試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁涼山州2026屆高中畢業(yè)班第一次診斷性考試數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2.選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3.考試結(jié)束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，是其前n項和，若，，則（

）A． B．5 C．10 D．155．已知是定義在上的函數(shù)，．當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．6．已知，，則（

）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列的前4項是關(guān)于x的方程的根，則數(shù)列的前4項和為（

）A． B． C． D．8．已知曲線上存在點與關(guān)于直線對稱，則r的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．C．D．若函數(shù)有三個零點，則10．在空間四邊形ABCD中，，，則（

）A．若M為CD的中點，則B．直線AD與BC所成角的余弦值為C．D．空間四邊形ABCD外接球的表面積為11．費(fèi)馬大定理，別稱費(fèi)馬猜想、費(fèi)馬最后定理，是指當(dāng)正整數(shù)時，關(guān)于x，y，z的方程沒有正整數(shù)解．若正整數(shù)n使得方程有正整數(shù)解，稱n為“和諧數(shù)”．則下列說法正確的有（

）A．3是“和諧數(shù)”B．2是“和諧數(shù)”C．若n是“和諧數(shù)”，則也是“和諧數(shù)”D．不超過2025的“和諧數(shù)”有1350個第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．設(shè)雙曲線的右焦點為F，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，則．13．已知，則.14．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的值域；(2)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求的值．16．在等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．17．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處的切線垂直于直線，求a的值；(2)若函數(shù)在單調(diào)，求a的取值范圍；(3)當(dāng)時，若（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），求證：．18．如圖，在四棱錐中，，為等邊三角形，四邊形為直角梯形，，，．(1)證明：；(2)若直線與平面所成的角為．（?。┣笏睦忮F的體積；（ⅱ）求二面角的余弦值．19．法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何的創(chuàng)始人”，他發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓，已知橢圓的蒙日圓半徑為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知點P是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點，過P作的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．（?。┳C明：直線AB過定點；（ⅱ）若直線AB與交于C，D兩點，記，分別是，的面積，求的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】求出集合，利用并集的定義可得集合.【詳解】由可得，解得，即，又因為，故.故選：C.2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計算公式即可得到答案.【詳解】依題意得，故.故選：C.3．A【分析】由投影向量的公式計算可得.【詳解】因，，則在上的投影向量為.故選：A.4．D【分析】由已知條件列出方程，求出首項和公差代入公式即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，，依題意，，即，兩式相減解得，代入得，因此.故選：D5．B【分析】分析函數(shù)的周期性，再利用周期性將轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值.【詳解】依題意函數(shù)滿足，可得，即函數(shù)的周期為，因此，當(dāng)時，，由，且，得，因此.故選：B.6．A【分析】利用二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡等式，結(jié)合角的范圍求解.【詳解】原等式可化為，即，因為，所以，所以，，.故選：A.7．D【分析】借助韋達(dá)定理求出方程根的關(guān)系，再將數(shù)列的前4項和通分計算即可.【詳解】設(shè)方程的根分別為，方程的根分別為，則數(shù)列的前四項組成的集合為,根據(jù)韋達(dá)定理可知，，所以，故數(shù)列的前4項和為，故選：D.8．C【分析】根據(jù)給定條件，利用軸對稱求出點關(guān)于直線的對稱點的軌跡，再利用兩圓的有公共點關(guān)系列式求出范圍.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則線段的中點在直線上，又，直線的方向向量，而，因此，即，消去得，整理得，即，于是點在以點為圓心，1為半徑的圓上，而曲線是以點為圓心，為半徑的圓，，依題意，點在曲線上，則曲線與圓有公共點，即這兩個圓相交或相切，因此，即，解得，所以r的取值范圍為.故選：C9．BC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷A；分別計算和即可判斷B；代入運(yùn)算化簡得判斷C；由題意與有三個交點，數(shù)形結(jié)合即可求解判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為R，，所以不是奇函數(shù)，錯誤；對于B，，則，所以，又，所以，正確；對于C，，則，，所以，正確；對于D，若函數(shù)有三個零點，則即有三個解，所以與有三個交點，，則，令得或，令得，所以的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，且，作出圖象如下：由圖可知，要使與有三個交點，則，所以，所以，錯誤.故選：BC10．