第3章勾股定理全章復(fù)習(xí)與測試1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運用方程思想解決問題．4.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.6.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.一．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．五．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．一．直角三角形的性質(zhì)（共1小題）1．（2020秋?蘇州期中）在△ABC中，有下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來判斷．【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，則∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，則x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，則∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，則∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；綜上所述，能確定△ABC是直角三角形的條件有3個．故選：C．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是180度．二．勾股定理（共10小題）2．（2022秋?南京期末）如圖，已知點P是射線OM上一動點（P不與O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當(dāng)OP＝或2或2時，△OAP是等腰三角形．【分析】分三種情況，當(dāng)OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP時，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】解：當(dāng)△AOP為等腰三角形時，分三種情況：①如圖，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP＝；②如圖，OA＝OP＝2；③如圖，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP＝＝＝2．綜上所述，OP的長為或2或2．故答案為：或2或2．【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?新吳區(qū)校級期中）已知一直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，則第三邊的長為13．【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，∴第三邊的長＝＝13．故答案為：13．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022秋?句容市期末）如圖，點C是線段AB上的一點，分別以AC、BC為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)AB＝6，兩個正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為4．【分析】設(shè)AC＝a，BC＝b，由題意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根據(jù)完全平方公式的變式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根據(jù)直角三角形的面積計算方法即可得出答案．【解答】解：設(shè)AC＝a，BC＝b，由題意得：a+b＝6，a2+b2＝20，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴△BCD的面積＝ab＝×8＝4．圖中△BCD的面積為4．故答案為：4．【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．5．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么點D到直線AB的距離是5cm．【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝CD，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，AC⊥CD，DE⊥AB，∴DE＝CD，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD＝＝5，∴DE＝5cm，故答案為：5．【點評】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖所示．在圖2中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為10．【分析】設(shè)AH＝a，則HD＝14﹣a，根據(jù)圖2可知，EK＝HD，由已知條件正方形IJKL的邊長為2，可得JK＝2，即可得出AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，即可列出等式a＝12﹣a，求出a的值即可得出HD＝AE的長度，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．【解答】解：設(shè)AH＝a，則HD＝14﹣a，由圖可得，EK＝HD，JK＝2，∵AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，∴a＝12﹣a，∴a＝6，在Rt△AEH中，∵AH＝6，HD＝AE＝14﹣6＝8，∴HE＝10．故答案為：10．【點評】本題主要考查了勾股定理，正確理解題目所給圖形勾股定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023?盱眙縣模擬）在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，連接AC，點E為AC的中點，連接BE，DE．若，BC＝12，則△ABE的周長為18．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一邊得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E為AC的中點，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴，∴△ABE的周長為，故答案為：18．【點評】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理，熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）直角三角形紙片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分線，則BD＝．【分析】根據(jù)勾股定理得到BC＝＝6，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AC＝8，求得BE＝2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，過D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分線，∴CD＝DE，在Rt△ACD與Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝8，∴BE＝2，∵DE2+BE2＝BD2，∴（6﹣BD）2+22＝BD2，∴BD＝，故答案為：．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD＝8．則邊BC的長為9或21．【分析】高線AD可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．