用二次函數(shù)解決問題Solveaproblemwithaquadraticfunction蘇科版九年級下冊第5章二次函數(shù)教學(xué)目標01會用二次函數(shù)解決最值問題

02會用二次函數(shù)解決拋物線形問題最值問題01問題引入Q1：如圖，小明想用長16米的柵欄（虛線部分），借助圍墻圍成一個矩形花園ABCD，則矩形ABCD的最大面積是__________平方米．解：設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，則BC=(16-2x)米32一、審題二、設(shè)自變量、因變量答：矩形ABCD的最大面積是32平方米．矩形ABCD的面積：S=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32∵x>0且16-2x>0，∴0＜x＜8三、列式∵-2＜0，∴當x=4時，y取最大值32四、解決問題五、檢驗六、答知識梳理用二次函數(shù)解決問題的一般步驟：（一）審審題，明確變量常量，找出等量關(guān)系與圖形有關(guān)問題要結(jié)合圖形具體分析（二）設(shè)設(shè)自變量、因變量（三）列用二次函數(shù)表示出變量與常量之間的等量關(guān)系標記自變量的取值范圍（四）解借助二次函數(shù)的解析式、圖像與性質(zhì)等解決實際問題（五）驗檢驗結(jié)果在實際問題中是否有意義若不符合實際意義，要舍去（六）答寫出實際問題的答案注意帶上單位02知識精講例1、老李計劃用24米長的柵欄圍成一個如圖所示的矩形花園ABCD，設(shè)AB的長為x，矩形花園ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)解析式為________________________________．

【幾何問題】y=-2x2+12x（0＜x＜6）例2、在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用30m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），設(shè)AB=x米．（1）求花園的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是16m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)：（含邊界，不考慮樹的粗細）①若花園的面積為216m2，求x的值；②求花園面積S的最大值．解：（1）∵AB=xm，∴BC=(30-x)m，S=AB?BC=x(30-x)=-x2+30x（0＜x＜30）；（2）①當S=216m2時，-x2+30x=216，解得：x1=12，x2=18（不合題意，舍去），答：x的值為12m；例2、在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用30m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），設(shè)AB=x米．（1）求花園的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是16m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)：（含邊界，不考慮樹的粗細）①若花園的面積為216m2，求x的值；②求花園面積S的最大值．②S=-x2+30x=-(x-15)2+225，∵在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是16m和6m，∴x≥6且30-x≥16，∴6≤x≤14，∴當x=14時，S取到最大值為：S=-(14-15)2+225=224，答：花園面積S的最大值為224平方米．例3、某商場經(jīng)營一種文具，進價為20元/件，當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．那么該文具定價為__________元時每天的最大銷售利潤最大．解：設(shè)該文具定價為x元，每天的利潤為y元，根據(jù)題意得：y=(x-20)[250-10(x-25)]=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250∵-10＜0，∴當x=35時，y取最大值2250答：文具定價為2250元時每天的最大銷售利潤最大．【利潤問題】2250例4、某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具，進價為每件30元，物價部門規(guī)定每件兒童玩具的銷售利潤不高于進價的60%．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這種兒童玩具每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足函數(shù)關(guān)系y=-10x+700．（1）求該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤w（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少時，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？解：（1）∵x≤30×(1+60%)=48，∴x≤48根據(jù)題意，w=(-10x+700)(x-30)=-10x2+1000x-21000（x≤48）；（2）w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000∵a=-10＜0，對稱軸x=50，∴當x=48時，w最大=-10×(48-50)2+4000=3960答：當銷售單價為48元時，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是3960元．拋物線形問題01問題引入Q1：一座拱橋的輪廓是拋物線形（如圖所示），橋高為8米，拱高6米，跨度20米．相鄰兩支柱間的距離均為5米，則支柱MN的高度為__________米．【分析】拱橋的輪廓是拋物線形需建立直角坐標系，求拋物線形的表達式，才能解決問題設(shè)O為原點，橫軸x通過AB，縱軸y通過OC，建立如圖所示的平面直角坐標系，根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標分別是(-10，0)、(10，0)、(0，6)一、審題二、建系01問題引入Q1：一座拱橋的輪廓是拋物線形（如圖所示），橋高為8米，拱高6米，跨度20米．相鄰兩支柱間的距離均為5米，則支柱MN的高度為__________米．解：設(shè)O為原點，橫軸x通過AB，縱軸y通過OC，建立如圖所示的平面直角坐標系，根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標分別是(-10，0)、(10，0)、(0，6)

