直線，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

根據(jù)題意得，E(0,1,2)，A(0,?2,0)，D(3,1,0)，C(?3,1,0)，P(0,0,4)，

所以AE=(0,3,2),CE=(3,0,2),DE=(?3,0,2)．

令平面ADE的法向量為m=(x′,y′,z′)，

所以3y′+2z′=0?3x′+2z′=0，可取m=(23,?2,3)．

令平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，

所以3y+2z=03x+2z=0，可令n=(23,2,?3)，

令平面ACE與平面ADE的夾角為θ，

那么sin=|cos<CM，m>|=|CM?m||CM||m|=122133×518.解：(1)由題，設(shè)P(x,y)，A(0,2)，B(0,?2)，又|PB|=2|PA|，

所以x2+(y+2)2=2x2+(y?2)2，

化簡得：x2+y2?203y+4=0，

所以點P的軌跡方程為：x2+y2?203y+4=0；

(2)存在，理由如下：

如圖，設(shè)動直線l方程為y=kx+m(m≠?2)，直線BM斜率為k1，直線BN斜率為k2，

則直線BM的方程為：y=k1x?2，直線BN的方程為：y=k2x?2，

聯(lián)立y=k1x?2x2+y24=1，化簡得：(k12+4)x2?4k1x=0，

可得xM=4k1k12+4,yM=2k12?8k19.解：(1)已知動點P到直線x=?2的距離比到點F(1,0)的距離大1，

所以動點P到直線x=?1的距離與到點F(1,0)的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知，點P在以F(1,0)為焦點，x=?1為準線的拋物線上，

即動點P的軌跡為y2=4x；

(2)聯(lián)立x2+y2=12y2=4x，

解得x=2y=±22，

設(shè)Q(x,y)(x>0)，

由對稱性，不妨取Q(2,22)，

則kOQ=2，

直線OQ方程為y=2x，

即2x?y=0，

由圓E：(x+3)2+y2=r2(r>0)的圓心E(?3,0)到2x?y=0的距離為r，

所以r=|