第五章

平面向量、復(fù)數(shù)1考情分析考點考向課標要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)平面向量的線性運算掌握2023年全國甲卷（理）

2023年天津卷

2022年新高考Ⅰ卷

2020年新高考Ⅱ卷

★★☆數(shù)學(xué)運算直觀想象共線向量定理及其應(yīng)用理解2021年全國乙卷（文）

★★☆數(shù)學(xué)運算直觀想象命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，平面向量的概念及其線性運算一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，常與其他知識交匯考查，試題較為簡單.5.1平面向量的概念和線性運算1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小稱為向量的____(或稱

).(2)零向量：長度為

的向量，記作

.(3)單位向量：長度等于

的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量

.(5)相等向量：長度相等且方向

的向量.(6)相反向量：長度相等且方向

的向量.方向長度模001個單位長度相反平行相同相反2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝________.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝________；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向______；當λ＜0時，λa的方向與a的方向______；當λ＝0時，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.共線向量定理

向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使__________.b＝λa4.對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.題型一平面向量的基本概念例1

(1)(多選)下列說法正確的是√√√√題型二平面向量的線性運算角度1平面向量的加、減運算的幾何意義例2

(1)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下列結(jié)論正確的是(

) A.a∥b

B.a⊥b C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b√

題型二平面向量的線性運算A.3m－2n

B.－2m＋3nC.3m＋2n

D.2m＋3n角度2向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型三

共線定理及其應(yīng)用例5

(1)(2023·徐州模擬)已知向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，則k＝________.

3

爪型問題爪型問題ABCGDE爪型問題爪型問題爪型問題爪型問題5.2平面向量基本定理及坐標表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，

一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝

.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個

.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量作正交分解.不共線有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e23.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝

.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則

坐標即為向量的坐標.終點(x2－x1，y2－y1)4.平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?

.x1y2－x2y1＝01.若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.5.2坐標表示1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基底.(

)(2)基底中可以含有零向量.(

)(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換，其坐標不變.(

)×××√5.2坐標表示題型一：基底判斷2.若e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是A.e1與e1＋e2

B.e1－2e2與2e1＋e2C.e1－2e2與e1＋2e2

D.e1－e2與e2－e1例1

(1)設(shè){e1，e2}為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是√√題型二：坐標運算√題型二：坐標運算√√題型二：向量共線的坐標表示例3

(1)(2023·濟寧模擬)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b與a共線，則m＝______.(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F(xiàn)分別為AB，BC中點，則AF與CE的交點坐標為________.

題型二：向量共線的坐標表示跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2024·景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，則tanα的值為(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為______.2（2，4）5.3平面向量的數(shù)量積1.向量的夾角∠AOB2.平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積，記作

.|a||b|cosθa·b5.3數(shù)量積3.平面向量數(shù)量積的幾何意義投影投影向量|a|cosθ

e4.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝

.(2)(λa)·b＝

＝

.(3)(a＋b)·c＝

.b·aa·(λb)a·c＋b·cλ(a·b)5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.

幾何表示坐標表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_____|a|＝________x1x2＋y1y2

幾何表示坐標表示夾角cosθ＝_____cosθ＝________________a⊥b的充要條件a·b＝0______________|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x1x2＋y1y2＝01.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個向量的夾角的范圍是

.(

)(2)若a，b共線，則a·b＝|a|·|b|.(

)(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果是向量.(

)(4)若a·b＝a·c，則b＝c.(

)×××√題型一：平面向量數(shù)量積的基本運算題型一：平面向量數(shù)量積的基本運算以B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則C(2,0)，D(1,2)，題型二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點1向量的模②幾何法：利用向量的幾何意義.題型二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點2向量的夾角例3

(2023·深圳模擬)已知a，b為單位向量，且|3a－5b|＝7，則a與a－b的夾角為題型二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點3向量的垂直例4

(2023·新高考全國Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1題型二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點4向量的投影題型二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點4向量的投影例6

(多選)(2023·東莞模擬)在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況.假設(shè)行李包所受的重力為G，所受的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|