第三章幾何元素間的相對位置3.1平行問題1）對一般直線，只要兩直線的同名投影平行就能確定空間中兩條直線平行2）對投影面的平行線，這樣的條件不夠?qū)ν队懊娴钠叫芯€與投影面平行的直線只有兩直線的同名投影平行不能確定空間中兩條直線平行如何確定某一直線為特殊直線？3.1.2直線與平面平行定理（1）如果一直線與平面上某一直線平行，則此直線與該平面平行簡單證明-例3-1：過k點作直線與平面ABC平行解是否唯一？定理2：若一直線與與某一投影面的垂直面平行，則該直線必有一個投影與平面具有積聚性的那個投影平行證明：∵一定可以再平面P內(nèi)作直線CD//AB∴它們的投影也必定平行定理1若一平面上兩相交直線對應(yīng)地與另一平面上的相交直線平行，則這兩個平面互相平行例：過K點作一平面與相交直線AB確定的平面平行定理2

若兩投影面垂直面互相平行，則它們具有積聚性的那組投影互相平行證明：∵根據(jù)2平行平面與另一平面相交，其交線互相平行3.2相交問題1）直線與直線相交-如果2直線相交，則各個投影面上的同名投影也相交，且這些交點符合空間點的投影規(guī)律2）兩直線交叉-既不平行也不相交如果2直線交叉，則投影面上的同名投影也可能相交，但這些交點不符合空間點的投影規(guī)律應(yīng)用重影點可以方便地判斷兩直線的空間位置3.2.2直線與平面相交直線若與平面不平行就必然相交，交點稱穿點1）平面為特殊位置平面若平面為特殊位置平面，可利用投影的積聚性，簡便地求出穿點例：ABC為水平面，MN為直線，求穿點？被平面遮擋部分為不可見線段，用虛線表示，以提高投影圖的表現(xiàn)力可見性判斷方法：從正面投影向下看判斷可見性若直線為投影面的垂直線，利用其積聚性使求穿點簡化例：已知EK為鉛垂線，穿點k，求K的水正投影k‘。可見性判斷方法：利用輔助平面求穿點，作一個包含直線EF的輔助平面P，與已知平面的交線為MN，EF與MN的交點K則為穿點。作圖步驟1）包含已知直線作一個平面（投影面的垂直面）2）求輔助面與已知平面的交線3）此交線與已知直線的交點即為穿點例：已知平面ABC與直線EF的投影，求他們的交點K，并判斷可見性。不平行的2個平面具有交線只要求出交線上的2個點就可以確定2個平面的交線1）直接法只要2個平面中有一個是特殊位置平面時，利用積聚性可簡便求出交線例3-4求水平面Q與三角形平面ABC的交線解：此題只要作2相交直線同時垂直于MN即可3）此交線與已知直線的交點即為穿點應(yīng)用重影點可以方便地判斷兩直線的空間位置2）輔助平面必須垂直于原有某一投影面用輔助平面R截平面P和Q，得交線AK和KB，則K點為平面P和Q交線中的一點。只要2個平面中有一個是特殊位置平面時，利用積聚性可簡便求出交線例3-12已知光源入射于與V面垂直的平面鏡P，求反射光線T想法：在直線上找一點做平面ABC的垂線，即此垂線和MN確定的平面為所求解：思路：∵MN為正平線，∴MN//V面，如果2直線交叉，則投影面上的同名投影也可能相交，但這些交點不符合空間點的投影規(guī)律2）使平面Q垂直于平面上的直線CD1)過K作正平線KB，證明：∵根據(jù)2平行平面與另一平面相交，其交線互相平行當(dāng)2個平面均為一般平面時，其交線不能直接求出，需利用輔助平面來解決為求2個共有點可取2條直線，或2個平面各取一條直線互穿對方。2）輔助平面法當(dāng)2個平面均為一般平面時，其交線不能直接求出，需利用輔助平面來解決例：P、Q為相交平面，求它們的交線求解原理：用輔助平面R截平面P和Q，得交線AK和KB，則K點為平面P和Q交線中的一點。