分別依據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABD中，∵AB＝17，AD＝8，∴BD＝＝15；在Rt△ACD中，∵AC＝10，AD＝8，∴CD＝＝6，∴當(dāng)AD在三角形的內(nèi)部時，BC＝15+6＝21；當(dāng)AD在三角形的外部時，BC＝15﹣6＝9．∴BC的長是21或9．故答案為：21或9．【點評】本題考查的是勾股定理，在解答此題時要進(jìn)行分類討論，不要漏解．10．（2022秋?太倉市期末）已知直角三角形的兩條直角邊長分別為1，2，則這個直角三角形的斜邊的長為．【分析】根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：由勾股定理得，這個直角三角形的斜邊的長＝＝，故答案為：．【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．11．（2022秋?亭湖區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到AB的距離是．【分析】首先根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長，再根據(jù)三角形的面積為定值即可求出則點C到AB的距離．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝AC?BC＝AB?h，∴h＝，故答案為：【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是正確的運用勾股定理，確定AB為斜邊．三．勾股定理的證明（共1小題）12．（2022秋?阜寧縣期中）勾股定理是數(shù)學(xué)史上非常重要的一個定理，古今中外已有幾百種證明方法．2002年世界數(shù)學(xué)家大會在中國北京舉行，大會的會標(biāo)選用驗證勾股定理的“弦圖”，它標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)的成就．“弦圖”由4個全等的直角三角形拼成大正方形（如下圖示）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b（a＜b），斜邊為c，請你利用“弦圖”驗證勾股定理．【分析】用等面積法，大的正方形面積等于小正方形的面積與4個直角三角形面積之和，列等式化簡即可證明．【解答】解：根據(jù)題意有，大正方形面積：c2，小正方形面積：（b﹣a）2，4個直角三角形面積之和：4×a×b×＝2ab，∵大正方形面積等于小正方形的面積與4個直角三角形面積之和，∴（b﹣a）2+2ab＝c2，∴a2+b2＝c2．【點評】本題考查了勾股定理的證明，用等面積法列出等式，并化簡是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度適中．四．勾股定理的逆定理（共15小題）13．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列所給數(shù)據(jù)中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 C．a(chǎn)2+b2＝c2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：5【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A、B是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝78°，故△ABC不是直角三角形；C、∵a2+b2＝c2，∴△ABC為直角三角形；D、∵a：b：c＝3：4：5，∴可設(shè)a＝3k，則b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC為直角三角形．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．也考查了三角形內(nèi)角和定理．14．（2022秋?溧陽市期中）如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH【分析】設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則AB2＝32+42＝25，CD2＝22+12＝5，EF2＝42+22＝20，GH2＝22+32＝13．因為CD2+EF2＝AB2，所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB、CD、EF．故選：A．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．也考查了勾股定理．15．（2022秋?東臺市期中）在△ABC的三邊分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?徐州期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，點D是AB的中點，連接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度數(shù)；（2）若點E是AB上的一個動點，則線段CE的最小值為4.8．【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CD＝DB，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠DCB＝50°，最后進(jìn)行計算即可解答；（2）根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)CE⊥AB時，線段CE有最小值，然后利用面積法進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵點D是AB的中點，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB＝50°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠DCB＝40°，∴∠DCA度數(shù)為40°；（2）當(dāng)CE⊥AB時，線段CE有最小值，∵△ABC的面積＝AB?CE＝AC?BC，∴AB?CE＝AC?BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8，∴線段CE的最小值為4.8，故答案為：4.8．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?興化市期中）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1．（1）求△ABC的面積；（2）△ABC是直角三角形嗎？請說明理由．【分析】（1）利用矩形的面積減去三個直角三角形的面積求解；（2）先利用勾股定理求出三邊AB，BC，AC的長，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷．【解答】解：（1）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2＝16﹣4﹣6﹣1＝5；（2）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是求邊長AB，BC，AC．18．（2022秋?無錫期末）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，9【分析】求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、42+52≠62，不能組成直角三角形，不符合題意；B、52+72≠92，不能組成直角三角形，不符合題意；C、62+82＝102，能組成直角三角形，符合題意；D、72+82≠92，不能組成直角三角形，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷是解答此題的關(guān)鍵．19．（2022秋?