數(shù)值分析方法面向“四新”人才培養(yǎng)普通高等教育系列教材第七章偏微分方程數(shù)值方法簡(jiǎn)介目錄/Contents7.1

偏微分方程基礎(chǔ)知識(shí)

7.2

偏微分方程的差分方法

7.3

偏微分方程的有限元方法簡(jiǎn)介

7.1偏微分方程基礎(chǔ)知識(shí)7.1.1偏微分方程的分類對(duì)于如下二階偏微分方程

（7.1.1）

如果其系數(shù)為因變量或因變量導(dǎo)數(shù)的函數(shù)且導(dǎo)數(shù)階數(shù)等于方程的階數(shù)，則（7.1.1）是非線性方程。兩個(gè)自變量的線性二階偏微分方程一般可以寫成

7.1.2偏微分方程的導(dǎo)出1.變分法的基本概念1696年JohnBernoulli公開提出一個(gè)問題，即最速下降線問題：確定一條從A點(diǎn)到B點(diǎn)的曲線（B點(diǎn)在A點(diǎn)的下方但不在A點(diǎn)的正下方），使得一顆珠子在重力作用下沿著這條曲線從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)所需時(shí)間最短。

則質(zhì)點(diǎn)沿?cái)[線L從A滑到B點(diǎn)所需時(shí)間為

2.泛函極值的Euler方程

從而得到

或者

方程（7.1.13）或（7.1.14）稱為泛函極值的Euler方程。

3.Hamilton原理

4.波動(dòng)方程的導(dǎo)出

5.薄膜的平衡方程

7.1.3偏微分方程的定解條件

謝謝數(shù)值分析方法主編

李冬果李林高磊首都醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院智能醫(yī)學(xué)工程學(xué)學(xué)系面向“四新”人才培養(yǎng)普通高等教育系列教材第七章偏微分方程數(shù)值方法簡(jiǎn)介目錄/Contents7.1

偏微分方程基礎(chǔ)知識(shí)

7.2

偏微分方程的差分方法

7.3

偏微分方程的有限元方法簡(jiǎn)介

7.2偏微分方程的差分方法7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的差分計(jì)算導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以用差分方法，偏微分方程涉及的偏導(dǎo)數(shù)也可以利用差分的方法近似，例如，圖7-3、7-4分別給出了2、3個(gè)自變量的差分網(wǎng)格。圖7-3平面網(wǎng)格圖7-4空間網(wǎng)格

節(jié)點(diǎn)

u(3,1)公式值0.03910.51270.20010.63764.11183.4157近似值0.03910.51640.20430.63314.10893.4097(3,2)公式值0.05360.54790.38310.76714.22603.8991近似值0.05360.55150.38700.76464.22333.8957(3,3)公式值0.07780.58930.58930.88574.34084.3408近似值0.07780.59280.59280.88354.33834.3383(3,4)公式值0.11290.63640.81670.99774.45544.7523近似值0.11290.63990.82000.99554.45314.7500(3,5)公式值0.15980.68901.06411.10414.56805.1355近似值0.15980.69231.06711.10164.56585.1329(3,6)公式值0.21960.74671.32971.20434.67655.4864近似值0.21960.75001.33251.20134.67425.48297.2.2偏微分方程的求解

1.橢圓型偏微分方程的差分方法

因此可以列出方程組

也就是：

可以看出下邊緣絕熱，板面溫度較例7.2.1中溫度恒定為零度時(shí)要高一些。自上而下溫度梯度也小一些。2.一維拋物型偏微分方程的顯式法

3.一維拋物型偏微分方程的隱式法

圖7-9

半節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格圖

對(duì)于整個(gè)差分網(wǎng)格的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)寫出隱式公式，就得到一個(gè)線性方程組，其系數(shù)矩陣通常是一個(gè)三對(duì)角矩陣。上述隱式公式是絕對(duì)穩(wěn)定的。一般而言，大部分顯式有限差分近似公式是條件穩(wěn)定的，而大部分隱式近似公式則是絕對(duì)穩(wěn)定的。但是顯式方法比隱式公式容易進(jìn)行求解。

謝謝數(shù)值分析方法主編

李冬果李林高磊首都醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院智能醫(yī)學(xué)工程學(xué)學(xué)系面向“四新”人才培養(yǎng)普通高等教育系列教材第七章偏微分方程數(shù)值方法簡(jiǎn)介目錄/Contents7.1