同理求出另一交點L.K和L確定的直線就是所求2平面的交線具體作圖方法：作水平面R和S利用2平行平面與地3平面相交，其交線互相平行的特性，可簡化作圖例：P（2相交直線AB與CD確定）、Q（平行線DE與FG確定）為相交平面，求它們的交線解：先作正平面R，求得第一個交點K，同理求得另一交點L3）穿點法利用求一個平面內(nèi)的直線與另一平面的穿點作為兩平面的一個共有點。為求2個共有點可取2條直線，或2個平面各取一條直線互穿對方。例：求平面ABC與EFG的交線，判別可見性1)求公共點M:作包含直線DE的正垂面，正面跡線為1‘2’。通過投影關(guān)系求出m點2）同理的n點3）判別可見性先判斷正投影的可見性。在正投影上找一重影點可見性判斷3.3垂直問題3.3.1直角的投影定理1：若組成直角2邊中的一邊平行于某投影面，則它的投影仍為直角，反之亦成立。證明：∵∠ABC為直角(已知)，∴BC⊥□ABab,又有BC//bc(已知),∴bc⊥□ABab∴bc⊥ab得證可以推廣到交叉直線逆定理亦成立推廣到空間交叉直線例3：過點D作直線與正平線MN垂直相交思路：∵MN為正平線，∴MN//V面，假如有一直線與MN垂直相交，則它們在V面上的投影仍為直角解：定理：若一直線垂直于平面，則此直線的水平投影一定垂直于該平面水平線的水平投影證明：∵NK⊥平面P，∴NK⊥AB∵AB//平面H，根據(jù)定理1，∴nk⊥ab此定理可推廣到正平面和側(cè)平面此定理可推廣到正平面和側(cè)平面推論：若一直線垂直于平面，則此直線的各的投影一定垂直于該平面的同名跡線例3-8：過點M作直線垂直于平面ABC解：作正平線AE和水平線CF，則所求直線MN⊥AE和CF,于是過m作mn⊥cf,m’n’⊥a’e’為所求例3-9過點K作平面垂直于已知直線MN解：此題只要作2相交直線同時垂直于MN即可1)過K作正平線KB，使k’b’⊥m’n’2)過K作水平線KC，使k’c’⊥m’n’KB,KC確定的平面為所求例3-10過M作直線垂直于平面P，過N作直線垂直于平面Q根據(jù)推論：平面的垂線，其投影必垂直于同名跡線。因P、Q為投影面的垂面，其跡線容易求出，過m作2跡線的垂線即為所求。3.3.3直線與直線垂直（一般直線）例3-11過D作直線與MN垂直相交空間分析：由立體幾何知所求直線位于過D且垂直于MN的平面上，設(shè)垂足為K，則DK為所求解：1）過D作平面P垂直于MN，（P面由正平線DE和水平線DF確定了一個平面）必有df⊥mn及d’e’⊥m’n’2）過MN作正垂面R，跡線Rv交d’e’、d’f’與1’2’.3)求MN與平面P的交點K4)連接DK為所求例3-12已知光源入射于與V面垂直的平面鏡P，求反射光線T空間分析：入射光、反射光及入射處的鏡面法線共面，入射角=反射角解：定理：若一平面過另一平面的垂線，則這兩平面垂直繪制互相垂直平面的方法：1）使平面Q過垂直于平面P的直線AB2）使平面Q垂直于平面上的直線CD例3-13過直線MN作一平面，垂直于△ABC確定的平面想法：在直線上找一點做平面ABC的垂線，即此垂線和MN確定的平面為所求解：1）在△ABC上容易作水平線AD和正平線ＡE2）作mk⊥ad,m’k’⊥a’e’3)MN和MK確定的平面為所求例3-14過點M作一正平面Q，垂直于△ABC確定的平面∵Q為正垂面，∴它垂直于某一條正平線，于是根據(jù)第2種作圖法，只要作Q⊥這條正平線就可以解：作正平線cd，綜合練習(xí)：例3-15求過K點作平面平行于△ABC且與MN相交的直線分析：1）所求直線必在過K點與△ABC平面平行的平面上2）同時該直線也在過K點且與直線MN垂直的平面上綜上所述：該直線在上述兩平面的交線上作圖：1）作平行于△ABC的平面（由直線KE、KF確定，KE//DC、KF//DB

