7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.1二項(xiàng)分布A組1.某學(xué)生通過某英語聽力測試的概率為13A.49 B.29 C.4解析:設(shè)“通過測試”為事件A,則P(A)=13.用X表示通過測試的次數(shù),則X~B3,1答案:A2.有5粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為98%,在這5粒種子中恰有4粒發(fā)芽的概率是()A.(0.98)4×0.02B.0.98×(0.2)4C.C5D.C5解析:由于5粒種子,其發(fā)芽是相互獨(dú)立的,故這是一個(gè)5重伯努利試驗(yàn),則所求概率為P=C5答案:C3.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B6,13,則P(X=2)= ()A.316 B.4243 C.13解析:P(X=2)=C6答案:D4.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲5次,如果出現(xiàn)k次正面朝上的概率等于出現(xiàn)k+1次正面朝上的概率,那么k的值等于()A.0 B.1 C.2 D.3解析:事件“正面朝上”發(fā)生的次數(shù)ξ~B5,12答案:C5.一個(gè)袋中有除顏色外完全相同的5個(gè)白球,3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次任取1個(gè)記下顏色后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止,設(shè)停止時(shí)共取了X次球,則P(X=12)等于()A.C1210C.C119解析:因?yàn)閄=12表示前11次中取到9次紅球,第12次取到紅球,所以P(X=12)=C11答案:B6.(多選題)從裝有質(zhì)地、大小相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回地摸取5次,設(shè)摸得白球個(gè)數(shù)為X,已知E(X)=3,則下列結(jié)論正確的是()A.D(X)=85 B.D(X)=C.m=2 D.m=4解析:由題意,每次摸球,摸得白球的概率為p=3m+3,因此X~B5,3m+3,又E(X)=5×答案:BC7.(多選題)一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊4次,已知至少命中1次的概率為8081A.設(shè)此射手射擊4次命中次數(shù)為X,每次命中的概率為p,則X~B(4,p)B.設(shè)此射手射擊4次命中次數(shù)為X,則P(X≥1)=80C.設(shè)每次命中的概率為p,則p=23或p=D.設(shè)每次命中的概率為p,則p=2解析:設(shè)此射手射擊4次命中次數(shù)為X,每次命中的概率為p,則X~B(4,p).依題意可知P(X≥1)=8081所以1P(X=0)=1C40×(1p)4=即(1p)4=181解得p=23或p=4答案:ABD8.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲6次,則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為.

解析:用X表示正面出現(xiàn)的次數(shù),則X~B6,12答案:119.在等差數(shù)列{an}中,a4=2,a7=4.現(xiàn)從{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)取數(shù),每次取出一個(gè)數(shù)后放回,連續(xù)取3次,且每次取數(shù)互不影響,那么在這3次取數(shù)中,取出的數(shù)恰好為兩個(gè)非負(fù)數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為.