建湖縣期中）以下四組代數(shù)式作為△ABC的三邊：①3n，4n，5n（n為正整數(shù)）；②n，n+1，n+2（n為正整數(shù)）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數(shù)）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n為正整數(shù)）．其中能使△ABC為直角三角形的有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：①3n，4n，5n（n為正整數(shù)），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能構(gòu)成直角三角形；②n，n+1，n+2（n為正整數(shù)），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能構(gòu)成直角三角形；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數(shù)），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能構(gòu)成直角三角形；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n為正整數(shù)），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能構(gòu)成直角三角形．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形．20．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，五根小木棒，其長度分別為5，9，12，13，15，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖中所給出的數(shù)，找出組成三角形的三邊，并判斷較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方，每一個圖判斷兩次即可．【解答】解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，∴A錯誤，B錯誤，C正確，D錯誤．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是注意是判斷較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方．21．（2022秋?高新區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判斷∠D是否是直角，并說明理由．（2）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根據(jù)AC2＝DA2+DC2即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∠D是直角．理由：連接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）解：∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC，∴S四邊形ABCD＝AB?BC+AD?CD，＝，＝234．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．22．（2021秋?沭陽縣期末）如圖，在四邊形ABCD地塊中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求該四邊形ABCD地塊的面積．【分析】連接BD，先根據(jù)勾股定理求出BD的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后將兩個直角三角形的面積相加即可．【解答】解：連接BD，在Rt△BAD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝10，在△CBD中，CD2＝BD2+BC2，∴△CBD是直角三角形．∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△CBD＝AD?AB+BD?BC＝×6×8+×10×24＝24+120＝144．故四邊形ABCD的面積為144．【點評】此題主要考查學(xué)生對勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后即可得出答案．23．（2022秋?邗江區(qū)期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所對邊長分別為a、b、c，請解決下列問題．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三邊滿足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，試判斷△ABC的形狀．【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)絕對值的非負(fù)性可得a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，從而可得a＝9，b＝12，c＝15，然后利用勾股定理的逆定理進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，，∴b＝＝＝2；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，∴a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，∴a＝9，b＝12，c＝15，∵a2+b2＝92+122＝225，c2＝152＝225，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查了絕對值的非負(fù)性，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC及BC的延長線于點D，E，F(xiàn)，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可以判斷△BEC的形狀，從而可以得到∠ACB＝90°；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和勾股定理，可以計算出CE的長．【解答】（1）證明：連接BE，如圖所示，∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴△BEC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）解：設(shè)CE＝x，則AE＝12﹣x，∵BE＝AE，∴BE＝12﹣x，∵∠ECB＝90°，BC＝9，∴CB2+CE2＝BE2，∴92+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE＝．【點評】本題考查勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（2022秋?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求證：∠C＝90°．【分析】連接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的長，然后再利用勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形，即可解答．【解答】證明：連接BD，∵AB＝20，AD＝15，∠A＝90°，∴BD＝＝＝25，在△BCD中，BC2+CD2＝242+72＝625，BD2＝252＝625，∴BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠C＝90°．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）如圖，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD為BC邊上的中線，且AD＝8，過點D作DE⊥AC于點E．請求出線段DE的長．