偏微分方程基礎(chǔ)知識(shí)

7.2

偏微分方程的差分方法

7.3

偏微分方程的有限元方法簡(jiǎn)介

7.3偏微分方程的有限元方法簡(jiǎn)介偏微分方程的數(shù)值解法中另一常用的方法是有限元方法，有限元方法在力學(xué)及其相關(guān)學(xué)科中發(fā)揮重要的作用。1960年克拉夫在一篇論文中首次提出了“有限元(finiteelement)”說法。幾乎同時(shí)，中國(guó)科學(xué)家也獨(dú)立地發(fā)展出這一方法，其顯著的標(biāo)志是，1965年中國(guó)研究人員馮康發(fā)表的名為《基于變分原理的差分格式》的論文，這篇論文被國(guó)際學(xué)術(shù)界視為中國(guó)獨(dú)立發(fā)展“有限元法”的重要里程碑。在工程計(jì)算需求的推動(dòng)下，這一方法在應(yīng)用中不斷推進(jìn)。目前在生物醫(yī)學(xué)的相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用愈來愈廣泛深入。7.3.1里茲-伽遼金方法求解能量泛函的極小問題如果求助于直接解法或近似解法，就可以實(shí)現(xiàn)偏微分方程求解。就能量積分而言，將被積函數(shù)在某一函數(shù)空間展開成為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，例如冪級(jí)數(shù)，系數(shù)待定。這樣積分就可以逐項(xiàng)計(jì)算，能量積分就化為求這些待定系數(shù)使積分最小，從而問題的近似解就可以求得。這個(gè)思想來自于三位科學(xué)家，他們分別是英國(guó)物理學(xué)家瑞利（Rayleigh，1842-1919），瑞士物理學(xué)家里茲（W.Ritz，1878-1909）和俄羅斯數(shù)學(xué)家伽遼金（BorisGalerkin，1871-1945）。1908年里茲在瑞利于1877年提出的通過泛函駐值條件求未知函數(shù)的一種近似方法的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)求解變分問題的近似方法，后來被稱作瑞利－里茲法。

伽遼金方法與里茲方法有所不同，得到了同樣的方程組（7.3.11），習(xí)慣上稱（7.3.11）為里茲-伽遼金方程。

圖7-10展示了近似解和精確解的兩個(gè)解曲線。7.3.2有限元方法簡(jiǎn)介有限元方法實(shí)質(zhì)上是里茲-伽遼金方法，它主要利用插值函數(shù)，提供了一種選取“局部基函數(shù)”或“分片多項(xiàng)式空間”的技巧，從而在很大程度上克服了里茲-伽遼金法選取基函數(shù)的固有困難。例如，對(duì)于二維問題，將平面區(qū)域G分割成有限多個(gè)矩形或三角形，稱之為單元，任意兩個(gè)單元或者不相交，或者有公共邊或公共節(jié)點(diǎn)。之后再每一個(gè)單元上構(gòu)造試函數(shù)，它是用單元頂點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建的插值多項(xiàng)式，在相鄰單元間具有一定的光滑性，如此就得到了試函數(shù)。事實(shí)上如果從力學(xué)角度看，連續(xù)介質(zhì)體內(nèi)每一點(diǎn)的位移肯定與該點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)，如果將研究的連續(xù)介質(zhì)體進(jìn)行剖分，如平面的三角形網(wǎng)格、立體的四面體網(wǎng)格，在該三角形內(nèi)或四面體（稱為單元）內(nèi)每一點(diǎn)的位移可以寫成單元頂點(diǎn)位移的表達(dá)式。每一單元頂點(diǎn)坐標(biāo)就是問題的未知量，伽遼金法和瑞利-里茲法就是將求泛函極小的問題劃歸為求解線性方程組的問題，該線性方程組的未知量是單元定點(diǎn)坐標(biāo)。

1.研究區(qū)域的網(wǎng)格剖分

2.選取插值基函數(shù)

3.單元分析生成單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧d荷向量

4.生成總體剛度矩陣和總體載荷向量

5.邊界條件的約束

6.有限元方程的建立

圖7-12

123456213024422000表7-2例7.3.3中的各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)單元122324553536表7-3例7.3.3中節(jié)點(diǎn)與單元的關(guān)系

單元號(hào)xiyixjyjxmymaibiajbjambm124123202-2-12-1212002