第五章

三角函數(shù)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知識回顧我們在小學(xué)、初中是如何定義角的？銳角，直角，鈍角，平角，周角180。由一個頂點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形.角的范圍:[00,3600].有哪些分類？范圍是什么？兩角和為90。互為余角，兩角和為180。互為補角你能舉例出生活中0°-360°之外的角嗎?情境引入由初中知識可知，射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個過程中可以得到0°~360°范圍內(nèi)的角；如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的角就超出這個范圍了．我們知道，現(xiàn)實世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”的變化現(xiàn)象，圓周運動是這類現(xiàn)象的代表.OA情境引入為了準(zhǔn)確描述這些現(xiàn)象，有必要將角的概念推廣到任意角．我們規(guī)定：正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角：一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)情境引入概念形成思考1：結(jié)合生活實例，你認為描述一個角需要幾個條件？思考2：類比實數(shù)的定義，如何定義任意角？注意：1.負號只表示方向，不表示大小.2.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以簡記作“α”.情境引入概念形成思考3：如何定義任意角的運算？把射線OA繞端點O按照不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.設(shè)α、β是兩個任意角，把角α的角終邊旋轉(zhuǎn)β，這時終邊所對應(yīng)的角是α+β.角α的相反角記為-α.角的加法α-β=α+(-β).像實數(shù)減法的"減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)"一樣，把角的減法轉(zhuǎn)化為角的加法.若兩角的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β.相等角角的減法相反角

α=210°β=-150°γ=-660°

情境引入概念形成為了更好的研究角，也為了更好的表現(xiàn)角“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，我們需要一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).我們通常把角放進直角坐標(biāo)系中進行研究.情境引入概念形成課堂探究1.置角的頂點于原點

情境引入概念形成課堂探究1.置角的頂點于原點

角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角

情境引入概念形成課堂探究特別注意：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么我們就認為這個角不屬于任何一個象限

軸線角情境引入概念形成課堂探究探究1：判斷下列角是象限角還是軸線角：﹣50°，405°，﹣450°，如果是象限角，請指出是第幾象限角；如果是軸線角，請指出其終邊在哪個軸上．情境引入概念形成課堂探究答：畫出圖形，可以知道：﹣50°是第四象限角，405°是第一象限角，﹣450°是軸線角（角的終邊在y軸負半軸）．405°-50°情境引入概念形成課堂探究-450°探究2：第二象限角一定比第一象限角大嗎？答：不一定．例如，120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°＜390°．情境引入概念形成課堂探究探究3：請畫出下列角：α

＝

60°，β

＝

420°，γ

＝

﹣660°，你發(fā)現(xiàn)這三個角的終邊有何聯(lián)系？答：可以發(fā)現(xiàn)，這三個角終邊相同．情境引入概念形成課堂探究思考1：對于終邊相同的角α

＝

60°，β

＝

420°，γ

＝

﹣660°，你發(fā)現(xiàn)這三個角在數(shù)量上有什么關(guān)系？答：發(fā)現(xiàn)它們相差360°的整數(shù)倍．

420°＝

60°+360°，﹣660°＝

60°－2×360°．情境引入概念形成課堂探究思考2：你能用集合表示所有與60°角終邊相同的角嗎？情境引入概念形成課堂探究思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．情境引入概念形成課堂探究例1．在0°~360°范圍內(nèi)，找出與﹣950°12′角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角．分析：將﹣950°12′加上整數(shù)個360°，將其轉(zhuǎn)化為0°~360°范圍內(nèi)的角．情境引入概念形成課堂探究典例精講例1．在0°~360°范圍內(nèi)，找出與﹣950°12′角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角．情境引入概念形成課堂探究典例精講解：﹣950°12′+3×360°＝

129°48′，所以在0°~360°范圍內(nèi)，與﹣950°12′角終邊相同的角是129°48′，它是第二象限角．例2．寫出終邊在y軸上的角的集合．分析：在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個：90°，270°角．可以先寫出兩個集合，再取它們的并集．情境引入概念形成課堂探究典例精講例2．寫出終邊在y軸上的角的集合．情境引入概念形成課堂探究典例精講解：在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個：90°，270°角（如圖）．與90°終邊相同的角構(gòu)成集合S1

＝{β|β=90°+k·360°，k∈Z}，與270°終邊相同的角構(gòu)成集合S2

＝{β|β=270°+k·360°，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合S

＝

S1∪S2

，例2．寫出終邊在y軸上的角的集合．情境引入概念形成課堂探究典例精講S

＝

S1

∪S2＝{β|β=90°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=270°+k·360°，k∈Z}＝{β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°，k∈Z}＝{β|β=90°+n·180°，n∈Z}

．兩個集合中的元素有何關(guān)系？表示方式不唯一變式訓(xùn)練1．寫出終邊在x軸負半軸上的角的集合．情境引入概念形成課堂探究典例精講變式訓(xùn)練2．寫出終邊在第三象限的角的集合．例3．寫出終邊在直線y=x上的角的集合S．S中滿足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？分析：先求出終邊在直線y=x上的角的集合（含字母n，n

∈Z）；再讓n取部分整數(shù)，來檢驗元素β是否滿足不等式﹣360°≤β<720°．情境引入概念形成課堂探究典例精講例3．寫出終邊在直線y=x上的角的集合S．S中滿足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？情境引入概念形成課堂探究典例精講解：終邊在直線y=x上的角的集合S

＝{β|β

＝

45°+k·360°，k∈Z}

∪{β|β

＝225°+k·360°，k∈Z}＝{β|β

＝

45°+2k·180°，k∈Z}

∪{β|β

＝45°+(2k+1)·180°，k∈Z}＝

{β|β

＝45°+n·180°，n∈Z}．即S＝

{β|β

＝45°+n·180°，n∈Z}．經(jīng)計算，當(dāng)n分別取–2、﹣

1、0、1、2

、3時，可得S中滿足不等式﹣360°≤β<720°的元素β：﹣315°、﹣135°、45°、225°、405°、585°．例3．寫出終邊在直線y=x上的角的集合S．S中滿足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？情境引入概念形成課堂探究典例精講解：終邊在第一象限的角的集合是S={α|k

·

360°＜α＜90°+k

·

360°，k∈Z}，故k

·

180°＜α/2＜45°+k

·

180°，k∈Z，k是偶數(shù)時，α/2是第一象限角，k是奇數(shù)時，α/2是第三象限角，從而，α/2是第一或第三象限角．變式訓(xùn)練3．若α是第一象限角，則α/2是第幾象限角？情境引入概念形成課堂探究另