【分析】求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；求出AC＝AB＝10，根據(jù)三角形的面積公式求出DE即可．【解答】解：∵BC＝12，AD為BC邊上的中線，∴BD＝DC＝BC＝6，∵AD＝8，AB＝10，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；∵AD⊥BC，AD為BC邊上的中線，∴AB＝AC，∵AB＝10，∴AC＝10，∵△ADC的面積S＝AD?DC＝AC?DE∴＝，解得：DE＝4.8．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵．27．（2022秋?濱?？h期中）如圖所示的一塊土地，測量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求這塊土地的面積．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，再分別求出△CAD和△CBA的面積即可．【解答】解：連接AC，∵AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°∴AC2＝BC2+AB2＝25，∴AC＝5m，∵CD＝13m，AD＝12m，∴AC2+AD2＝CD2，∴△CAD是直角三角形，即∠CAD＝90°，∴這塊土地的面積S＝S△CAD﹣S△CAB＝﹣＝＝24（m2），答：這塊土地的面積是24m2．【點評】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出△CAD是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．五．勾股數(shù)（共1小題）28．（2022秋?江都區(qū)期末）下面各組數(shù)中，勾股數(shù)是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2【分析】三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解答】解：A、都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；B、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；C、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，都是整數(shù)，是勾股數(shù)，故選項符合題意；D、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了勾股數(shù)的概念，正確記憶滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題關(guān)鍵．六．勾股定理的應(yīng)用（共7小題）29．（2021秋?洪澤區(qū)校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【解答】解：兩棵樹的高度差為8﹣2＝6（米），間距為8米，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離＝＝10（米）．故選：D．【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實問題建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解．30．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升3cm至點D，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉長了2cm．故選：A．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．31．（2022秋?金湖縣期中）將一根24cm的筷子置于底面直徑為12cm，高為5cm的圓柱形水杯中，如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤19【分析】當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長．然后根據(jù)勾股定理求出AB的長，即可解決問題．【解答】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，此時h＝24﹣5＝19（cm），當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB＝＝＝13（cm），此時h＝24﹣13＝11（cm），所以h的取值范圍是11≤h≤19．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠讀懂題意和求出h的值最大值與最小值是解題關(guān)鍵．32．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是100米/分，小紅用3分鐘到家，小穎4分鐘到家，則小紅和小穎家的直線距離為（）A．300米 B．400米 C．500米 D．700米【分析】兩人的方向分別是東南方向和西南方向，因而兩人的家所在點與學(xué)校的連線正好互相垂直，根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：如圖：OA＝100×4＝400（米）．OB＝100×3＝300（米）．在直角△OAB中，AB＝＝＝500（米）．故選：C．【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題時從實際問題中整理出直角三角形是本題的關(guān)鍵．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．33．（2022秋?惠山區(qū)期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．在《九章算術(shù)》中的勾股卷中有這樣一道題：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．問折者高幾何？意思為：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處B離遠(yuǎn)處竹子C的距離BC為3尺，則折斷后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）【分析】設(shè)折斷后的竹子AC為x尺，則斜邊AB為（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)折斷后的竹子AC為x尺，則斜邊AB為（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝，故答案為：．【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．34．（2022秋?江陰市期中）如圖1，蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度？【分析】設(shè)繩索AD的長度為xm，則AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由題意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，設(shè)繩索AD的長度為xm，則AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：繩索AD的長度是10m．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋?錫山區(qū)期中）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．（1）請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到BP＝BQ＝600米，求得PQ＝1200米，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點開始影響村莊，行駛Q點結(jié)束對村莊的影響，則AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600（米），∴PQ＝1200米，∴影響村莊的時間為：1200÷300＝4（分鐘），∴村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時結(jié)合生活實際，便于更好的理解題意．