）2）過MN作正垂面3）找出相應(yīng)投影點4）KL為所求3.4更換投影面選取合適的輔助平面，使解題變得容易選取輔助平面的2個因素1）輔助平面必須處于解題的有利位置2）輔助平面必須垂直于原有某一投影面為什么有時需要變換投影面（換面法）掌握點的變換規(guī)律是換面法的基礎(chǔ)1)點A到H面的距離不變2)2投影的連線垂直于新軸3)點的新投影到新軸的距離與原投影到軸線距離不變1)替換V面2)替換H面情況與替換V面相同直線若與平面不平行就必然相交，交點稱穿點直線若與平面不平行就必然相交，交點稱穿點推論：若一直線垂直于平面，則此直線的各的投影一定垂直于該平面的同名跡線例3-14過點M作一正平面Q，垂直于△ABC確定的平面3）此交線與已知直線的交點即為穿點思路：∵MN為正平線，∴MN//V面，例3：過點D作直線與正平線MN垂直相交想法：在直線上找一點做平面ABC的垂線，即此垂線和MN確定的平面為所求解：空間分析：要使新投影面P1垂直于△ABC必須使P1⊥△ABC內(nèi)的一條直線。證明：∵一定可以再平面P內(nèi)作直線CD//AB只要2個平面中有一個是特殊位置平面時，利用積聚性可簡便求出交線空間分析：入射光、反射光及入射處的鏡面法線共面，入射角=反射角解：作正平線AE和水平線CF，例3-13過直線MN作一平面，垂直于△ABC確定的平面2)2投影的連線垂直于新軸點的2次變換3.4.34個基本問題空間分析:設(shè)鉛垂面P1平行于MN,這樣在新投影體系P1/H中MN就是投影面平行線作圖：m1n1與X1軸的夾角α就是MN與H面的夾角空間分析:設(shè)鉛垂面P1平行于MN,這樣在新投影體系P1/H中MN就是投影面平行線證明：∵一定可以再平面P內(nèi)作直線CD//AB當(dāng)2個平面均為一般平面時，其交線不能直接求出，需利用輔助平面來解決例3-17已知交叉的2管子AB與CD，確定連接2管的最短距離與位置想法：在直線上找一點做平面ABC的垂線，即此垂線和MN確定的平面為所求解：繪制互相垂直平面的方法：定理2若兩投影面垂直面互相平行，則它們具有積聚性的那組投影互相平行2）在P1、P2體系變換成投影面垂線例3：過點D作直線與正平線MN垂直相交定理：若一直線垂直于平面，則此直線的水平投影一定垂直于該平面水平線的水平投影3）此交線與已知直線的交點即為穿點為什么有時需要變換投影面（換面法）解：此題只要作2相交直線同時垂直于MN即可當(dāng)2個平面均為一般平面時，其交線不能直接求出，需利用輔助平面來解決3）此交線與已知直線的交點即為穿點需要2次變換因為，垂直于普通直線的平面必然是普通平面1）在P1/H體系變換成投影面平行線2）在P1、P2體系變換成投影面垂線空間分析：要使新投影面P1垂直于△ABC必須使P1⊥△ABC內(nèi)的一條直線。為此作水平線BD，作平面P1⊥BD，P1也必垂直于H面作圖方法：要經(jīng)過2次變換1）先變成投影面的垂直面2）變成投影面的平行面例3-16過D點作一直線與一般直線垂直相交根據(jù)直角的投影特性，當(dāng)2直線的一條邊為投影面的平行線時，它在該投影面的投影仍為直角為了能直接向MN畫垂線，先把MN變成某投影面的平行線（第一個基本問題）3）作圖方法：精品課件！定理2：若一直線與與某一投影面的垂直面平行，則該直線必有一個投影與平面具有積聚性的那個投影平行1）包含已知直線作一個平面（投影面的垂直面）3)點的新投影到新軸的距離與原投影到軸線距離不變解：先作正平面R，求得第一個交點K，同理求得另一交點L推論：若一直線垂直于平面，則此直線的各的投影一定垂直于該平面的同名跡線定理（1）如果一直線與平面上某一直線平行，則此直線與該平面平行思路：∵MN為正平線，∴MN//V面，想法：在直線上找一點做平面ABC的垂線，即此垂線和MN確定的平面為所求解：定理2若兩投影面垂直面互相平行，則它們具有積聚性的那組投影互相平行例3-11過D作直線與MN垂直相交為求2個共有點可取2條直線，或2個平面各