3.5三、求表達式

知識梳理處理拋物線形問題的一般步驟：（一）審審題，明確拋物線形上的關(guān)鍵點（二）建建立合適的直角坐標系，寫出關(guān)鍵點的坐標（三）求根據(jù)關(guān)鍵點的坐標求出二次函數(shù)的表達式標記自變量的取值范圍（四）解借助二次函數(shù)的表達式、圖像與性質(zhì)等解決實際問題（五）驗檢驗結(jié)果在實際問題中是否有意義若不符合實際意義，要舍去（六）答寫出實際問題的答案注意帶上單位02知識精講例5、某涵洞是拋物線形，截面如圖所示，現(xiàn)測得水面寬AB=1.6m，涵洞頂點O到水面的距離為2.4m，在圖中直角坐標系內(nèi)，涵洞所在拋物線的函數(shù)表達式是_________________．

【涵洞、拱橋問題】例6、如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，如果水面下降0.5m，那么水面寬度增加____________m.解：設(shè)O為原點，橫軸x通過AB，縱軸y通過OC，建立如圖所示的平面直角坐標系，根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標分別是(-2，0)、(2，0)、(0，2)

例7、如圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長BC為8m，寬AB為2m，以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為6m.（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）現(xiàn)有一輛貨運卡車高4.5m，寬2.4m，這輛貨運卡車能否通過該隧道？【隧道問題】（2）根據(jù)題意，將x=±1.2代入解析式得：y=5.64，∵5.64＞4.5，∴貨運卡車能通過．

例8、某隧道橫斷面由拋物線與矩形的三邊組成，尺寸如圖所示．（1）以隧道橫斷面拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）某集裝箱箱寬3m，車與箱的高一共是4.5m，此車能否通過隧道？并說明理由．（2）不能，理由如下：如果此車能通過隧道，集裝箱處于對稱位置，令x=1.5，得y=-0.75，∴集裝箱的頂離隧道的底為5-0.75=4.25（米），∵車與箱總高4.5米，4.25＜4.5，∴此車不能通過此隧道．

例9、如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是y=-x2+8x+20，則他將鉛球推出的距離是__________m.解：當y=0時，-x2+8x+20=0，解得：x1=-2（舍），x2=10，∴他將鉛球推出的距離是10m.10【其他問題】例10、一身高1.8m的籃球運動員在距籃板AB4m（DE與AB的水平距離）處跳起投籃，球在運動員頭頂上方0.25m處出手，在如圖所示的直角坐標系中，球在空中運行的路線可以用y=-0.2x2+3.5來描述，那么球出手時，運動員跳離地面的高度為（）A．0.1

B．0.15 C．0.2 D．0.25解：當yA=3.05時，3.05=-0.2x2+3.5，解得：x=1.5,∴xA=1.5，∴xC=1.5-4=-2.5，當xC=-2.5時，yC=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25，∴yE=2.25-0.25-1.8=0.2，答：球出手時，他跳離地面的高度為0.2m.C例11、如圖是王叔叔晚飯后步行的路程S（單位：m）與時間t（單位：min）的函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線的一部分．下列說法正確的是（）A．線段CD的函數(shù)表達式為s=30t+400（25≤t≤50）B．25min～50min，王叔叔步行的路程為2000mC．曲線段AB的函數(shù)表達式為s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快

×例11、如圖是王叔叔晚飯后步行的路程S（單位：m）與時間t（單位：min）的函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線的一部分．下列說法正確的是（）A．線段CD的函數(shù)表達式為s=30t+400（25≤t≤50）B．25min～50min，王叔叔步行的路程為2000mC．曲線段AB的函數(shù)表達式為s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快【分析】B．25min～50min，王叔叔步行的路程為2000-1200=800（m）；××例11、如圖是王叔叔晚飯后步行的路程S（單位：m）與時間t（單位：min）的函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線的一部分．下列說法正確的是（）A．線段CD的函數(shù)表達式為s=30t+400（25≤t≤50）B．25min～50min，王叔叔步行的路程為2000mC．曲線段AB的函數(shù)表達式為s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快【分析】C．根據(jù)題意，拋物線頂點為(20，1200)，∴設(shè)S=a(t-20)2+1200(a≠0)（5≤t≤20），將(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，解得：a=-3，∴曲線段AB的函數(shù)解析式為S=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）；√××例11、如圖是王叔叔晚飯后步行的路程S（單位：m）與時間t（單位：min）的函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線的一部分．下列說法正確的是（）A．線段CD的函數(shù)表達式為s=30t+400（25≤t≤50）B．25min～50min，王叔叔步行的路程為2000mC．曲線段AB的函數(shù)表達式為s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快【分析】D．5min～20min，王叔叔步行的速度由快到慢．C×××√課后總結(jié)（一）審審題，明確變量常量，找出等量關(guān)系與圖形有關(guān)問題要結(jié)合圖形具體分析（二）設(shè)設(shè)自變量、因變量（三）列用二次函數(shù)表示出變量與常量之間的等量關(guān)系標記自變量的取值范圍（四）解借助二次函數(shù)的解析式、圖像與性質(zhì)等解決實際問題（五）驗檢驗結(jié)果在實際問題中是否有意義若不符合實際意義，要舍去（六）答寫出實際問題的答案