解析:由已知可得,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=102n(n=1,2,3,…),其中a1,a2,a3,a4為正數(shù),a5=0,a6,a7,a8,a9,a10為負(fù)數(shù),所以從中取一個(gè)數(shù)為非負(fù)數(shù)的概率為510=1故取出的數(shù)恰為兩個(gè)非負(fù)數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為C3答案:310.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,用X表示擲出偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù).(1)若拋擲1次,求E(X)和D(X);(2)若拋擲10次,求E(X)和D(X).解:(1)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,因?yàn)閄的分布列為X01P11所以E(X)=12D(X)=12(2)由題意知,X~B10,所以E(X)=10×12D(X)=10×1211.一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.每題選對(duì)得5分,不選或選錯(cuò)不得分,滿分100分.學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè),分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中成績的均值.解:設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)分別是X1和X2,則X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25),所以E(X1)=20×0.9=18,E(X2)=20×0.25=5.由于每題選對(duì)得5分,所以學(xué)生甲和學(xué)生乙在這項(xiàng)測驗(yàn)中的成績分別是5X1和5X2.這樣,他們在這次測驗(yàn)中的成績的均值分別是E(5X1)=5E(X1)=5×18=90,E(5X2)=5E(X2)=5×5=25.12.某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)有紅綠燈的路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是13(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率;(2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈而停留的總時(shí)間X(單位:min)的分布列.解:(1)設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈”為事件A,因?yàn)槭录嗀等價(jià)于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈,在第三個(gè)路口遇到紅燈”,所以事件A的概率為P(A)=1-(2)由題意可得X的可能取值為0,2,4,6,8,X=2k表示該學(xué)生在路上遇到k次紅燈,k=0,1,2,3,4.所以P(X=2k)=C4所以X的分布列是X02468P1632881B組1.某班有14A.54 B.52解析:由題意知X服從二項(xiàng)分布B5,則E(X)=54,從而E(2X+1)=2E(X)+1=2×54+1=答案:D2.某零件正品率為34,次品率為1A.C32C.142解析:Y=3表示前2次測出的都是次品,第3次為正品,則P(Y=3)=14答案:C3.若X~B6,A.2 B.3C.2或3 D.4解析:依題意P(X=k)=C6答案:B4.(多選題)在“石頭、剪刀、布”游戲中,規(guī)定:“石頭贏剪刀”“剪刀贏布”“布贏石頭”.現(xiàn)在小明、小澤兩名同學(xué)玩這個(gè)游戲,共玩n局,每一局每人等可能地獨(dú)立選擇一種手勢.設(shè)小明贏小澤的局?jǐn)?shù)為X,且D(X)=109A.隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,5B.X~BnC.n=4D.E(X)=4×1解析:對(duì)于A,由題意可得n=5,隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,5,故A對(duì);對(duì)于B,每一局小明贏小澤的概率為13,由題意知,這是一個(gè)n重伯努利試驗(yàn),故X~Bn對(duì)于C,由D(X)=109,知D(X)=n×1對(duì)于D,E(X)=5×13故選AB.答案:AB5.假設(shè)每一架飛機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1p,且各發(fā)動(dòng)機(jī)是否出現(xiàn)故障是獨(dú)立的,已知4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)中至少有3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行,飛機(jī)才可成功飛行;2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)要2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)全部正常運(yùn)行,飛機(jī)才可成功飛行,要使4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全,則p的取值范圍是.

解析:4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)成功飛行的概率為C43p3(1p)+p4,2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)成功飛行的概率為p2.由C43p3(1p)+p4>p2,得1答案:16.隨機(jī)變量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=59解析:由已知得P(X=0)=1P(X≥1)=49=C因此,P(Y≥2)=1P(Y=0)P(Y=1)=1C40p0(1p)4C4答案:117.在進(jìn)行一項(xiàng)擲骰子放球游戲中,規(guī)定:擲出1點(diǎn),甲盒中放一球,擲出2點(diǎn)或3點(diǎn),乙盒中放一球,擲出4點(diǎn)、5點(diǎn)或6點(diǎn),丙盒中放一球,共擲6次,用X1,X2,X3分別表示擲完6次后甲、乙、丙盒中球的個(gè)數(shù).令X=X1+X2,則E(X)=.解析:將每一次擲骰子看作一次實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失敗)兩種,且丙盒中投入球(成功)的概率為12,X3表示6次實(shí)驗(yàn)中成功的次數(shù),則X3~B6∴E(X3)=3.∵X1+X2+X3=6,∴X=X1+X2=6X3,∴E(X)=E(6X3)=6E(X3)=63=3.答案:38.甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,已知甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件是一等品的概率分別為0.7,0.6,0.8,乙、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)相等,甲機(jī)床加工的零件數(shù)是乙機(jī)床加工的零件數(shù)的2倍.(1)從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各抽取1件檢驗(yàn),求至少有1件是一等品的概率;(2)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起,從中任意地抽取1件檢驗(yàn),求它是一等品的概率;(3)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起,從中任意地抽取4件檢驗(yàn),其中一等品的個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列.解:(1)設(shè)事件A,B,C分別表示從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中任取1件是一等品,則P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(C)=0.8.所以從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各抽取1件檢驗(yàn),至少有1件是一等品的概率為P1=1P(A)P(B)P(C)=10.3×0.4×0.2=0.976.(2)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起,從中任意地抽取1件檢驗(yàn),它是一等品的概率為P2=2×(3)依題意知,X~B(4,0.7).抽取的4件樣品中一等品的個(gè)數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4,且P(X=4)=C4P(X=3)=C4P(X=2)=C4P(X=1)=C4P(X=0)=C4所以X的分布列為X43210P0.24010.41160.26460.07560.00819.一家面包店根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè),且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).解:(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè),且另1天的日銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.0