專題08比例性質(zhì)、平行線分線段成比例、黃金分割壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二由平行判斷成比例的線段】 3【考點(diǎn)三由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】 5【考點(diǎn)四構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】 8【考點(diǎn)五利用黃金分割求線段的長(zhǎng)】 11【考點(diǎn)六與黃金分割有關(guān)的證明】 13【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 16【典型例題】【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·四川成都·九年級(jí)樹(shù)德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則．2．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，，那么．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┮阎?，求的值．【考點(diǎn)二由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)三由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校校考三模）如圖，已知直線，如果，，那么線段的長(zhǎng)是．

2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過(guò)點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則．【考點(diǎn)四構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)F，若，，則線段的長(zhǎng)為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點(diǎn)D、E是邊上的點(diǎn)，，連接，交點(diǎn)為F，，那么的值是．2．（2021春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，與相交于點(diǎn)，則.【考點(diǎn)五利用黃金分割求線段的長(zhǎng)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書(shū)的長(zhǎng)為14cm，則它的寬為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤艟€段的長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，則最短的線段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為4cm，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)六與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長(zhǎng)、短兩條線段AP、PB，若短段與長(zhǎng)段的長(zhǎng)度之比等于長(zhǎng)段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即（此時(shí)線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長(zhǎng)為．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)廣東廣雅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為（）A． B． C．3 D．2．（2023春·天津和平·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，、、分別是邊、、上的點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，若四邊形是平行四邊形，則下列說(shuō)法不正確的是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O，F(xiàn)在直線上，點(diǎn)O，E在直線上，且，若，，，則的值為（

）．

A． B． C． D．4．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，，是線段的中點(diǎn)，和交于點(diǎn)，已知的面積是，求四邊形的面積（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如果一個(gè)等腰三角形的頂角為，那么其底邊與腰之比等于，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在中，，，看作第一個(gè)黃金三角形；作的平分線，交于點(diǎn)，看作第二個(gè)黃金三角形；作的平分線，交于點(diǎn)，看作第三個(gè)黃金三角形；以此類推，第個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)南山實(shí)驗(yàn)教育麒麟中學(xué)?？计谀┮阎?、、滿足，、、都不為0，則．7．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線，直線和被直線、、所截，，，，則的長(zhǎng)為．

8．（2023秋·六年級(jí)課前預(yù)習(xí)）若且，則的值為．9．（2023秋·甘肅蘭州·九年級(jí)?？计谀╇娨暪?jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．若舞臺(tái)長(zhǎng)為，那么主持人站立的位置離A點(diǎn)較近的距離為．（結(jié)果保留根號(hào)）10．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，，的長(zhǎng)度不定，且，點(diǎn)E在上，且，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)度為．三、解答題11．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．12．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知直線，，分別截直線于點(diǎn)，，，截直線于點(diǎn)，，，且．

(1)如果，，，求的長(zhǎng)；(2)如果，，求的長(zhǎng)．13．（2023秋·安徽淮南·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知=k，求k2-3k-4的值．14．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）美是一種感覺(jué)，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高的比值越接近時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高，下半身長(zhǎng)與身高的比值是．(1)求該女士下半身長(zhǎng)；(2)為盡可能達(dá)到美的效果，求她應(yīng)穿的高跟鞋的高度．（結(jié)果精確到）15．（2023秋·四川自貢·九年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的材料：如圖1，在線段上找一點(diǎn)C，若，則稱點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)，這時(shí)比值為，人們把稱為黃金分割數(shù)，長(zhǎng)期以來(lái)，很多人都認(rèn)為黃金分割數(shù)是一個(gè)很特別的數(shù)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所推廣的優(yōu)選法中，就有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)．

我們可以這樣作圖找到已知線段的黃金分割點(diǎn)：如圖2，在中，的長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)E作，且，連接；以F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于H；再以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)P．根據(jù)材料回答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)作圖，寫(xiě)出圖中相等的線段：________；(2)求的長(zhǎng)；(3)求證：點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)．16．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)文林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級(jí)上冊(cè)52頁(yè)的部分內(nèi)容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行踐相交時(shí)，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：．這就是如下的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所