一．選擇題（共7小題，滿分21分，每小題3分）1．（3分）如圖所示的2×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，則點A到BC的距離等于（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)網(wǎng)格特征和勾股定理求出△ABC的邊長和面積，利用三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，AB2＝12+12＝2，AC2＝22+22＝8，BC2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝2+8＝10＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AB?AC＝BC?AD，即×2＝AD，∴AD＝，故選：C．【點評】本題考查勾股定理，分母有理化，掌握網(wǎng)格特征和勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．2．（3分）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．1，，5 C．6，8，10 D．，2，【分析】欲判斷是否是直角三角形，則需滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方．【解答】解：A、62+72≠82，故不是直角三角形；B、12+（）2≠52，故不是直角三角形；C、62+82＝102，故是直角三角形；D、（）2+（2）2＝（）2，故不是直角三角形；故選：C．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．3．（3分）若三角形三條邊的長分別是7，24，25，則這個三角形的最大內(nèi)角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得此三角形是直角三角形，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵72+242＝252，∴此三角形是直角三角形，∴這個三角形的最大內(nèi)角是90°，故選：D．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．4．（3分）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，6【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項不符合題意；B、62+82＝102，三邊是整數(shù)，同時能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項不符合題意；C、72+242＝252，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項不符合題意；D、42+52≠62，不是勾股數(shù)，此選項符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．5．（3分）下列各組數(shù)中，可以構(gòu)成勾股數(shù)的是（）A．13，16，19 B．5，13，15 C．18，24，30 D．12，20，37【分析】根據(jù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)進(jìn)行分析．【解答】解：A、132+162≠192，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項錯誤；B、132+52≠152，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項錯誤；C、182+242＝302，能構(gòu)成直角三角形，故此選項正確；D、122+202＝372，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．6．（3分）邊長為a的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．2a D．a(chǎn)【分析】首先求出正多邊形的內(nèi)切圓的半徑，即為每個邊長為a的正三角形的高，從而構(gòu)造直角三角形即可解．【解答】解：如圖，連接OA、OB，OG；∵六邊形ABCDEF是邊長為a的正六邊形，∴△OAB是等邊三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA?sin60°＝a，∴邊長為a的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為a，故選：A．【點評】本題涉及到正多邊形、等邊三角形及特殊角的三角函數(shù)值，作出圖形，理解定義是解答此題的關(guān)鍵．7．（3分）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a＝3，b＝4，則該矩形的面積為（）A．20 B．24 C． D．【分析】欲求矩形的面積，則求出小正方形的邊長即可，由此可設(shè)小正方形的邊長為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，利用整體代入的思想解決問題，進(jìn)而可求出該矩形的面積．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3+4＝7，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（3+x）2+（x+4）2＝72，整理得，x2+7x﹣12＝0，而長方形面積為x2+7x+12＝12+12＝24∴該矩形的面積為24，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，求出小正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，則四邊形ABCD的面積是+3．【分析】將△BCD沿BD中垂線對折，使B與D重合，C的對應(yīng)點為C′，證明△AC′B是等邊三角形，再求出△AC′D是直角三角形，故可求解．【解答】解：如圖，將△BCD沿BD中垂線對折，使B與D重合，C的對應(yīng)點為C′，∴BC′＝DC＝3，DC′＝BC＝，∠DBC′＝∠BDC，∴∠ABC′＝∠ABD+∠DBC′＝∠ABD+∠BDC＝60°，又AB＝BC′＝3，∴△AC′B是等邊三角形，∴AC′＝AB＝3，∵DC′＝，AD2+AC′2＝22+32＝13，∴△AC′D是直角三角形，且∠DAC′＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC′+S△ADC′＝×32+×2×3＝+3．故答案為：+3．【點評】本題考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，四邊形的面積，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（3分）若△ABC的三邊長分別是1、、，則最長邊上的中線長為．【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出答案即可?！窘獯稹拷猓骸?2+（）2＝（）2，∴△ABC是直角三角形，斜邊的長度是，∴最長邊（斜邊）上的中線長為＝，故答案為：。【點評】本題考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，即a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．10．（3分）有一組勾股數(shù)，最大的一個是37，最小的一個是12，則另一個是35．【分析】根據(jù)勾股定理即可求得另一個數(shù)．【解答】解：根據(jù)勾股定理得，中間一個數(shù)為：＝35．