ACD【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算以為基底計算即可判斷A；根據(jù)空間四邊形的棱長結(jié)合余弦定理計算的值，從而利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積計算，即可判斷B；計算，從而得數(shù)量積即可判斷C；根據(jù)空間四邊形的對棱長度相等，將幾何體補(bǔ)成長方體，按照長方體計算外接球的表面積即可判斷D.【詳解】對于A，若M為CD的中點，則，故A正確；對于B，因為，，所以由余弦定理得：，又，所以，故直線AD與BC所成角的余弦值為，故B不正確；對于C，因為，又，所以，則，故C正確；對于D，由于空間四邊形ABCD中，，，所以如下圖將空間四邊形ABCD補(bǔ)成長方體，則空間四邊形ABCD外接球即長方體的外接球，所以外接球半徑所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】根據(jù)費(fèi)馬大定理可判斷A的正誤，根據(jù)特例可判斷B的正誤，根據(jù)代數(shù)恒等變形可證也是“和諧數(shù)”，故可判斷C的正誤，根據(jù)BC可判斷D的正誤.【詳解】對于A，由費(fèi)馬大定理無正整數(shù)解，故3不是“和諧數(shù)”，故A錯誤.對于B，因為，故的一組正整數(shù)解為，故2是“和諧數(shù)”，故B正確.對于C，若n是“和諧數(shù)”，則有一組正整數(shù)解為，故，故即，故有一組正整數(shù)解為，故也是“和諧數(shù)”，故C正確.對于D，有一組正整數(shù)解為，故是“和諧數(shù)”，由C可得也是“和諧數(shù)”，共有個；由B可得2是“和諧數(shù)”，由C可得也是“和諧數(shù)”，共有個；當(dāng)正整數(shù)時，若有正整數(shù)解，則對應(yīng)正整數(shù)解，故為“和諧數(shù)”，這與A中判斷矛盾，故正整數(shù)不是“和諧數(shù)”，故不超過2025的“和諧數(shù)”有個，故D正確.故選：BCD.12．2【分析】求出雙曲線的漸近線方程與焦點坐標(biāo)，然后通過點到直線的距離公式求解即可.【詳解】雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離：.故答案為：2.13．2【分析】根據(jù)，表示出，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：2.14．【分析】化簡題目條件得，構(gòu)建函數(shù)，因為是正實數(shù)，故此函數(shù)單調(diào)遞增，得到，代入，求導(dǎo)分析其最值.【詳解】由，整理得，化簡得：，設(shè)函數(shù)，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，由可得，即，代入得，令，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，此時，最小值為.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）將函數(shù)表達(dá)式通過半角公式與兩角和的正弦公式化簡為含正弦函數(shù)的線性形式；利用正弦函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與取值范圍，結(jié)合整體代換求得函數(shù)的值域.（2）由已知函數(shù)值結(jié)合特殊角的三角函數(shù)解得角的大??；利用余弦定理建立三邊關(guān)系，結(jié)合給定等式消元得到邊的比例；最后通過正弦定理將角的正弦比轉(zhuǎn)化為邊之比，從而計算出的值.【詳解】（1）已知，，化簡得：，整理得：，，又，，所以，函數(shù)的值域為．（2）由得，，由余弦定理得：，又，，即，，即，．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量運(yùn)算求得，即可求解；（2）利用等比數(shù)列及求得，然后結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式，利用分組求和法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得，解得，所以．（2）因為數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以．從而，所以．17．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩直線垂直的斜率關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式即可求解；（2）由已知得在上恒成立，參變分離得在上恒成立，利用基本不等式求解即可；（3）由題意，利用韋達(dá)定理得，進(jìn)而利用基本不等式得，，令，則，利用導(dǎo)數(shù)法求解值域即可證明.【詳解】（1）因為，所以，由直線的斜率為，得，，，解得．（2）由已知得在上恒成立，即，即在上恒成立，，，當(dāng)且僅當(dāng)時即等號成立，，a的取值范圍為．（3）當(dāng)時，，，令，得，，是方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得：，即，又，，，令，，則，，在上為增函數(shù)，，從而．18．(1)證明見解析(2)（?。唬áⅲ痉治觥浚?）取的中點，連接，由線面垂直得到；（2）（ⅰ）過點作，根據(jù)體積公式求解；（ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求解.【詳解】（1）取的中點，連接，則，，又，平面，平面，平面，．（2）（ⅰ）由（1）知，又且，平面，平面，平面，，又由（1）知：平面，而平面，平面平面，過點作，垂足為．平面平面，平面，平面，所以與平面所成的角為，即，，，，故四棱錐的體積．（ⅱ）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，在平面內(nèi)，與平行的線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，又平面ACD的法向量為，，所以，二面角余弦值為．19．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）．【分析】（1）根據(jù)橢圓的蒙日圓半徑、離心率列等式求解a、b即可；（2）（?。┰O(shè)，，求出兩條切線的直線方程，設(shè)，根據(jù)P點在兩條切線上列出對應(yīng)的等式，進(jìn)一步比較等式的形式及結(jié)合A、B在直線AB上可得AB的方程，再據(jù)此求出直線AB所過的定點；（ⅱ）設(shè)直線AB的方程為，利用弦長公式求出、關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)一步得到關(guān)于t的表達(dá)式，最后結(jié)合對勾函數(shù)的圖像性