人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊(cè)第七章三角函數(shù)7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用.2.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明.3.培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1.當(dāng)角α取0°,30°,45°,60°時(shí),分別計(jì)算式子sin2α+cos2α,,tanα的值,從中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?2.sin2α+cos2α=1是否對(duì)任意角都成立?=tanα當(dāng)α≠kπ+,k∈Z時(shí)是否都成立?提示:是;是.提示:利用三角函數(shù)的定義或三角函數(shù)線證明.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)對(duì)任意角α,sin23α+cos23α=1都成立.(

)(4)對(duì)任意角α,sinα=cosα·tanα都成立.(

)(5)若sinα=1,則cosα=0;若cosα=0,則sinα=1.(

)√××××合作探究釋疑解惑探究一應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值【例1】

若sinα=-,且α是第三象限角,求cosα,tanα的值.分析:先利用平方關(guān)系求cos

α,再利用商數(shù)關(guān)系求tan

α.1.例1變?yōu)椤耙阎猻inα=-,求cosα,tanα的值”.1.已知角α的某一種三角函數(shù)值,求角α的其余三角函數(shù)值,要注意公式的合理選擇,一般是先選用平方關(guān)系,再用商數(shù)關(guān)系.2.若角α所在的象限已經(jīng)確定,則求另兩種三角函數(shù)值時(shí),只有一組結(jié)果;若角α所在的象限不確定,則應(yīng)分類討論,一般有兩組結(jié)果.【變式訓(xùn)練1】

(1)若cosα=,求tanα的值;(2)已知sinα+3cosα=0,求sinα,cosα的值.(2)∵sin

α+3cos

α=0,∴sin

α=-3cos

α.又sin2α+cos2α=1,∴(-3cos

α)2+cos2α=1,即10cos2α=1,又由sin

α=-3cos

α,可知sin

α與cos

α異號(hào),∴角α的終邊在第二象限或第四象限.探究二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用技巧與方法:(1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正弦函數(shù)、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.(2)對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式,去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次項(xiàng)的三角函數(shù)式,往往借助因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)的次數(shù),達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.探究三三角恒等式的證明(2)2(sin6θ+cos6θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=0.分析:可以由左邊推證右邊,對(duì)于(1),也可以利用作差法,證明的關(guān)鍵之一是“1”的代換.(2)左邊=2[(sin2θ)3+(cos2θ)3]-3(sin4θ+cos4θ)+1=2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=(2sin4θ-2sin2θcos2θ+2cos4θ)-(3sin4θ+3cos4θ)+1=-(sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ)+1=-(sin2θ+cos2θ)2+1=-1+1=0=右邊.1.證明恒等式常用的思路是:(1)從一邊推證到另一邊,一般由繁到簡(jiǎn);(2)左右開弓,即證明左邊、右邊都等于第三方;(3)比較法(作差、作比法).2.常用的技巧有:巧用“1”的代換;化切為弦;多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式).易錯(cuò)辨析因忽略隱含條件致錯(cuò)以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你如何防范?有些關(guān)于三角函數(shù)的條件求值問題,表面上角的范圍不受條件限制,實(shí)際上只要對(duì)已知條件稍作變換,便可得到限制關(guān)系,這種限制關(guān)系本身就隱含角的取值范圍,因而求解時(shí)應(yīng)倍加注意.【變式訓(xùn)練】

已知8sinαcosα=1,且α∈

,求