【點評】本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)知識比較簡單．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，則AD的長度為．【分析】過D作DM⊥BD交AB于M，過M作MN⊥AC于N，由勾股定理的BC＝12，再證△DMN≌△BDC（AAS），得DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，然后證△AMN∽△ABC，得＝，解得AN＝，即可求解．【解答】解：如圖，過D作DM⊥BD交AB于M，過M作MN⊥AC于N，則∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°，在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5，∴BC＝＝＝12，∵∠ABD＝45°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴MD＝BD，∵∠MND＝∠BDM＝90°，∴∠DMN+∠MDN＝∠MDN+∠BDC＝90°，∴∠DMN＝∠BDC，在△DMN與△BDC中，，∴△DMN≌△BDC（AAS），∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，∴CN＝DN+CD＝17，∵M(jìn)N⊥AC，BC⊥AC，∴MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，解得：AN＝，∴AD＝AN+DN＝+12＝，故答案為：．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識；正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（3分）若三角形的兩邊長為6和8，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為10或2．【分析】分情況考慮：當(dāng)較大的數(shù)8是直角邊時，根據(jù)勾股定理求得第三邊長是10；當(dāng)較大的數(shù)8是斜邊時，根據(jù)勾股定理求得第三邊的長是＝2．【解答】解：①當(dāng)6和8為直角邊時，第三邊長為＝10；②當(dāng)8為斜邊，6為直角邊時，第三邊長為＝2．故答案為：10或2．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．13．（3分）附加題：觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：11，60，61．【分析】勾股定理和了解數(shù)的規(guī)律變化是解題關(guān)鍵．【解答】解：從上邊可以發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2，故第5組第一個數(shù)是11，又發(fā)現(xiàn)第二、第三個數(shù)相差為一，故設(shè)第二個數(shù)為x，則第三個數(shù)為x+1，根據(jù)勾股定理得：112+x2＝（x+1）2，解得x＝60，則得第5組數(shù)是：11、60、61．故答案為：11、60、61．【點評】本題考查了勾股數(shù)的概念也是找規(guī)律題，發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是從3，5，7，9，…的奇數(shù)．14．（3分）如圖，有一個長為50cm，寬為30cm，高為40cm的長方體木箱，一根長70cm的木棍能放入（填“能”或“不能”）．【分析】在長方體的盒子中，一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大，根據(jù)木箱的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進(jìn)行比較．【解答】解：可設(shè)放入長方體盒子中的最大長度是xcm，根據(jù)題意，得x2＝502+402+302＝5000，702＝4900，因為4900＜5000，所以能放進(jìn)去．故答案是：能．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是求出木箱內(nèi)木棒的最大長度．15．（3分）如圖，一棵大樹在一次臺風(fēng)中于離地面4米處折斷倒下，大樹頂端落在離大樹底部3米處，這棵大樹在折斷前的高度為9米．【分析】設(shè)出大樹原來高度，用勾股定理建立方程求解即可；【解答】解：設(shè)這棵大樹在折斷之前的高度為x，根據(jù)題意得，42+32＝（x﹣4）2，∴x＝9或x＝﹣1（舍）∴這棵大樹在折斷之前的高度為9米，故答案為9，【點評】此題是勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．此題也可以直接用算術(shù)的算法求解．16．（3分）如圖，四個全等的直角三角形拼成了“趙爽弦圖”，若圖中小正方形的面積恰好是大正方形面積的一半，則θ＝75°．【分析】先根據(jù)小正方形的面積恰好是大正方形面積的一半，得出2sinθcosθ＝，再判斷出sin∠BDC＝，進(jìn)而求出∠BDC，即可求出∠A＝15°，即可求出答案．【解答】解：如圖，作AC的中垂線交AB于D，交AC于E，連接CD，則AD＝CD，AC＝2AE，∴∠BDC＝2∠BAC，設(shè)AD＝x，則CD＝x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°﹣∠A＝θ，∴DE＝xcosθ，AE＝xsinθ，∴AC＝2xsinθ，∴大正方形的邊長為2xsinθ，在Rt△ABC中，AB＝2xsinθ?sinθ，BC＝2xsinθ?cosθ，∴小正方形的邊長為AB﹣BC＝2xsinθ?sinθ﹣2xsinθ?cosθ＝2xsinθ（sinθ﹣cosθ），∵小正方形的面積恰好是大正方形面積的一半，∴＝，∴（sinθ﹣cosθ）2＝，∴2sinθcosθ＝，在Rt△BCD中，sin∠BDC＝＝2sinθcosθ＝，∴∠BDC＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝15°，∴θ＝90°﹣∠BAC＝75°，故答案為：75°．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是表示出大小正方形的邊長，求出θ的值．三．解答題（共8小題，滿分72分，每小題9分）17．（9分）如圖，已知一根長8米的竹桿在離地3米處斷裂，竹桿頂部抵著地面，此時，頂部距底部有多少米？【分析】根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：8﹣3＝5（米），由勾股定理得，頂部距底部為：＝4，答：頂部距底部4米．【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在Rt△ABC中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．18．（9分）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝13cm，D是腰AB上一點，連接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求證：△BDC是直角三角形；（2）求AB的長．【分析】（1）由BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，知道BC2＝BD2+CD2，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△BDC為直角三角形，（2）設(shè)AB＝xcm，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，解方程可求出AB的長．【解答】（1）證明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝132＝169，BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169，即BC2＝BD2+CD2，∴△BDC為直角三角形；（2）解：設(shè)AB＝xcm，∵△ABC